2021-2022学年武汉市硚口区九年级元月调考数学模拟试卷及解析

2021-2022学年武汉市硚口区九年级元月调考数学模拟试卷
一、选择题。

（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若2是关于x 的方程20x c -=的一个根，则(c = ) A ．2
B ．4
C ．4-
D ．2-
2．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则( ) A ．能够事先确定抽取的扑克牌的花色
B ．抽到黑桃的可能性更大
C ．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大
D ．抽到红桃的可能性更大
4．关于方程2230x x -+=的根的说法正确的是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．两实数根的和为2-
D ．两实数根的积为3 5．以40/m s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：)m 与飞行时间t （单位：)s 之间具有函数关系2(0)h at bt a =+<．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是( ) A ．第1.9秒
B ．第2.2秒
C ．第2.8秒
D ．第3.2秒
6．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( ) A ．120︒
B ．180︒
C ．240︒
D ．300︒
7．如图，在ABC ∆中，AC BC =，40C ∠=︒．将ABC ∆绕着点B 逆时针方向旋转得DBE ∆，其中//AC BD ，
BF 、BG 分别为ABC ∆与DBE ∆的中线，则(FBG ∠= )
A ．90︒
B ．80︒
C ．75︒
D ．70︒
8．童威把三张形状大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段，然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是( ) A ．13
B ．19
C ．
23
D ．
29
9．如图，AB 为O 的一条弦，C 为O 上一点，//OC AB ．将劣弧AB 沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB 交AC 于点D ．若D 为翻折后弧AB 的中点，则(ABC ∠= )
A ．110︒
B ．112.5︒
C ．115︒
D ．117.5︒
10．无论k 为何值，直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．0a >
B ．23
a -
C ．2
3a -
或0a > D ．2
[3
-，0)
二、填空题。

（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．点(2,3)绕原点逆时针旋转90︒对应点的坐标是 ．
12．若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了 个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有 个人患了流感．
13．如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六边形内的概率是 ．
14．如图，是编号为1、2、3、4的400m 跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m ，内侧的1号跑道长度为400m ，则2号跑道比1号跑道长 m ；若在一次200m 比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 (m π取3.14)．
15．下列关于二次函数2223y x mx m =---的四个结论：①当1m =时，抛物线的顶点为(1,6)-；②该函数的图象与x 轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为4-；④点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在该函数图象上，若12x x <，12y y <，则122x x m +>；其中正确的是 ．
16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，O 与AC 、AB 都相切，其半径为1．若在三角线内部沿边AB 顺时针方向滚动到与BC 相切，则点O 运动的路经长是 ．
三、解答题。

（共8题，共72分）
17．若关于x 的一元二次方程230x x k -+=一个根为4，求方程另一个根和k 的值．
18．如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转得到DBE ∆，使得点D 落在线段AC 上．若AC BC =，求证：//BE AC ．
19．不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别． （1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；
