2024届江苏省南京市二十九中学、汇文学校九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2024届江苏省南京市二十九中学、汇文学校九年级数学第一学期期末学业水平测试试题 注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sin E 的值为（ ）
A ．32
B ．12
C ．33
D ．3 2．函数1y ax =+与抛物线()210y ax bx b =++≠的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．32π+
B ．3π+
C ．32π
- D ．232π
+
4．一元二次方程220x x a -+=有实数解的条件( )
A ．1a ≥
B ．1a ≤
C ．1a >
D ．1a <
5．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25 6．计算
()23-的结果是 A ．﹣3 B ．3 C ．﹣9 D ．9
7．在下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与CD 的延长线交于点F ，085DCE ∠=，028F ∠=，则E ∠的度数为（ ）
A ．38°
B ．48°
C ．58°
D ．68°
9．如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B ，②
AE DE AB BC
=，③AD AE AC AB =，使△ADE 与△ACB 一定相似（ ）
A ．①②
B ．②
C ．①③
D ．①②③
10．三角形的一条中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形的面积之比等于（ ）
A ．12
B ．1：2
C ．1：4
D ．1：1.6
11．已知甲、乙两地相距100（km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（t ）与行驶速度v （km/h ）的
函数关系图象大致是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，则下列结论：
①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC =S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°
. 其中正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的三个顶点A 、B 、D 均在抛物线y=ax 2﹣4ax+3（a ＜0）上．若点A 是抛物线的顶点，点B 是抛物线与y 轴的交点，则AC 长为_____．
14．已知点A （a ，1）与点A′（5，b ）是关于原点对称，则a+b =________．
15．如图，一次函数1(5)?
y k x b =-+的图象在第一象限与反比例函数2k y x
=的图象相交于A ，B 两点，当12y y >时，x 的取值范围是14x <<，则k =_____．
16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x ≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．
17．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．
18．已知函数22(0)(0)
x x x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的图象如图所示，若直线y x m =+与该图象恰有两个不同的交点，则m 的取值范
围为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x ，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y ，以此确定点M 的坐标（x ，y ）．
（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点M 所有可能的坐标；
（2）求点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的概率．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22
21y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．
（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；
（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值．
21．（8分）已知关于x 的方程250x kx k ++-=.
（1）求证：不论k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
x=，求该方程的另一个根.
（2）若该方程的一个根为3
22．（10分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
23．（10分）在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．
25．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．
26．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
()1每轮传染中平均一个人传染了几个人？
()2按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】首先连接OC ，由CE 是O 切线，可得OC CE ⊥，由圆周角定理，可得60BOC ∠=︒，继而求得E ∠的度
数，则可求得sin E ∠的值．
【题目详解】解：连接OC ， CE 是O 切线，
OC CE ∴⊥，
即90OCE ∠=︒，
30CDB ∠=︒，COB ∠、CDB ∠分别是BC 所对的圆心角、圆周角,
260COB CDB ∴∠=∠=︒，
9030E COB ∴∠=︒-∠=︒，
1sin 2
E ∴∠=
． 故选：B.
【题目点拨】
此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键．
2、C
【分析】一次函数和二次函数与y 轴交点坐标都是(0,1)，然后再对a 分a>0和a<0讨论即可．
【题目详解】解：由题意知：1y ax =+与抛物线()210y ax bx b =++≠与y 轴的交点坐标均是(0,1)，故排除选项A ； 当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数()2
10y ax bx b =++≠开口向上， 故其图像有可能为选项C 所示，但不可能为选项B 所示；
当a<0时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数()2
10y ax bx b =++≠开口向下，不可能为为选项D 所示； 故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了一次函数与二次函数的图像关系，熟练掌握函数的图像与系数之间的关系是解决本类题的关键．
3、A
【题目详解】解：设AD 与圆的切点为G ，连接BG ，
∴BG ⊥AD ，
∵∠A=60°，BG ⊥AD ，
∴∠ABG=30°，在直角△ABG 中，BG=32AB=32×2=3，AG=1， ∴圆B 的半径为3，
∴S △ABG =1132⨯⨯=32
， 在菱形ABCD 中，
∵∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S 阴影=2（S △ABG ﹣S 扇形ABG ）+S 扇形FBE =23303120(3)2()2360360
ππ⨯⨯-+=32π+． 故选A ．
考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题．
4、B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式240b ac ∆=-≥即可得．
【题目详解】一元二次方程220x x a -+=有实数解
则2
(2)410a ∆=--⨯⋅≥，即440a -≥
解得1a ≤
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；（3）当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根．
5、C
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【题目详解】设白球个数为x 个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴50.25x
=+， 解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故选C ．
【题目点拨】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
6、B
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
﹣3|=3.
