2018学年第二学期高二数学《反证法》学案含答案

反证法
学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重、难点).
知识点一间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.
常见的间接证明的方法是反证法.
知识点二反证法
1.反证法定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
1.反证法就是证明命题的否定“若p，则綈q”为假，从而得到原命题“若p，则q”为真.(√)
2.反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.(√)
题型一用反证法证明否定性命题
【例1】设{a n}是公比为q的等比数列.设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列.
证明假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，
a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，
a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，
∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾，
∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列.
规律方法 1.用反证法证明否定命题的适用类型：结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤
【训练1】 已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1
(a >1)，求证：方程f (x )＝0没有负数根. 证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，
则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1
， ∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12
<x 0<2，这与x 0<0矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根.
题型二 用反证法证明唯一性问题
【例2】 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行.
证明 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a ，又b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .
这与b ∩b ′＝A 矛盾，故假设错误，
所以过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行.
规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便.
【训练2】 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.
已知：平面α和一点P .
求证：过点P 与α垂直的直线只有一条.
证明 如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设PA ⊥α，垂足为A (或P ).
假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设PA ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线PA ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立.
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题
【例3】 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根(不考虑重根).
证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f (α)＝f (β)＝0.
因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾，
所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.
规律方法 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.
【训练3】 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x
＜2中至少有一个成立. 证明 假设1＋x y ＜2和1＋y x
＜2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x
≥2同时成立. ∵x ＞0且y ＞0，
∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，
两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，
∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾，
∴1＋x y ＜2与1＋y x
＜2中至少有一个成立. 课堂达标
1.“a <b ”的反面应是( )
A.a ≠b
B.a >b
C.a ＝b
D.a ＝b 或a >b
答案 D
2.用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( )
A.a 不垂直于c
B.a ，b 都不垂直于c
C.a ⊥b
D.a 与b 相交
答案 D
3.用反证法证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
4.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
答案 B
5.已知a 是整数，a 2是偶数，求证a 也是偶数.
证明 (反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数.
设a ＝2n ＋1(n ∈Z )，则a 2＝4n 2＋4n ＋1.
∵4(n 2＋n )是偶数，
∴4n 2＋4n ＋1是奇数，这与已知a 2是偶数矛盾.
由上述矛盾可知，a 一定是偶数.
课堂小结
1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立.
2.用反证法证明问题时要注意以下三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.
(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.
基础过关
1.否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A.a ，b ，c 都是偶数
B.a ，b ，c 都是奇数
C.a ，b ，c 中至少有两个偶数
D.a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数
解析 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”.
答案 D
2.有下列叙述：
①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.
答案 B
3.用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A.a ，b 都能被5整除
B.a ，b 都不能被5整除
C.a ，b 不都能被5整除
D.a 不能被5整除
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”.
答案 B
4.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”. 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.
解析 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.
答案 丙
6.设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：{c n }不是等比数列.
证明 假设{c n }是等比数列，则当n ≥2时，(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)·(a n ＋1＋b n ＋1).
所以a 2n ＋2a n b n ＋b 2n ＝a n －1a n ＋1＋a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＋b n －1b n ＋1.
设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q (p ≠q ).
因为a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1，
所以2a n b n ＝a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＝a n p
·b n ·q ＋b n q
·a n ·p ，
所以2＝q p ＋p q ，所以当p ≠q 时，q p ＋p q >2或q p ＋p q ≤－2与q p ＋p q
＝2矛盾， 所以{c n }不是等比数列.
7.已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，
因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1.
又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，
所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，
所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 能力提升
8.用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
( )
A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数
C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.
答案 A
9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( ) A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D .至少有一个不大于2
解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1a <6. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6， 这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
答案 C
10.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.
根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________.
解析 假如甲：我没偷是真的，乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾.
假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立. ∴可以判断偷珠宝的人是甲.
答案 甲
11.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围
是________.
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，
∴a <－1或a >13
. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，
∴－2<a <0，故－2<a <－1.
若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
12.已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14
. 证明 假设三个式子同时大于14
， 即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14
， 三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14
. 同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14
， 所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.
13.(选做题)已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，是否存在实数a ，使得以PQ 为直径
的圆经过坐标原点O ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
解 不存在.理由如下：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则OP ⊥OQ .
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝1，x 2－2y 2＝1，
消去y ，整理得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0， ∴x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1x 2＝－31－2a 2.
∵x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1－1)(ax2－1)＝0，∴(1＋a2)x1x2－a(x1＋x2)＋1＝0，
即(1＋a2)·－3
1－2a2－a·
－4a
1－2a2
＋1＝0，
∴a2＝－2，这是不可能的.
故不存在满足题设条件的实数a.。