（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的概率． 20．如图，1O 与2O 都经过A 、B 两点，且点1O 在2O 上．记1O 的半径为1R ，2O 的半径为2R ．请用无刻度的直尺，依次完成下列的画图． （1）画一条直线平分两圆组成的图形的面积；
（2）在图中用阴影部分表示“到点2O 的距离大于等于2R ，且到点1O 的距离小于等于1R ”的点的集合； （3）在2O 上画点Q ，使AQ 是1O 的切线； （4）在线段QA 上画点M ，使13AMB MQO ∠=∠．
21．四边形ABCD 是菱形，O 经过B 、C 、D 三点（点O 在AC 上）． （1）如图1，若AB 是O 的切线，求ADC ∠的大小；
（2）如图2，若5AB =，8AC =，AB 与O 交于点E ． ①求O 的半径； ②直接写出BE 的值．
22．如图，要设计一副宽12cm 、长20cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2．设每条竖彩条的宽度为2x cm ，图案中四条彩条所占面积的和为y 2cm ． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）当x 不小于0.5cm ，不大于1.5cm 时，求y 的最大值；
（3）童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元2/m ，其余部分制作费用为10元2/m ，购买材料的总费用为31.2元（不计损耗），直接写出x 的值．
23．如图，在ABC ∆和AED ∆中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒，点G 、F 分别是ED 、BC 的中点，连接CD 、BE 、GF ． （1）求证：ACD ABE ∠=∠； （2）求
GF
CD
的值； （3）若四边形BEDC 的面积为42，周长为242，5GF =，则AB = ．
24．抛物线22y ax x c =++与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ，点(,3)D m 在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若PBC DBC
∠=∠，求点P的坐标；（3）如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作M，M的弦//
QF y轴，求证：点F在定直线上．
参考答案与试题解析
一、选择题。

（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若2是关于x 的方程20x c -=的一个根，则(c = ) A ．2
B ．4
C ．4-
D ．2-
解：把2x =代入方程20x c -=得40c -=， 解得4c =． 故选：B ．
2．下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
解：A ．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A ．
3．桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取一张，则( ) A ．能够事先确定抽取的扑克牌的花色
B ．抽到黑桃的可能性更大
C ．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大
D ．抽到红桃的可能性更大
解：A 、因为袋中扑克牌的花色不同，所以无法确定抽取的扑克牌的花色，故本选项错误；
B 、因为黑桃的数量最多，所以抽到黑桃的可能性更大，故本选项正确；
C 、因为黑桃和红桃的数量不同，所以抽到黑桃和抽到红桃的可能性不一样大，故本选项错误；
D 、因为红桃的数量小于黑桃，所以抽到红桃的可能性小，故本选项错误．
故选：B ．
4．关于方程2230x x -+=的根的说法正确的是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．两实数根的和为2-
D ．两实数根的积为3
解：△2(2)41380=--⨯⨯=-<，
∴方程没有实数根．
故选：B ．
5．以40/m s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：)m 与飞行时间t （单位：)s 之间具有函数关系2(0)h at bt a =+<．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是( ) A ．第1.9秒
B ．第2.2秒
C ．第2.8秒
D ．第3.2秒
解：小球的飞行高度h （单位：)m 与飞行时间t （单位：)s 之间具有函数关系2(0)h at bt a =+<，小球在第1秒与第3秒高度相等，
∴该抛物线开口向下，对称轴是直线13
22
t +=
=， |1.92|0.1-=，|2.22|0.2-=，|2.82|0.8-=，|3.22| 1.2-=，
∴在选项中的四个时间中，当 1.9t =时，小球飞行的高度最高，
故选：A ．
6．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( ) A ．120︒
B ．180︒
C ．240︒
D ．300︒
解：设母线长为R ，底面半径为r ，
∴底面周长2r π=，底面面积2r π=，侧面面积rR π=，
侧面积是底面积的2倍， 22r rR ππ∴=，
