第四讲下球坐标中的分离变量法 ppt课件

ddddxddxsinddx
s1 i n sid d n s xi n sid d n x s m 2 2 i n ll 1 0
d d x1x2 d d x ll11 m x 22 0
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缔合勒让德方程
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本征函数即为缔合勒让德函数：
u 0c o s
O
y
x
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球坐标系
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1、定解问题
2u0, rr0,02
ur0,u0co s
u r, 0
2
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2、将u作奇延拓，将半球问题转化为全球问题
2u0, rr0,0
ur0,u0co s
u0cos
u0,有限
因为Pl(x)定义在区间[-1,1], 即在区间[0,]。目前的 区间为[0,/2]，所以要作 奇延拓。以=/2为对称 点，cos正好是奇延拓
u1 u0
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E0
r
O
y
u2
x
球坐标系
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1、定解问题
2u10, rr0
2u20, rr0
lim u2E0rcos r
ururu 2 0 2021/2/18
10
0
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2、根据对称性得通解形式
u1 u0
u 2 A lrl B lr l 1P lcos
l
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进一步分离变量：
Y ,
s inddsind d ll1si2n 1d d 2 2
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m2 6
d2
d2
m2
0
s1 in d d sin d d sm i2 2 n ll 1 0
2
e i m ,m 0 , 1 , 2 ,
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x c o , y s x
P lmx12 xl2 l!m/2d dll x m mx21l
l 0 , 1 , 2 , ; m 0 , 1 , 2 , , l
如果问题具有轴对称，可选z轴为对称 轴，则问题与无关，本征函数简化为 勒让德函数：
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Pl x 21ll!ddlxl xl=20,1,21,…l
l
A1ur00, Al 0 l1
ur,u0rr0co,s02
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例3 在上例中，若半球底面绝热，求 这个半球里的稳定温度分布。
1、定解问题
2u0, rr0,02
ur0,u0co s
u
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r,
2
0
பைடு நூலகம்
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2、将u作偶延拓，将半球问题
转化为全球问题
2u0, rr0,0
l
球对称: l=m=0
ur A B
r
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四、球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量
r 1 2 r r 2 u r r 2 s 1i n si u n r 2 s 1 2 i n 2 u 2 k 2 u 0
类似于拉普拉斯方程的分离变量
球贝塞尔函数
例 1 在均匀外电场E0中置入半径为 r0的导体球， 取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球 与地保持电势差为u0，求球内、外的电势。设 导体球置入前坐标原点的电势为零．
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解： 如图选取坐标系，原点在球心、 极轴沿E0方向的球坐标系． 除球面上有自由电荷分布外， 球内、外均无自由电荷分布， 故u1与u2均满足拉普拉斯方程 z
ur0,u0cos
u0cos
u0,有限
因导数为零，应以=/2 作偶延拓。以/2为对称 点，|cos|为偶延拓
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z
r
O
x 球坐标系
|cos|关于点=/2为轴对称， 故|cos|正好是从[0, /2]到[0, ]的偶延拓
y
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2、根据对称性得通解形式
u 2 A lrl B lr l 1P lcos
r 2 R '' 2 r ' k R 2 r 2 l l 1 R 0诺诶函数
R r A lkj rB lk n r
ur,,AlmjlkrBlmjlkrP lmcoscom s
lm
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Clmjl
krD lmjl
krP lmcos
im n 16
lm
五、球形域上的定解问题
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精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
分离变量
2l1lm!
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Clm 4
lm !
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Ylm , 24 l 1ll m m !!P lmco e sim
l 0 , 1 , 2 , ; m 0 , 1 , 2 , , l
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m及Plmcos的正交归一
2eim eim 'd 2 0
m'm
0PlmcosPl'mcossind11PlmxPl'mx
l
B 0 u 0 r 0 ,B 1 E 0 r 0 3 ,B l 0 l 0 , 1
u2E0r外c场o电 s池u0 rr0感E0 应r03 rc 2 os
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例2 半球的球面保持一定温度u0cos，半球 底面保持零度，试求这个半球的稳定温度分 布，设球半径为r0
解：如图选取坐标系， z 原点在球心 r
l
3、根据边界条件求系数
u0,有限
Bl 0
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二、球函数
Y,
Clm Plmcoseim
l 0 , 1 , 2 , ; m 0 , 1 , 2 , , l
Clm可任取，一般取其满足：
1dYlm,2
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10 2d0 sin dY lm ,2
1C l2m 20 sin dP lmco s2 1Cl2m24l1llm m!!
§2.3 球坐标中的分离变量法
一、球坐标系中拉普拉斯方程的分离变量
2u 0
r 1 2 r r 2 u r r 2 s 1i n si u n r 2 s 1 2 i n 2 u 2 0
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1
z
z
z
r
O
y
O
y
x
x
柱坐标系
球坐标系
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缔合勒让德函数正 交归一关系
2l21ll m m!!ll'
d sid n Y, Y , 2 0 2021/2/18
0
* lm l'm '
l'lm 13 '
前几个球函数：
Y00
1
4
Y10
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
Y2,0
5 3cos1
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Y2,1
15cossinei 8
Y2,2
15sin2e2i 32
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三、拉普拉斯方程的通解
ur,, Alm rlBlm rl1P lmcoscoms
lm
Clm rlD lm rl1P lmcossim n
lm
z轴对称: m=0
u r , A lrl B lr l 1P lco
u r ,, R r Y ,
R 1d d rr2d d R rYs1in sin Y Ys1i2n 2Y 2 ll1
1 dr2dRll1 r2 R '' 2 r' R ll 1 R 0
Rdr dr欧勒型方程
R(r)AlrBrl1
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s1 in s i n Y s1 i2n 2 Y 2 l球l 函1 数Y 方程 0
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3、根据边界条件求系数
lim u2E0rcos r
A lrlP lco s E 0rco s
l
A 1 E 0 , A l 0l 1
u 2 E 0 rcosB lr l 1 P lco s
l
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u 2r0u 1r0u 0
E 0 r 0co sB lr 0 l 1 P lco u s0
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z
r
O
x 球坐标系
cos关于点=/2为点对称， 故cos正好是从[0, /2]到[0, ]的奇延拓
y
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2、根据对称性得通解形式
u 2 A lrl B lr l 1P lcos
l
3、根据边界条件求系数
u0,有限
Bl 0
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A lr0lP lco su0P 1co s