2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：点、线、面之间的位置关系

••＞必过数材美
1. 平面的基本性质
(1) 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(2) 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
(3) 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
2. 空间中两直线的位置关系
(1) 空间中
两直线的位置关系
共面直线
.异面直线：不同在任何一个平面内
(2) 异面直线所成的角
①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点0,作直线a'// a, b'// b,把a' 与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.
②范围：0, n.
(3) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(4) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
［小题体验］
1. _________________________________________________ "点P在直线m 上, m在平面a内”可表示为 ____________________________________________________ .
解析：点在直线上用，直线在平面上用“？”.
答案：P€ m, m? a
2.平面aA 3= l，点A € a,点B € a,且C? l, C € 3,又AB A l= R,如图所示，过A,
B, C三点确定的平面为Y贝U 3A = _________ .
解析：由已知条件可知，C € Y AB n 1= R, AB? Y所以R€ Y又因为C, R€ ®故阳丫 =CR.
答案：CR
3•以下四个命题中，正确命题的个数是_____________ .
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则A, B, C, D, E共面；
③若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A, B, C三点共线，
则A, B, C, D , E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然
b, c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面•故正确的个数
为1.
答案：1
1 •异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.
2 •直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
3•不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.
［小题纠偏］
1 • （2019南京名校联考）已知直线a和平面a , an 3=l, a? a, a? 且a在a, B内
的射影分别为直线b和c ,则直线b和c的位置关系是 ____________ •
解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
答案：相交、平行或异面
2. ___________________________________________ 在下列四个命题中，正确命题的个数为•
① a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a// B；
② a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a丄B；
③ a , b是异面直线，若直线 c , d分别与a , b都相交，则c, d也是异面直线；
④ a , b是异面直线，则存在平面a过a且与b垂直.
解析：因为a , b是异面直线，所以可以作出两个平面a, B分别过a , b,并使a// B,
所以①正确；因为 a , b是异面直线,所以存在两个互相垂直的平面分别过 a , b,所以②正
确；因为a , b是异面直线，若直线c , d与a , b分别都相交，则c , d相交或异面，所以③ 不正确；因为a , b是异面直线，若 a , b垂直，则存在平面a过a且与b垂直，若a , b不垂直，则不存在平面a 过a且与b垂直，④不正确.
答案：2
3•四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有______________ 个.
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面.
答案：4
考点一平面的基本性质及应用基础送分型考点——自主练透
［题组练透］
1如图所示，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F分别是AB，AA i的中点•求证:
⑴E, C, D i, F四点共面；
(2)CE , D i F , DA 三线共点.
证明：(i)如图，连结EF , A i B, CD i.
因为E, F分别是AB, AA i的中点，
所以EF // A i B.
又A i B / CD i,
所以EF // CD i,
所以E, C, D i, F四点共面.
(2)因为EF // CD i, EF V CD i,
所以CE与D i F必相交，设交点为P,
则由P€ CE , CE?平面ABCD , 得P €平面ABCD .
同理P€平面ADD i A i.
又平面ABCD门平面ADD i A i= DA ,
所以P€直线DA.
所以CE , D i F , DA三线共点.
2.如图，在四边形ABCD中，已知AB // CD,直线AB , BC , AD , DC
分别与平面a相交于点E , G , H, F ,求证：E , F , G , H 四点必定共线.
证明：因为AB// CD,
所以AB , CD确定一个平面3 又因为AB A a= E , AB? 3,
所以 E € a, E € B,
即E为平面a与B的一个公共点.
同理可证F, G, H均为平面a与B的公共点，
因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线, 所以E，F，G，H四点必定共线.
［谨记通法］
1.证明点共线问题的常用方法
公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理
这些点都在交线上
3证明
同一法选择其中两点确疋一条直线，然后证明其余点也在该直线上
2. 证明线共点问题的常用方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.
3. 证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余兀素确定平面
面a, B重合
B,最后证明平
考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点一一师生共研
［典例引领］
如图，在正方体ABCD -A i B i C i D i中，M , N分别为棱CQ i, C i C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC i是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB i是异面直线；
④直线AM与DD i是异面直线.
其中正确的结论的序号为 _________ .
解析：直线AM与CC i是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误.点B, B i, N 在平面BB i C i C中，点M在此平面外，所以BN , MB i是异面直线•同理AM , DD i也是异面直线.
1.
上面例题中正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱所在直线中与直线
________ 条.
解析：与AB 异面的有4条：CC i , DD i , A 1D 1, B i C i .
答案：4
2.
在图中，G , N , M , H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线
GH ,
解析：图①中，直线 GH // MN ;图②中，G , H , N 三点共面，但 M ?平面GHN ，因 此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG , GM // HN ,因此GH 与MN 共面；图④中，G , M , N 共面，但 H ?平面GMN ，因此 GH 与MN 异面.所以在图②④中， GH 与MN 异面.