故选B.
7、A
【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【题目详解】A 、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选A ．
【题目点拨】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8、A
【分析】根据三角形的外角性质求出B ，然后根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可.
【题目详解】解：B =57DCE F ∠-∠=︒
057EDC B ∠=∠=
18038E EDC ECD ∠=︒-∠-∠=︒
故选A
【题目点拨】
本题考查了圆周角定理及其推论.
9、C
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【题目详解】解：∵∠A=∠A ，∠AED=∠B ，
∴△AED ∽△ABC ，故①正确，
∵∠A=∠A ，AD AE AC AB
= ， ∴△AED ∽△ABC ，故③正确，
由②无法判定△ADE 与△ACB 相似，
故选C ．
【题目点拨】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
10、C
【分析】中位线将这个三角形分成的一个小三角形与原三角形相似，根据中位线定理，可得两三角形的相似比，进而求得面积比．
【题目详解】根据三角形中位线性质可得，小三角形与原三角形相似比为1：2，则其面积比为：1：4，
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了三角形中位线的性质，比较简单，关键是知道面积比等于相似比的平方．
11、C
【分析】根据题意写出t 与v 的关系式判断即可.
【题目详解】根据题意写出t 与v 的关系式为100t=
v v
（＞0），故选C. 【题目点拨】
本题是对反比例函数解析式和图像的考查，准确写出解析式并判断其图像是解决本题的关键.
12、C
【题目详解】解：①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
EF=DE=1
3
CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=1．
∴BG=1=6﹣1=GC；
③正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④正确．理由：
∵S△GCE=1
2
GC•CE=
1
2
×1×4=6，
∵S△AFE=1
2
AF•EF=
1
2
×6×2=6，
∴S△EGC=S△AFE；
⑤错误．
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAF=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=115°．
故选C．
【题目点拨】
本题考查翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；勾股定理．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1.
【解题分析】试题解析：抛物线的对称轴x=-
4
2
a
a
-
=2，点B坐标（0，3），
∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，
∴B、D关于对称轴对称，AC=BD，
∴点D坐标（1，3）
∴AC=BD=1．
考点：1.正方形的性质；2.二次函数的性质．
14、-1
【解题分析】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－1，
故答案为－1．
15、1．
【解题分析】由已知得A、B的横坐标分别为1，1，代入两解析式即可求解.
【题目详解】由已知得A、B的横坐标分别为1，1，所以有
5
4(5)
4
k b k
k
k b
-+=
⎧
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
解得4
k=，故答案为1．
【题目点拨】
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知函数图像交点的性质.
16、3
【解题分析】试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣30）（30﹣x）=﹣（x﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．
考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．
17
【解题分析】解：如图，连接OA、OB，OG．
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OG=OA
•sin60°=2×
2
∴半径为2
【题目点拨】
本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键．
18、104m << 【解题分析】直线与y x =有一个交点，与22y x x =-+有两个交点，则有0m >，22x m x x +=-+时，
140m ∆=->，即可求解．
【题目详解】解：直线y x m =+与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y x =有一个交点，
∴0m >，
∵与2
2y x x =-+有两个交点，
∴22x m x x +=-+， 140m ∆=->，
∴14
m <
， ∴104m <<； 故答案为104
m <<
． 【题目点拨】
本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m 的范围．
三、解答题（共78分）
19、（1）树状图见解析，则点M 所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）；（2）.
【解题分析】试题分析：（1）画出树状图，可求得所有等可能的结果；（2）由点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：（1）树状图如下图：
则点M 所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，
1）；（2）∵点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的有：（1，﹣2），（2，﹣1），
∴点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的概率为：．
考点：列表法或树状图法求概率.
20、（1）顶点D （m ，1-m ）；（1）向左平移了1个单位，向上平移了1个单位；（3）m=－1或m=－1．
【解题分析】试题分析：()1把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标.
()2把点()1,2-代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解.
()3分两种情况进行讨论.