2R r ∴=，
设圆心角为n ， 则
2180
n R
r R πππ==， 解得，180n =︒， 故选：B ．
7．如图，在ABC ∆中，AC BC =，40C ∠=︒．将ABC ∆绕着点B 逆时针方向旋转得DBE ∆，其中//AC BD ，
BF 、BG 分别为ABC ∆与DBE ∆的中线，则(FBG ∠= )
A ．90︒
B ．80︒
C ．75︒
D ．70︒
解：
AC BC =，40C ∠=︒，
1
(18040)702
CAB CBA ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒，
由旋转的性质得：ABC DBE ∆≅∆，
40C E ∴∠=∠=︒，70CAB CBA EBD D ∠=∠=∠=∠=︒，BC BE =，AC DE =，
BF 、BG 分别为ABC ∆与DBE ∆的中线，
12CF AC ∴=
，1
2
EG DE =， CF EG ∴=，
()BCF BEG SAS ∴∆≅∆， CBF EBG ∴∠=∠，
//AC BD ，70CAB EBD ∠=∠=︒，
A ∴在BE 上，
70FBG ABF EBG ABF CBF CBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，
故选：D ．
8．童威把三张形状大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段，然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是( ) A ．13
B ．19
C ．
23
D ．
29
解：把三张风景图片分别用甲、乙、丙来表 根据题意画图如下：
共有27种等可能的情况数，其中恰好组成一张完整风景图片的有3种，
则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为31 279
=；
故选：B．
9．如图，AB为O的一条弦，C为O上一点，//
OC AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB 交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则(
ABC
∠=)
A．110︒B．112.5︒C．115︒D．117.5︒
解：如图，连接OA，OB，BD．设DAB x
∠=．
AD BD
=，
DA DB
∴=，
BD AD
=，
BD AD
∴=，
DAB DBA x
∴∠=∠=，2
BDC BCD DAB ABD x
∠=∠=∠+∠=，
//
OC AB，
OCA DAB x
∴∠=∠=，
OA OC OB
==，
3
OCB OBC x
∴∠=∠=，OAD OCA x
∠=∠=，2
OAB OBA x
∠=∠=，
OBD x
∴∠=，
4CBD x ∴∠=，
在BDC ∆中，180BDC DCB DBC ∠+∠+∠=︒， 224180x x x ∴++=︒， 22.5x ∴=︒，
5112.5ABC x ∴∠==︒，
故选：B ．
10．无论k 为何值，直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．0a >
B ．23
a -
C ．2
3a -
或0a > D ．2
[3
-，0)
解：当0a =时，若0k =，直线2y =与直线0y =没有交点，不合题意． 当1a =时，二次函数为：223y x x =--．
由22223kx k x x -+=--得：2(2)25x k x k -++-． △22(2)4(25)424k k k k =+--=-+
2(2)20k =-+．
无论k 为何值，2(2)0k -，
∴△0>．
直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点， 1a ∴=符合题意．
故排除B ，D ．
当1a =-时，二次函数为：223y x x =-++． 由22223kx k x x -==-++得：2(2)10x k x +--=， △2(2)40k =-+>．
∴直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点．
1a ∴=-符合题意．
故排除A ． 故选：C ．
二、填空题。

（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．点(2,3)绕原点逆时针旋转90︒对应点的坐标是(3,2)
-．
解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90︒得到OA'，则点A'的坐标为(3,2)
-，点A'在第二象限．
故答案为(3,2)
-．
12．若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了5个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有个人患了流感．
解：设平均一人传染了x人，
1(1)36
x x x
+++=，
解得
15
x=，
27
x=-（不符合题意舍去），
经过三轮传染后患上流感的人数为：36536216
+⨯=（人)．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人，经过三轮传染后共有216人患流感．
故答案为：5，216．
