2018高三大一轮复习数学文课时规范训练:第十二章 推
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课时规范训练
(时间:35分钟)
1.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个偶数
D.假设a,b,c至多有两个偶数
解析:选B.“至少有一个”的否定为“都不是”,故选B.
2.有四张卡片,每张卡片有两个面,一个面写有一个数字,另一个面写有一个英文字母.现规定:当卡片的一面为字母P时,它的另一面必须是数字2.如图,下面的四张卡片的一个面分别写有P,Q,2,3,为检验这四张卡片是否有违反规定的写法,则必须翻看的牌是( )
P Q23
A.第一张,第三张B.第一张,第四张
C.第二张,第四张D.第二张,第三张
解析:选B.由题意知如果卡片的一面为P,另一面必须是2,所以一定要看P的另一面是否为2,一面为2的另一面可以是任意有关字母,一面为3的卡片的另一面一定不能是P,所以必须翻看第一张、第四张卡片.
3.已知定义在R上的函数f (x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f (log0.53),b =f (log25),c=f (2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
解析:选C.由f (x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0,
所以f (x)=2|x|-1.
所以a=f (log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,
b=f (log25)=2|log25|-1=2log25-1=4,
c=f (0)=2|0|-1=0,所以c<a<b.
4.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )
A.②③B.①②③
C.③D.③④⑤
解析:选C.若a =12,b =2
3,则a +b >1,
但a <1,b <1,故①推不出;
若a =b =1,则a +b =2,故②推不出; 若a =-2,b =-3,则a 2
+b 2
>2,故④推不出; 若a =-2,b =-3,则ab >1,故⑤推不出; 对于③,即a +b >2, 则a ,b 中至少有一个大于1, 反证法:假设a ≤1且b ≤1, 则a +b ≤2与a +b >2矛盾,
因此假设不成立,a ,b 中至少有一个大于1. 5.设a ,b ,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a -b )2
+(b -c )2
+(c -a )2≠0; ②a >b ,a <b 及a =b 中至少有一个成立; ③a ≠c ,b ≠c ,a ≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( ) A .0 B .1 C .2
D .3
解析:选C.①②正确;③中,a ≠b ,b ≠c ,a ≠c 可以同时成立,如a =1,b =2,c =3,故正确的判断有2个.
6.设a >b >0,m =a -b ,n =a -b ,则m ,n 的大小关系是________. 解析:(方法一)(取特殊值法):取a =2,b =1,则m <n .
(方法二)(分析法):a -b <a -b ⇐b +a -b >a ⇐a <b +2b ·a -b +a -b ⇐2b ·a -b >0,显然成立.
答案:m <n
7.下列条件:①ab >0,②ab <0,③a >0,b >0,④a <0,b <0,其中能使b a +a
b
≥2成立的条件的序号是________.
解析:要使b a +a b ≥2,只需b a >0且a b >0成立,即a ,b 不为0且同号即可,故①③④能使b a
+a b
≥2成立.
答案:①③④
8.若二次函数f (x )=4x 2
-2(p -2)x -2p 2
-p +1,在区间内至少存在一点c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是________.
解析:令⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
-=-2p 2
+p +1≤0,f =-2p 2
-3p +9≤0,
解得p ≤-3或p ≥3
2
,
故满足条件的p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,32. 答案:⎝
⎛⎭⎪⎫-3,32
9.已知非零向量a ,b ,且a ⊥b ,求证:|a |+|b |
|a +b |≤ 2.
证明:a ⊥b ⇔a ·b =0,要证|a |+|b |
|a +b |≤ 2.
只需证|a |+|b |≤2|a +b |,
只需证|a |2
+2|a ||b |+|b |2
≤2(a 2
+2a ·b +b 2
), 只需证|a |2
+2|a ||b |+|b |2
≤2a 2
+2b 2
,
只需证|a |2
+|b |2
-2|a ||b |≥0,即(|a |-|b |)2
≥0,上式显然成立,故原不等式得证.
(时间:30分钟)
10.已知函数f (x )满足:f (a +b )=f (a )·f (b ),f (1)=2,则
f 2
+f
f
+
f 2
+f f
+
f 2
+f
f
+
f 2
+f f
=( )
A .4
B .8
C .12
D .16
解析:选D.根据f (a +b )=f (a )·f (b ),得f (2n )=f 2
(n ).又f (1)=2,则f n +f n
=2.
由f 2
+f
f
+f 2
+f
f
+
f 2
+f
f
+
f 2
+f
f
=
2f
f
+
2f f +
2f f +2f
f
=16.
11.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C .△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形
D .△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形
解析:选D.由条件知,△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形,