答案：②④
考点三异面直线的证明
重点保分型考点一一师生共研
［典例引领］
如图，已知不共面的三条直线 a , b , c 相交于点P , A € a , B € a , C € b, D € c ,求证:
AD 与BC 是异面直线.
证明：法一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为 a,那么点P , A , B , C , D 都在平面a 内，
答案：③④
空间两直
线位置关系
可构 造几 何模
AB 是异面直线的有
［由题悟法］
方法" ［即时应用］
所以直线a, b, c都在平面a内，
与已知条件a, b, c不共面矛盾，假设不成立,
所以AD和BC是异面直线.
法二：(直接证法)因为a n c= P, 所以它们确定一个平面，
设为a由已知C?平面a B €平面a, 则BC ?平面a,
又AD ?平面a, B?AD ,
所以AD和BC是异面直线.
［由题悟法］
证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面, 从而可得两直线异面.有时也可以用直接法证明.
［即时应用］
如图所示，正方体ABCD-A I B I C I D I中，M ,
的中点.问：
(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2) D i B和CC i是否是异面直线？说明理由.
解：(1)AM与CN不是异面直线.理由如下：
连结MN , A1C1, AC.
因为M , N分别是A1B1, B1C1的中点，所以MN // A1C1.
又因为A1A // C1C, A1A= C1C,
所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1// AC,所以MN // AC,
A B
所以A, M , N , C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.
⑵D1B与CC1是异面直线•证明如下：
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以B, C, C1, D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面a,使D1B ?平面a, CC1?平面a ,
所以D1 , B , C , C1 € a,与ABCD-A1B1 G|D 1是正方体矛盾.
所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.
设P 表示一个点，a , b 表示两条直线，
其中正确命题的序号是
.
① P € a , P € a ? a ? a ； ②a n b = P , b ? 3? a ? 3； ③a // b , a ? a, P € b , P € a ? b ? ④ an 3= b , P € a, P € 3? P € b.
答案：③④
2. （2018高邮期中）给出以下说法： ① 不共面的四点中，任意三点不共线； ② 有三个不同公共点的两个平面重合； ③ 没有公共点的两条直线是异面直线；
④ 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；
⑤ 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. 其中正确结论的序号是 __________ .
解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明： 若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；
在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误； 在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误； 在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；
在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可 以确定两个平面，故⑤正确.
答案：①⑤
3. _________________________________________________________________________ 若平面a B 相交，在a, B 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定 ___________________ 个平面.
解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三 点可确定一个平面，所以可确定四个.
答案：1或4 4.
如
图，平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面又与CC i '
共面的棱有 _________ 条.
“
伤
CZI 0 □ 1=1
欝雇窗月空躡宓购懺尿鎚
a, B 表示两个平面，给出下列四个命题,
冲B
解析：依题意，与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行有棱AA i,
BB仁与AB平行且与CC i相交的棱有CD, C1D1.故符合条件的有5 条.
答案：5
5.设a, b, c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若 a // b, b// c,贝U a// c;
②若a丄b, b±c,贝U a// c;
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a?平面a, b?平面3,则a, b 一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是 _____ （写出所有正确命题的序号）.
解析：由公理4知①正确；当a丄b, b丄c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a? a, b? 3
并不能说明a与b "不同在任何一个平面内”，故④错.
答案：①
二保咼考，全练题型做到咼考达标
1.已知A, B, C, D是空间四点，命题甲：A, B, C, D四点不共面，命题乙：直线
AC和BD不相交，则甲是乙成立的________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”
或“既不充分也不必要”）.
解析：若A, B, C, D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交;
若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A, B, C, D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.
答案：充分不必要
2. （2019常州一中检测）如图，在长方体ABCD -A i B i C i D i中，
点E , F分别为B i O和C i O的中点，长方体的各棱中，与EF平行
的有______ 条.
解析：•/ EF是厶OB i C i的中位线，
••• EF // B i C i.
••• B i C i / BC // AD // A i D i,二与EF 平行的棱共有4 条.
答案：4
3. ___________________________________ 下列命题中，真命题的个数为.
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M € a, M € 3 aA 3= l，贝U M € l.
解析：根据公理3,可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命
题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题.综上，真命题的个数为 2.
答案：2
4. 已知I, m, n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与直线m垂直，则直线n
与平面a的关系是__________ .
解析：因为I? a,且I与n异面，所以n?a,又因为m丄a, n丄m,所以n // a. 答案：n// a
5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E , H分别是边AB ,
CF CG 2 …
AD的中点，点F , G分别是边BC , CD上的点，且—=—=§,则
下列说法正确的是_______ （填序号）.
①EF与GH平行；
②EF与GH异面;
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC 上;
④EF与GH的交点M —定在直线AC 上.
解析：连结EH , FG ,如图所示. 依题意，可得EH // BD, FG
// BD , 故EH // FG,所以E, F , G, H共面.
1 2
因为EH = 2BD , FG = 3BD, 故EH 工FG ,
所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M
在EF上, 故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上, 所以点M是平面ACB与平面ACD 的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M —定在直线AC 上.
