浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第一次联考试题(含解析)

成 ABE ，则点 A 在面 BCDE 内的射影 O' 在线段 OF 上，
设 A 到平面 BCDE 上的距离为 h ，则 h A'O' ，
tan h tan h tan h
由二面角、线面角的定义得：
O'O ，
O'B ，
O'C ，
显然 O'O O'B,O'O O'C ，所以 tan 最大，所以 最大，
不成立.
【详解】如图在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，
令平面 为底面 ABCD ，平面 为平面 BCC1B1 ，直线 a 为 AA1
若直线 AB 为直线 b ，此时 b ，且 ，故排除 A,B,D； 因为 a ， a / / ，所以 内存在与 a 平行的直线，且该直线也垂直 ，由面面垂直的判 定定理得： ，故选 C.
1 2
11
2
23 3
cm3
，
6 2 2 1 2 ( 5)2 ( 2 )2 1 11 2 1 1 2 23
表面积为：
2
22
2
cБайду номын сангаас2
【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能 力和运算求解能力.
e
c a
2
3 3
，故选
C.
【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.
3.已知 a, b 是不同的直线，， 是不同的平面，若 a ， b ， a / / ，则下列命题
中正确的是（ ）
A. b
B. b / /
C.
D. / /
【答案】C
【解析】
【分析】
构造长方体中的线、面与直线 a, b, , 相对应，从而直观地发现 成立，其它情况均
an
ln
2
an
．则下列说法正确的是（
）
A.
0
a2019
1 2
B.
1 2
a2019
1
C.
1
a2019
3 2
D.
3 2
a2019
2
【答案】B
【解析】 【分析】
考察函数
f
(x)
x
ln(2
x)(0
x
2)
，则
f
' ( x)
1
2
1
x
1 x 2x
0
先根据单调性可
得
an
1 ，再利用单调性可得
0
a1
1 2
a2
a3
f
(0)
f
(2)
0,
f (0) f (2) b(4 2a b) b2 2ab 4b b2 2ab a2 4b a2
(a b)2 4b a2 0 ，即 (a b)2 a2 4b 又因为 a2 4b 0 ，所以， a2 4b a b a2 4b ；
数求得最值.
x 3 x y 1 【详解】画出约束条件 y 2(x 1) 所表示的可行域，如图所示，
根据目标函数 z 2x y 的几何意义，当直线 y 2x z 在 y 轴上的截距达到最大时， z 取 得最大值，当直线过点 A(3, 4) 时，其截距最大，所以 zmax 2 3 4 10 ，故选 B. 【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线 y 2x z 在 y 轴上的截
9.已知函数 f ( x) x2 ax b(a,b R) 有两个零点，则“ 2 a b 0 ”是“函数
f (x) 至少有一个零点属于区间[0，2]”的一个（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
函数 f ( x) x2 ax b(a,b R) 有两个零点，所以判别式 a2 4b 0 ，再从函数在
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合 A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.
【详解】因为集合 A {x | (x 3)(x 1) 0}， B {x‖x 1 | 1} ， 所以 A {x | x 3 或 x 1} ， B {x | x 2 或 x 0} ，
【答案】
23 (1). 3
(2). 23
【解析】
【分析】
判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积.
【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：
正方体的棱长为 2 ，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为 2 ，
所以多面体的体积为：
2
22
1 3
【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需 能举出反例加以说明.
x 3
x
y
1
4.已知实数 x, y 满足 y 2(x 1) ，则 z 2x y 的最大值为（ ）
A. 11
B. 10
C. 6
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数 z 2x y 的几何意义，当直线 y 2x z 在 y 轴上的截距达到最大时， z 取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函
x C,D；由
2
的函数值和 2
x
3 2
函数值的正负可排除
A.
【详解】当 x 2 时， f (2 ) ln 2 0 排除 C,D，
x 当2
时，
f () 0 2 ，当 2
x
3 2
时， ln x
0,cos x 0 ，
所以 f (x) 0 排除 A,
故选 B.
【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，
z
11.复数
(1 i)2 1i
（i
为虚数单位），则
z
的虚部为_____， |
z
| __________.
【答案】 (1). -1 (2). 2
【解析】 【分析】
复数 z 进行四则运算化简得 z 1 i ，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为 1，模为
2.
z (1 i)2 2i(1 i) 1 i
同时小于半径之和，从而得到 7 y0 7 . 【详解】设 A(0, y0 ) ，两圆的圆心距 d y02 32 ， 因为以 A 为圆心、半径为 3 的圆与圆 C 有公共点，
所以 3 1 d 3 1 2 y02 32 4 ，解得 7 y0 7 ，选项 B、C、D 不合题意，
23
C. 3
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的方程得 a2 9, b2 3 ，又根据 c2 a2 b2 ，可得 a, c 的值再代入离心率公式.
【详解】由双曲线的方程得 a2 9, b2 3 ，又根据 c2 a2 b2 9 3 12 ，
解得： a 3,c 2
3
，所以
故选 A. 【点睛】本题考查两圆相交的 位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得 圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.
