2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试 数学(文) Word版

深圳高级中学（集团）2018-2019学年高二年级第一学期期末考试
数学（文科）
命题人：辛彦瑶审题人：范铯
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1.已知集合
{}{}
|14,2,1,4,8,9A x Z x B =∈-≤≤=--，设C A B =，则集合C 的元素个
数为( )
A. 9
B. 8
C. 3
D. 2
2.设复数
11z i
i =
++，则||z =（）
A ．12
B. C.
D. 2
3.下列全称命题中假命题的个数是( )
①21x +是整数()x ∈R ；②对所有的x ∈R ，3x >；③对任意一个x ∈Z ，2
21x +为奇数．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4、已知
0.6222,log 3,log sin
5a b c ππ
===，则（ ）
A.c b a <<
B.c a b <<
C.b a c <<
D. a c b <<
5．某公司2013—2018年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)
的统计资料如表所示：
A ．利润中位数是16，x 与y 有正相关关系
B ．利润中位数是17，x 与y 有正相关关系
C ．利润中位数是17，x 与y 有负相关关系
D ．利润中位数是18，x 与y 有负相关关系
6.过点(4,5)P 引圆
22
2410x y x y +--+=的切线，则切线长是 ( ) A ．3
B
C ．4
D ．5
7.已知非零向量(,0)a t =，(1,3)b =-，若4a b =-，则2a b +与b 的夹角为（ ）
A ．3π B.2π C.6π D.23π
8. 执行如下图的程序框图，那么输出S 的值是( )
A. 2
B.1
C. 1
2 D. -1
9.点
(,1)6P π-是函数()sin()(0,)
2f x x m ωϕωϕ=++><π的图象的一个对称中心，且点P
4π. ①(f x ②()f x 的值域为[0,2]
③(f x ()f x 在5[,2]
3π
π上单调递增
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4
10.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为 ( ) A ．710
B ．310
C ．35
D ．25
11.若两个正实数,x y 满足141x y +=，且存在这样的,x y 使不等式234y x m m
+<+有
解，则实数m 的取值范围是（）
8题图
A ．(
)
1,4- B.
()4,1- C.()(),41,-∞-+∞D.()(),30,-∞-+∞
12.已知椭圆和双曲线有共同焦点
12,F F ，P 是它们的一个交点，且
123F PF π
∠=
，记椭圆和
双曲线的离心率分别为12,e e ，则121
e e 的最大值为（） A ．3 B.2 C.
D.
二.填空题：本大共4小题．每小题5分，满分20分．
13.已知双曲线C ：22
221y x a b -=
的焦距为()1,2P 在双曲线C 的渐近线上，则双曲
线C 的方程为____________________ .
22
110025
y x -=. 14．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________2i - 15.已知函数)(ln 2
1)(2
R a x a x x f ∈+=
，若函数)(x f 的图象在2=x 处的切线方程为0=+-b y x ，则实数=a ．2-
16.已知数列
}{n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且
1(2)
2n n n
S a n =
+≥，则数列}{n a 的
通项公式为_____________.
1,
12(1),2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本题满分10分）
某银行对某市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：
(1)
试求z y ＝b ′x ＋a ′.
(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2019年房贷发放数额.
参考公式：
18(本小题满分12分) 如图，在ABC ∆中，点
D 在BC 边上，A D A C ⊥，
cos
B =
，AB =BD =
（1）求ABD ∆的面积； （2）求线段DC 的长．
19（本小题满分12分）
按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080mg /100ml :(不含80)之间，属酒后驾车；在
80mg /100ml (含80)以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查
了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数； (2)从血液酒精浓度在[)70,90范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
20（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且31379,,,S a a a =成等比数列.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）若数列
{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足
2n
n n a b =
，求数列{}n b 的前项和n T .
21（本小题满分12分）已知动圆过定点A (0，2)，且在x 轴上截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)点P 为轨迹C 上任意一点，直线l 为轨迹C 上在点P 处的切线，直线l 交直线：y ＝－1于点R ，过点P 作PQ ⊥l 交轨迹C 于点Q ，求△PQR 的面积的最小值． 22．(本小题满分l2分)已知函数2
12f (x )ln x ax x,a R.=-+∈
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )的极值大于0?若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.
深圳高级中学（集团）2018-2019学年高二年级第一学期期末考试
数学（文科）答案
命题人：辛彦瑶审题人：范铯
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. D
2. B
3. C 4、A 5． B 6.B 7.A 8. A
【解析】当2=S ，0=k 时，执行第一次循环体：
，1=k ；
，2=k ；
，3=k ；
，4=k ；……，
观察可知：其周期为3，且20196733=⨯， 所以输出的2=S ，故选A
9. D 10.A 11. C 12.D
13.
14．2i - 15.2- 16.