答案：④
6. 如图为正方体表面的一种展
开图，则图中的四条线段AB,
CD , EF , GH在原正方体中互为异面直线的对数为___________ 对.
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则
AB , CD , EF和GH在原正方体中，显然AB与CD, EF与GH ,
AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异
面的直线有且只有3对.
答案：3
7. 如图是正四面体的平面展开图，
G , H , M , N分别为DE ,B H E N C
BE , EF , EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是___________ .
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN 成60°角，DE丄MN .
答案：②③④
8. （2019通州月考）如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E,
F , G, H分别是棱CC1, C1D1, D1D , CD的中点，N是BC的中点，
点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______________ 时，有MN
//平面B1BDD1.
解析：•/ HN // DB , FH // D1D,
•••平面FHN //平面B1BDD1.
•••点M在四边形EFGH及其内部运动，
故M € FH .
答案：M在线段FH上
9. （2018南师附中检测）如图，E, F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A, C1C的
中点•求证：四边形B1EDF是平行四边形.
A R
证明：设Q是DD1的中点，连结E Q, Q C1,如图.
因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以E Q綊A1D1.
又A1D1 綊B1C1，所以E Q綊B1C1,
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊6Q
又Q, F分别是D1D，C1C的中点，
所以Q D綊C1F，
所以四边形D Q C1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.
故B i E 綊DF ，所以四边形 B i EDF 是平行四边形. 10.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形, 1 1 / BAD =Z FAB = 90 ° BC // AD , BC = Q AD , BE // FA , BE = ~FA , G , H 分别为FA , FD 的中点. (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C , D , F , E 四点是否共面？为什么？说明理由. 解：⑴证明：因为 G , H 分别为FA , FD 的中点， 1 所以 GH // AD , GH = 2AD. 1 又 BC // AD , BC = Q AD , 所以GH 綊BC ,所以四边形 BCHG 为平行四边形. 1 ⑵四点共面，理由如下：由 BE // FA , BE = Q FA , G 为FA 的中点知，BE // FG , BE =FG , 所以四边形BEFG 为平行四边形，所以 EF // BG. 由(1)知BG // CH ，所以EF // CH ，所以EF 与CH 共面. 又D € FH ，所以C , D , F , E 四点共面. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
时，EH // FG 且EH = FG .当 将□时，EH // FG ,但EH 工FG ,所以①②③正确，只有④错 误. 答案：①②③ 2. 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，E , F 分别为棱 AA Q , CC i 的中点，则在空间中与三 条直线A i D i , EF , CD 都相交的直线有 ___________ 条.
1.如图所示，设 E , F , G , H 依次是空间四边形 ABCD 边AB , AE AH BC , CD , DA 上除端点外的点， —=A D =人CB CD 论中正确的是 (填序号). ①当 入= 卩时, 四边形 EFG H ②当 卩时, 四边形 EFG H ③当 卩时, 四边形 EFG H ④当 入= 卩时， 四边形 EFG H 由AB = AD =入得EH // BD ，且BD =入同理得FG / BD 且BD D 是平行四边形; 是梯形; 定不是平行四边形; 是梯形.
解析:
CF CG 卩，则下列结
解析：如图，在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面a,
因为CD与平面a不平行，所以它们相交，设aP CD = Q连结P Q则P Q与EF必然相交, 即P Q为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1, EF , CD都相交.
答案：无数
3•如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是边长为2的正三角形，侧棱A I A
丄底面ABC，点E, F分别是棱CC i, BB1上的点，点M是线段AC上的动点，
EC = 2FB = 2.
(1)当点M在何位置时，BM //平面AEF?
⑵若BM //平面AEF ,判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与
EF所成的角的余弦值.
解：⑴法一：如图所示，取AE的中点0,连结OF，过点0作0M丄AC
于点M.
因为侧棱A I A丄底面ABC ,
所以侧面A1ACC1X底面ABC.
又因为EC = 2FB = 2,
1
所以0M // FB // EC 且0M = 2EC = FB ,
所以四边形0MBF为矩形，BM // 0F.
因为0F ?平面AEF , BM ?平面AEF ,
故BM //平面AEF，此时点M为AC的中点.
如图所示，取EC的中点P, AC的中点Q,连结P Q, PB, BQ
15
5 -
因为EC = 2FB = 2，所以PE綊BF ,
所以P Q// AE, PB // EF ,
所以P Q//平面AFE , PB //平面AEF , 因为PB P P Q= P, PB, P Q ?平面PB Q 所以平面PBQ//平面AEF .
又因为B Q?平面PB Q
所以B Q//平面AEF.
故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.
(2)由(1)知，BM与EF异面，/ 0FE (或/ MBP )就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.
易求AF = EF = 5 , MB = 0F = 3 , 0F 丄AE , 所以cos/ 0FE = 0F=^3=书，
所以BM与EF所成的角的余弦值为
15
5 -。