6.已知函数
f
(x)
x 2 1, x 0
log2 x
,x 0
，若
f
a 1，则实数 a
的取值范围是（
）
A. ( 4] [2, )
而后面推不出前面（前面是后面的子集），
所以“ 2 a b 0 ”是“函数 f (x) 至少有一个零点属于区间[0，2]”的充分不必要条件，
故选 A. 【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于 基础题.
10.已知数列 {an } 满足：
0
a1
1 2
，
an1
则（ ）
A. C.
【答案】D 【解析】 【分析】
B. D.
由折叠前后图象的对比得点 A 在面 BCDE 内的射影 O' 在线段 OF 上，利用二面角、线面有 的定义，求出 tan , tan , tan 的表达式，再进行大小比较.
【详解】如图所示，在矩形 ABCD 中，过 A 作 AF⊥BE 交于点 O ，将 ABE 沿直线 BE 折
0,
f f
(0) (2)
b 4
0, 2a
b
0,
（2）函数 f (x) 在[0，2]上有 2 个零点
0
a 2
2,
解得： 2 a b 0 ；
综上所述“函数 f (x) 至少有一个零点属于区间[0，2]” 2 a b 0 或
a2 4b a b a2 4b ， 所以 2 a b 0 2 a b 0 或 a2 4b a b a2 4b ，
考查数形结合思想的运用.
8.在矩形 ABCD 中， AB 4 ， AD 3 ， E 为边 AD 上的一点， DE 1，现将 ABE 沿 直线 BE 折成 ABE ，使得点 A 在平面 BCDE 上的射影在四边形 BCDE 内（不含边界）， 设二面角 A BE C 的大小为 ，直线 AB ， A'C 与平面 BCDE 所成的角分别为 , ，
当 O' 与 O 重合时， (tan )max
h OB
(tan )min
，
h OC
，
h 因为 OB
h OC
，所以 (tan )max
(tan )min ，则 tan
tan
，所以
，
所以 ，故选 D.
【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切
函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.
B. [1, 2]
C. [4,0) (0,2]
D. [4, 2]
【答案】D 【解析】
【分析】
a 0,
a 0,
不等式
f
a 1
等价于
a
2
1 1,
或 log2
a
1,
分别解不等式组后，取并集可求得 a
的
取值范围.
a 0,
a 0,
【详解】
f
a 1
a
2
1 1,
或 log2
a
1,
，
解得： 4 a 0 或 0 a 2 ，即 a [4, 2]，故选 D.
【详解】因为 1 i (1 i)(1 i)
，所以 z 的虚部为 1，
| z | (1)2 12 2 ，
故填： 1; 2 .
【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.
12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm），则该几何体的体积为_____
cm3 ，表面积为____ cm2 .
[0，2]上的零点个数得出相应条件，从而解出 a b 的范围.
【详解】函数 f ( x) x2 ax b(a,b R) 有两个零点，所以判别式 a2 4b 0 ，
函数 f (x) 至少有一个零点属于区间[0，2]分为两种情况：
（1）函数
f
(x)
在区间 [0，2] 上只有一个零点
0,
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届高三数学第一次联考
试题（含解析）
一、选择题
1.已知集合 A {x | (x 3)(x 1) 0}， B {x‖x 1 | 1} ，则 CR A B （ ）
A. [1,0) (2,3]
B. (2,3]
C. (, 0) (2, )
D. (1,0) (2,3)
【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对 a 进行分类讨论，使 f (a) 取不同的解析
式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.
7.已知函数 f ( x) ln(| x |) cos x ，以下哪个是 f (x) 的图象（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由x
2
时的函数值，排除
所以 CR A {x | 1 x 3} ，
所以 CR A B {x | 2 x 3 或 1 x 0} ，故选 A.
【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.
C : x2 y2 1 2.已知双曲线 9 3 ，则 C 的离心率为（ ）
3 A. 2
B. 3
距达到最大时， z 取得最大值，考查数形结合思想的应用.
5.已知圆 C 的方程为 (x 3)2 y2 1 ，若 y 轴上存在一点 A ，使得以 A 为圆心、半径为 3 的圆与圆 C 有公共点，则 A 的纵坐标可以是（ ）
A. 1 【答案】A 【解析】
B. –3
C. 5
D. -7
【分析】
设 A(0, y0 ) ，以 A 为圆心、半径为 3 的圆与圆 C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，
an
1
.
【详解】考察函数 f (x) x ln(2 x)(0 x 2) ，
由
f
' ( x)
1
2
1
x
1 x 2x
0
可得
f
(x)
在
0,1 单调递增，
由
f
' ( x)
0 可得
f
(x)
1, 2
在 单调递减
且 f (x) f 1 1，可得 an 1，数列{an}为单调递增数列，
如图所示：
f (0) ln 2 ln
且
4 ln
e
1 2 ， a2
f (a1)
f (0)
1 2
，
0
图象可得
a1
1 2
a2
a3
an
1
，
所以
1 2
a2019
1
，故选
B.
【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究
数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.
二、填空题