13．如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六边形内的概率是33
2π
．
解：设O的半径为R，连接OE、OD，如图所示：
六边形ABCDEF是正六边形，
120
DEF
∴∠=︒，
60
OED
∴∠=︒，
OE OD R
==，
ODE
∴∆是等边三角形，
DE OD R
∴==，
作OH ED ⊥于H ，则33
sin 22
OH OE OED R R =⋅∠=⨯=， 211332224
ODE S DE OH R R ∆∴=
⋅=⨯⨯=， ∴正六边形的面积22
333642
R R =⨯
=， O 的面积2R π=，
∴飞镖落在正六边形内的概率是2
2
333322R
R ππ
=． 故答案为：
33
2π
．
14．如图，是编号为1、2、3、4的400m 跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m ，内侧的1号跑道长度为400m ，则2号跑道比1号跑道长 6.28 m ；若在一次200m 比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 (m π取3.14)．
解：每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，设1号跑道直道长为a 米，两个半圆组成的一个圆半径为r 米，则1号跑道长为(2)a r π+米，因为每条道宽1米，所以2跑道长为[2(1)]a r π++米， 则2号跑道比1号跑道长：[2(1)(2)]2 6.28a r a r πππ++-+==米；
在200m 比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），设1号跑道直道部分为m 米，半圆半径为r 米，因为每条道宽1米，所以2号跑道长为[(1)]a r π++米，4号跑道为[(3)]a r π++米， 则4号跑道比2号跑道长{(3)[(1)]}2 6.28a r a r πππ++-++==米，所以4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移6.28米．
15．下列关于二次函数2223y x mx m =---的四个结论：①当1m =时，抛物线的顶点为(1,6)-；②该函数
的图象与x 轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为4-；④点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在该函数图象上，若12x x <，12y y <，则122x x m +>；其中正确的是 ①②④ ． 解：①将1m =代入二次函数解析式得，2225(1)6y x x x =--=--，
∴抛物线的顶点为(1,6)-，故①正确；
②△222(2)4(23)48124(2)40m m m m m =---=++=++>，
∴该函数的图象与x 轴总有两个不同的公共点，故②正确；
③222223()23y x mx m x m m m =---=----，
∴二次函数的最小值为：2223(1)2m m m ---=-+-， ∴该函数的最小值的最大值为2-，故③错误；
④点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在该函数图象上，若12x x <，12y y <， 当12m x x <<时，y 随x 的增大而增大，此时122x x m +>；
当12x m x <<时，12||||x m x m -<-，整理得122x x m +>，故④正确； 故答案为：①②④．
16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，O 与AC 、AB 都相切，其半径为1．若在三角线内部沿边AB 顺时针方向滚动到与BC 相切，则点O 运动的路经长是 5 ．
解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，
22226810AB AC BC =+=+=，
如图，设O 与AC 相切于点E ，P 与BC 相切于点F ，
OE AC ∴⊥，PF BC ⊥，1OE PF ==， OP 是由OO 沿AB 滚动而得到的，
过点C 作CD AB ⊥于点D ，交P 于点G ， CG OP ∴⊥，1DG =，
11
22
ABC S AB CD AC BC ∆=⋅=⋅， 6824
105
AC BC CD AB ⋅⨯∴=
==
， 2419
155
CG CD DG ∴=-=
-=， ABC ACO COP BCP AOPB S S S S S ∆∆∆∆=+++梯形，
∴
11111
()22222
AB CD AC OE OP CG OP AB DG BC PF ⋅=⋅+⋅++⋅+⋅， 即()AB CD AC OE OP CG OP AB DG BC PF ⋅=⋅+⋅++⋅+⋅， 2419
1061(10)18155
OP OP ∴⨯
=⨯+++⨯+⨯， 解得5OP =，
即则点O 运动的路径长是5． 故答案为：5．
三、解答题。

（共8题，共72分）
17．若关于x 的一元二次方程230x x k -+=一个根为4，求方程另一个根和k 的值． 解：关于x 的一元二次方程230x x k -+=一个根为4，设另一根为a ， 43a ∴+=，4a k =，
解得：1a =-，4k =-．
18．如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转得到DBE ∆，使得点D 落在线段AC 上．若AC BC =，求证：//BE AC ．
