2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第十二章 推

课时规范训练

(时间：35分钟)

1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

解析：选B.“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.

2．有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q,2,3，为检验这四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )

P Q23

A．第一张，第三张B．第一张，第四张

C．第二张，第四张D．第二张，第三张

解析：选B.由题意知如果卡片的一面为P，另一面必须是2，所以一定要看P的另一面是否为2，一面为2的另一面可以是任意有关字母，一面为3的卡片的另一面一定不能是P，所以必须翻看第一张、第四张卡片．

3．已知定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f (log0.53)，b ＝f (log25)，c＝f (2m)，则a，b，c的大小关系为( )

A．a<b<c B．a<c<b

C．c<a<b D．c<b<a

解析：选C.由f (x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，

所以f (x)＝2|x|－1.

所以a＝f (log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，

b＝f (log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，

c＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.

4．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.

其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )

A．②③B．①②③

C．③D．③④⑤

解析：选C.若a ＝12，b ＝2

3，则a ＋b >1，

但a <1，b <1，故①推不出；

若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2

＋b 2

>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2， 则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，

因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 5．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2

＋(b －c )2

＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：选C.①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．

6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 解析：(方法一)(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n .

(方法二)(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．

答案：m <n

7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a

b

≥2成立的条件的序号是________．

解析：要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a

＋a b

≥2成立．

答案：①③④

8．若二次函数f (x )＝4x 2

－2(p －2)x －2p 2

－p ＋1，在区间内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．

解析：令⎩

⎪⎨

⎪⎧

f

－＝－2p 2

＋p ＋1≤0，f ＝－2p 2

－3p ＋9≤0，

解得p ≤－3或p ≥3

2

，

故满足条件的p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 答案：⎝

⎛⎭⎪⎫－3，32

9．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b |

|a ＋b |≤ 2.

证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b |

|a ＋b |≤ 2.

只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，

只需证|a |2

＋2|a ||b |＋|b |2

≤2(a 2

＋2a ·b ＋b 2

)， 只需证|a |2

＋2|a ||b |＋|b |2

≤2a 2

＋2b 2

，

只需证|a |2

＋|b |2

－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2

≥0，上式显然成立，故原不等式得证．

(时间：30分钟)

10．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则

f 2

＋f

f

＋

f 2

＋f f

＋

f 2

＋f

f

＋

f 2

＋f f

＝( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

解析：选D.根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (2n )＝f 2

(n )．又f (1)＝2，则f n ＋f n

＝2.

由f 2

＋f

f

＋f 2

＋f

f

＋

f 2

＋f

f

＋

f 2

＋f

f

＝

2f

f

＋

2f f ＋

2f f ＋2f

f

＝16.

11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形

C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形

D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形

解析：选D.由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，