试题解析：（1）∵()2
22211y x mx m m x m m =-+--+=---+，
∴顶点D （m ，1-m ）．
（1）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-1），
∴22121m m m -=-+--+．
即220m m --=，
∴2m =或1m =-（舍去），
∴抛物线的顶点是（1，-1）．
∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了1个单位．
（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <．
情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）．作AG DH ⊥于点G ，
∵A （0，21m m --+），D （m ，-m+1），
∴H （,0m ），G （2,1m m m --+），
tan ?tan ADH AHO ADH AHO ∠=∠∴∠=∠，，
∴AG AO DG HO =．∴()22111m m m m m m m ---+=-----+． 整理得：20m m +=．∴1m =-或0m =（舍）．
情况1，点A 在y 轴的负半轴上，如图（1）．作AG DH ⊥于点G ，
∵A （0，21m m --+），D （m ，-m+1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+），
tan ?tan ADH AHO ADH AHO ∠=∠∴∠=∠，，
∴AG AO DG HO =．∴()
22111m m m m m m m -+-=-----+． 整理得：220m m +-=．∴2m =-或1m =（舍），
1m ∴=－或2m =－．
21、（1）证明见解析；（2）另一根为-2.
【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将3x =代入方程得到k 的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【题目详解】（1）∵1a =，b k =，5c k =-，
∴24b ac =-⊿
()245k k =--
2420k k =-+
()2
2160k =-+>
∴不论k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将3x =代入方程250x kx k ++-=得，
9350k k ++-=，
解得：1k =-；
∴原方程为：260x x --=，
设另一根为1x ，则有131x +=，
解得：12x =-，
所以方程的另一个根为2-.
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根与24b ac =-⊿有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
22、该段运河的河宽为．
【分析】过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【题目详解】解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，
40HE CD m ∴==，
设CH DE xm ==，
在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，
BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，
AH ∴=，
由160AH HE EB AB m ++==40160x +=，
解得：x =CH =，
则该段运河的河宽为．
【题目点拨】
考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
23、（1）26；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，由BE平分∠ABC，得出∠ABE＝∠CBE，推出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝5，得出AB＝5，即可得出结果；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，则∠FBG＝∠CKG，由点G是CF的中点，得出FG＝CG，由AAS证得△FBG≌△CKG，得出BG＝KG，CK＝BF＝CD，由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB ＝CD＝CK，AD∥BC，由平行线的性质得出∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，易证∠EKC＝∠D，∠CKB＝∠BAE，由AAS证得△AEB≌△KBC，得出BC＝BE，则∠KEC＝∠BCE，推出∠KEC＝∠DEC，由AAS证得△KEC≌△DEC，得出KE＝ED，即可得出结论．
【题目详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：
则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，
∴FG＝CG，
在△FBG和△CKG中，
∵
FBG CKG
BGF KGC FG CG
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△FBG≌△CKG（AAS），
∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，
∴∠FBE+∠D＝180°，
∴∠CKB+∠D＝180°，
∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，
∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，
∵
BAE CKB
AEB KBC AB CK
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEB≌△KBC（AAS），∴BC＝EB，
∴∠KEC＝∠BCE，
∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，
∵
KEC DEC
EKC D
CK CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△KEC≌△DEC（AAS），
∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，∴2BG+ED＝BC．
【题目点拨】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理和平行四边形的性质定理的综合应用，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
24、详见解析．
【分析】△DEH 与△ABC 均为直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一组锐角对应相等即可．
【题目详解】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，
∴∠D +∠DHE ＝∠B +∠BHF ＝90°
而∠BHF ＝∠DHE ，
∴∠D ＝∠B ，
又∵∠DEH ＝∠C ＝90°，
∴△DEH ∽△BCA ．
【题目点拨】
此题考查的是相似三角形的判定和互余的性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和等角的余角相等是解决此题的关键．
25、y ＝x 2﹣2x ．
【分析】根据抛物线经过原点可得c=0，根据对称轴公式求得b ，即可求得其解析式．
【题目详解】∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过原点，
∴c ＝0，
又∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为x ＝1， ∴﹣2
b ＝1， 解得b ＝﹣2
∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ．
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．
26、（1）8人；（2）648人.
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方
程求解；
(2)根据（1）中所求数据，进而得到第三轮被传染的人数.
【题目详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有x+1+（x+1）x=81，
解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
（2）8×81=648（人）．
答：第三轮将又有648人被传染人．
【题目点拨】
本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据题中已知等量关系列出方程式是关键.。