证明：
AC BC =，
A ABC ∴∠=∠，
将ABC ∆绕点B 顺时针旋转得到DBE ∆，
AB BD ∴=，ABC DBE ∠=∠， A ADB ∴∠=∠， ADB DBE ∴∠=∠，
19．不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别． （1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；
（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的概率． 解：（1）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，
∴从袋中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是1
3
；
（2）红色小球用数字1表示，两个绿色小球分别用2和3表示， 列表如下：
1 2 3 1 (1,1) (2,1) (3,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) 3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是绿色的结果有4个， 则摸出两个绿球的概率为
4
9
． 20．如图，1O 与2O 都经过A 、B 两点，且点1O 在2O 上．记1O 的半径为1R ，2O 的半径为2R ．请用无刻度的直尺，依次完成下列的画图． （1）画一条直线平分两圆组成的图形的面积；
（2）在图中用阴影部分表示“到点2O 的距离大于等于2R ，且到点1O 的距离小于等于1R ”的点的集合； （3）在2O 上画点Q ，使AQ 是1O 的切线； （4）在线段QA 上画点M ，使13AMB MQO ∠=∠．
解：（1）如图，直线12O O 即为所求； （2）如图，阴影部分即为所求； （3）如图点Q ，直线AQ 即为所求； （4）如图，点M 即为所求．
21．四边形ABCD是菱形，O经过B、C、D三点（点O在AC上）．（1）如图1，若AB是O的切线，求ADC
∠的大小；
（2）如图2，若5
AC=，AB与O交于点E．
AB=，8
①求O的半径；
②直接写出BE的值．
解：（1）连接OB，OD，如图，
AB是O的切线，
OB AB
∴⊥．
ABO
∴∠=︒．
90
四边形ABCD是菱形，
∴=．
AB AC
∴∠=∠，
BAC BCA
∠=∠，
BOA BCA
2
BOA BAC
∴∠=∠．
2
∠+∠=︒，
90
BAC BOA
390
BAC
∴∠=︒．
30
BAC
∴∠=︒．
30
BCA
∴∠=︒．
OB OC
=，
30
OBC OCB
∴∠=∠=︒．
9030120
ABC ABO OBC
∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
四边形ABCD是菱形，
120
ADC ABC
∴∠=∠=︒．
（2）①连接BD，OB，BD与AC交于点F，如图，四边形ABCD是菱形，
AC BD ∴⊥，
1
4
2
AF FC AC
===，BF FD
=．
在Rt ABF
∆中，
2222
543 BF AB AF
=--=．设OB r
=，则OC r
=，
4
OF FC OC r
∴=-=-．
在Rt OBF
∆中，
222
OF BF OB
+=，
222
3(4)r r
∴+-=，
解得：
25
8
r=．
O
∴的半径为25
8
；
②
11
5
BE=．理由：
在Rt ABF
∆中，
3 sin
5
BF
BAC
AB
∠==．
过点O作OH BE
⊥，则
1
2
BH HE BE
==，连接OB，如图，
由①知：258
OC =
， 2539
888
OA AC OC ∴=-=-
=
． 在
Rt AOH ∆中， sin OH BAC OA
∠=
， ∴
3
5
OH OA =， 117
40
OH ∴=
． 22222511711(
)()84010
BH OB OH ∴=-=-=． 11
25
BE BH ∴==
． 22．如图，要设计一副宽12cm 、长20cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2．设每条竖彩条的宽度为2x cm ，图案中四条彩条所占面积的和为y 2cm ． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）当x 不小于0.5cm ，不大于1.5cm 时，求y 的最大值；
（3）童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元2/m ，其余部分制作费用为10元2/m ，购买材料的总费用为31.2元（不计损耗），直接写出x 的值．
解：（1）根据题意可知，每条竖彩条的宽度为2x cm ，每条横彩条的宽度为3x cm ， 022202312x x x >⎧⎪
⨯<⎨⎪⨯<⎩
， 02x ∴<<，
由题意得2012(2022)(1223)y x x =⨯--⨯-⨯， 即224168y x x =-+，
y ∴与x 之间的函数关系式为224168(02)y x x x =-+<<．
（2）
222416824( 3.5)294y x x x =-+=--+，且02x <<，
∴当0.5 1.5x 时，y 随x 的增大而增大，
∴当 1.5x =时，224(1.5 3.5)294198y =-⨯-+=最大，