1,12(1),2n
n a n n =⎧=⎨-≥⎩
三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本题满分10分）
[解] (1)计算得＝3，＝2.2，错误!错误!t 错误!＝55，错误!错误!t i z i ＝45，所以b ＝＝1.2，a ＝2.2－1.2×3＝－1.4， 所以z ＝1.2t －1.4.
注意到t ＝x －2 013，z ＝(y －50)÷10， 代入z ＝1.2t －1.4，整理得y ＝12x －24120.
(2)当x ＝2 019时，y ＝108，即2017年房贷发放的实际值约为108亿元．
18(本小题满分12分) 解：（1）在ABD ∆中，
（2）在ABC ∆中，由余弦定理得B BC AB BD AB AD cos 22
2
2
⋅⋅-+=
ADB ∠ +ADC ∠=
180,
19（本小题满分12分） 解: (1)由频率分布直方图可知：
血液酒精浓度在
[)80,90内范围内有：0.0120102⨯⨯=人……………2分 血液酒精浓度在
[)90,100内范围内有：0.00520101⨯⨯=人……………4分
所以醉酒驾车的人数为213+=人……………6分
(2)因为血液酒精浓度在
[)70,80内范围内有3人，记为,,,a b c [)80,90范围内有2人，
记为,,d e 则从中任取2人的所有情况为(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e ，(,),(,)b c b d ，(,)b e ，
(,),(,),(,)c d c e d e 共10种………………………………………………………8分
恰有一人的血液酒精浓度在
[)80,90范围内的情况有
(,),(,)a d a e ,(,),(,),(,),(,)b d b e c d c e ，共6种…………………………………10分
设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则
分
20（本小题满分12分）
【解析】 （1
）由题得，
，设等差数列
的公差为，则，
化简，得或
.
当
时，
，得
，
∴
，
即；
当
时，由
，得
，即
；
（2）由（1
()1n +
++① ()1n ⎛+++②
由①-②可得3
112⎛⎫⎛⎫+
+- ⎪⎝⎭
21（本小题满分12分）已知动圆过定点A (0，2)，且在x 轴上截得的弦长为4.
解：(1)设C (x ，y )，|CA |2－y 2＝4，即x 2＝4y .
∴动圆圆心的轨迹C 的方程为x 2＝4y .……………5分 (2)C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝x 2，故y ′＝x .设P (t ≠0)， PR 所在的直线方程为y －＝(x －t )，即y ＝x －， 则点R 的横坐标x R ＝， |PR |＝|x R －t |＝.
……………7分
PQ 所在的直线方程为y －＝－(x －t )，即y ＝－x ＋2＋，由消去y 得＋x －2－＝0，
由x P ＋x Q ＝－得点Q 的横坐标为x Q ＝－－t ， ……………9分 又|PQ |＝|x P －x Q |＝＝.
……………10分
∴S △PQR ＝|PQ ||PR |＝.不妨设t >0，记f (t )＝(t >0)，
则当t ＝2时，f (t )min ＝4.由S △PQR ＝[f (t )]3，得△PQR 的面积的最小值为16.
……………12分
22．(本小题满分l2分)
(1)解：函数f(x)的定义域为),0(+∞.
……1分
①当a=0，0)(',0>∴>x f x
∴函数f(x)单调递增区间为),0(+∞ . ……2分
②当0=/a 时，令f'(x)=0
01,02=--∴>x ax x . a 41+=∆∴.
(i)当0≤∆，即
时，得012≤--x ax ，故0)('≥x f ，
∴函数f(x)的单调递增区间为)0(∞+，
. ……3分 (ii)当0>∆，即
时，方程012=--x ax 的两个实根分别为
……4分
，则0,021<<x x ，此时，当),0(+∞∈x 时，0)('>x f . ∴函数f(x)的单调递增区间为),0(+∞，……………5分 若a>0，则0,021><x x ，
此时，当),0(2x x ∈时，0)('>x f ，当),(2+∞∈x x 时，0)('<x f ，
∴函数f(x)
综上所述，当a>0时，函数f(x)
当0≤a 时，函数f(x)的单调递增区间为),0(+∞，无单调递减区间．……………6分 (2)解：由(1)得当0≤a 时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)无极值；………7分
当a>0时，函数f(x)
则f(x)分而
01222=--x ax ，即122
2+=x ax ，……8分
9分 在),0(+∞上为增函数．
又h(1)=0，则h(x)>0等价于x>1．
等价于12>x . ………10分
即在a>0时，方程012=--x ax 的大根大于1， 设
1)(2--=x ax x φ，由于)(x φ的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴，则只需0)1(<φ，即a-1-1<0解得a<2，而a>0，
故实数a 的取值范围为(0，2)．………12分
说明：若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分．
1．
在),0(+∞是减函数，
a=20，2），
从而实数a 的取值范围为(0，2)．
2．a>0，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为(0，2).。