y ∴的最大值是2198cm ．
（3）15元24/1510m -=⨯元23/ 1.510cm -=⨯元2/cm ，10元24/1010m -=⨯元23/10cm -=元2/cm ， 根据题意得，323100[1.510(24168)10(2022)(1223)]31.2x x x x --⨯-++-⨯-⨯=， 整理得2760x x -+=，
解得11x =，26x =（不符合题意，舍去）， 1x ∴=．
23．如图，在ABC ∆和AED ∆中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒，点G 、F 分别是ED 、BC 的中点，连接CD 、BE 、GF ． （1）求证：ACD ABE ∠=∠； （2）求
GF
CD
的值； （3）若四边形BEDC 的面积为42，周长为242，5GF =，则AB = 10 ．
（1）证明：
AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒，
ABC ∴∆和AED ∆都是等腰直角三角形，
BAE BAC EAC ∠=∠-∠，DAC DAE EAC ∠=∠-∠， BAE CAD ∴∠=∠，
在BAE ∆和CAD 中， AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BAE CAD SAS ∴∆≅∆，
ACD ABE ∴∠=∠；
（2）解：如图，连接AG ，AF ，
ABC ∆和AED ∆都是等腰直角三角形，且点G 、F 分别是ED 、BC 的中点， AG DE ∴⊥，AF BC ⊥，45FAC GAD ∠=∠=︒，
∴
2AG AD =，2AF AC =
， ∴AG AF AD AC
=， FAG FAC GAC ∠=∠-∠，CAD GAD GAC ∠=∠-∠， FAG CAD ∴∠=∠， FAG CAD ∴∆∆∽，
∴
2
2
GF AG DC AD ===
（3）解：5GF =， 252CD GF ∴==
由（1）BAE CAD ∆≅∆可知：52BE CD ==
BEDC C BE CD ED BC =+++四边形， 242252142ED BC ∴+=⨯
ABE AED BEDC ABCD S S S S ∆∆=--四边形四边形 ABC ACD ABE AED S S S S ∆∆∆∆=+--，
ABE ACD ∆≅∆，
42ABC AED BEDC S S S ∆∆∴=-=四边形， 211
24
ABC S AB AC BC ∆=⨯⋅=，
同理得21
4
AED S DE ∆=
， 设BC a =，ED b =，
第21页（共23页）
∴22114244142a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
，
将142a b =-代入22114244
a b -=中得： 2211(142)4244
b b --=， 解得42b =，
14242102a ∴=-=，
102BC ∴=，
1
1
1021022AB BC ∴=⨯=⨯=．
故答案为：10．
24．抛物线22y ax x c =++与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ，点(,3)D m 在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC 、BD ，点P 在对称轴左侧的抛物线上，若PBC DBC ∠=∠，求点P 的坐标；
（3）如图2，点Q 为第四象限抛物线上一点，经过C 、D 、Q 三点作M ，M 的弦//QF y 轴，求证：点F 在定直线上．
解：（1）将(1,0)-，(0,3)代入22y ax x c =++得023a c c =-+⎧⎨=⎩
， 解得13a c =-⎧⎨=⎩
， 223y x x ∴=-++．
（2）把3y =代入223y x x =-++得2x =，
∴点D 坐标为(2,3)，
设BP与y轴交点为G，
抛物线与y轴交点C坐标为(0,3)，//
CD x
∴轴，
(3,0)
B，
OB OC
∴=，
45
BCO CBO DCB
∴∠=∠=∠=︒．BC BC
=，PBC DBC
∠=∠，
()
CGB CDB ASA
∴∆≅∆，
2
CG CD
∴==，
1
OG OC GC
∴=-=，
∴点G坐标为(0,1)．
设直线BP解析式为y kx b
=+，
把(3,0)，(0,1)代入解析式得
1
31
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
1
3
1
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
1
1
3
y x
∴=-+，
令2
1 231
3
x x x
-++=-+，
解得
2
3
x=-或3
x=（舍)．
把
2
3
x=-代入
1
1
3
y x
=-+得
11
9
y=．
∴点P坐标为
2
(
3
-，
11
)
9
．
（3）如图，证明：
第22页（共23页）
第23页（共23页）
连接MD ，MF 设2(,23)Q m m m -++，(,)F m t ， CD 、QF 为M 的弦，
∴圆心M 是CD 、QF 的垂直平分线的交点，
(0,3)C ，(2,3)D ，//QF y 轴
223(1,)2
m m t M -+++∴． MD MF =，
2222222323(3)(21)(1)()22
m m t m m t m t -+++-+++∴-+-=-+-． 整理得：2t =，
∴点F 在定直线2y =上．。