第三讲_4、圆周角的性质及推论
圆周角定理的推论
●O
C
B
2、如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙Ｏ点E ，连接BE
∵AE是⊙Ｏ的直径
∴∠ABE＝90°
B
又∵∠C＝30°
∴∠E＝30°
A
●O C
∵ AB=4
∴AE= 8
E
在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地 学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越 重山跨峻岭。 —— 华罗庚
议一议
（2）如图：点C的位置发生了变化， ∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为 什么？
D
A
像这样，四个顶BCD外接圆。
B
C
解：如图，圆内接四边形ABCD中
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角
的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝ 180° A
同理∠B＋∠D＝180°
圆周角和圆心角的关系
圆周角定理的推论
情境导入
1. 理解圆周角定理的推论 2. 运用数学分类思想给予逻辑证明 定理，得出推导，动手证明定理推 论的正确性，最后运用定理及其推 论解决问题
想一想：（小组讨论得出结论并证明） （1）如图，BC是⊙O的直径，那么 它所对的圆周角有什么特点？你能 证明你的结论吗？
O
B
C
圆内接四边形的对角互补.
想一想：
如图：∠DCE是圆内接四边形ABCD是一个 外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
当堂检测
1、填空题:
A
D
(1)如图所示,
∠BAC= ∠BDC,∠DAC= ∠DBC.
C
B
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,
C为⊙O上一点,∠BAC=30°,
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析一圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
二 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠利用圆周角定理的推论求角的度数BABA O例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．例3（2016·山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．利用圆周角定理的推论进行推理论证例4 （2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5 如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．分析：由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．利用圆内接四边形的性质求度数例6（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）利用圆内接四边形的性质进行推理证明 例 7 （2015南京）（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．圆周角定理与相似三角形的综合例 8 （2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．(第26题)例 9 （肇庆市2012）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．圆内接四边形性质的综合应用例10 （2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC ＝β．求证：（1）∠ABD ＝90°－β （2）CD ⊥DF ； （３）BC=2CD ．圆周角定理与函数的综合例 1 1 如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，（1）求证：△ACE ∽△CBE ；（2）若AB=4，设OE=x （0＜x ＜2），CE=y ，请求出y 关于x 的函数解析式图7。
圆周角的概念及定理
教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课教学目标知识和能力1.了解圆周角与圆心角的关系.2.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.3.能运用圆周角的性质解决问题.过程和方法1.通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.2.通过观察图形，提高学生的识图能力.3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力.4.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题.情感态度价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.教学难点发现并论证圆周角定理.教学准备教师多媒体课件问题与情境师生行为设计意图[活动1 ]演示课件或图片：问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角( 和)有什么关系?问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角( 和)和同学乙的视角相同吗?教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物.教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题.教师结合示意图，给出圆周角的定义.利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧( )所对的圆心角( )与圆周角( )、同弧所对的圆周角( 、、等)之间的大小关系.教师引导学生进行探究.教师关注：1.问题的提出是否引起了学生的兴趣;2.学生是否理解了示意图;3.学生是否理解了圆周角的定义;4.学生是否清楚了要研究的数学问题.从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学.将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法.引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.[活动2]问题1同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的?问题2同弧(弧AB )所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的?教师提出问题，引导学生利用度量工具(量角器)动手实验，进行度量，发现结论.在活动中，教师应关注：1.学生是否积极参与活动;2.学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确.由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现.教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化.1.拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动;2.改变圆心角的度数;3.改变圆的半径大小.活动2的设计是为引导学生发现.让学生亲自动手，利用度量工具(如半圆仪、)进行实验、探究，得出结论.激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系.[活动3]问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况? (课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论?问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢?教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论.教师关注：1.学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果;2.学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系.教师巡视，请学生回答问题.回答不全面时，请其他同学给予补充.教师演示圆心与圆周角的三种位置关系.教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论.学生写出已知、求证，完成证明.教师关注：1.学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来;2.学生能否证明出结论.学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动.启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化.教师关注：1.学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化;2.学生添加辅助线的合理性;3.学生是否会利用问题2的结论进行证明.教师讲评学生的证明，板书圆周角定理.数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学.通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问题、分析问题，并能解决问题.活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明.培养学生严谨的治学态度.问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题.培养学生思维的深刻性.问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般.学会运用化归思想将问题转化.并启发培养学生创造性的解决问题.[活动4]问题1半圆(或直径)所对的圆周角是多少度?(课件：圆周角定理推论)问题290°的圆周角所对的弦是什么?问题3在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗?∠ABC=30°∠A’B’C’=30°问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗?为什么?问题5如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角? 问题6如图，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长.学生独立思考，回答问题，教师讲评.问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆(或直径)所对的圆心角的度数得出圆周角的度数.问题2提出后，教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径.问题3提出后，教师关注：学生能否得出正确的结论，并能说明理由.教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件.问题4提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等.问题5提出后，教师关注：学生是否准确找出同弧所对的圆周角.问题6提出后，教师关注：1.学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD;2.学生能否将要求的线段放到三角形里求解;活动4的设计是圆周角定理的应用.通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用.问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论.问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件.问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移.问题5、6是定理的应用.即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解.教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果.[活动5]问题通过本节课的学习你有哪些收获?教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容.教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握.教师布置作业.通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感.增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解.课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展.作业设计必做教科书P87：选做教科书P89教学反思。
第3章圆 题型解读4 五大性质定理之圆周角定理-北师大版九年级数学下册
题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ； 注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。
四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可． 解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。
初三数学圆周角知识点
初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。
九年级数学下册《圆周角定理及其推论》教案、教学设计
2.在解决综合性的几何问题时，缺乏系统的解题思路和方法。
3.部分学生对几何图形的观察和分析能力较弱，影响了解题效果。
针对以上情况，教师应关注以下几点：
1.注重启发引导，帮助学生建立圆周角定理的知识体系，提高学生的理解能力。
2.通过典型例题的讲解和练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.学生独立完成练习题，教师巡回辅导，解答学生疑问。
4.选取部分学生的作业进行展示和点评，表扬优秀作业，指出不足之处，并提出改进建议。
（五）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学内容，总结圆周角定理及其推论的核心要点。
2.帮助学生梳理解题思路和方法，强调几何图形在解题过程中的作用。
3.鼓励学生提出本节课的收获和疑问，组织全班同学进行交流讨论。
2.鼓励小组成员积极发表见解，共同探讨解决问题的策略和方法。
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
4.各小组汇报讨论成果，分享解题心得，促进全班同学共同提高。
（四）课堂练习
1.设计具有梯度性的练习题，让学生分层练习，巩固所学知识。
2.练习题涵盖圆周角定理及其推论的应用，包括基础题、提高题和拓展题。
-采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业和阶段测试，全面评估学生的学习效果。
-关注学生在解题过程中的思维过程，鼓励创新和灵活运用知识。
-定期对学生的学习情况进行反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效率。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习圆的基本概念和性质，如圆心、半径、直径等，为学生学习圆周角定理做好铺垫。
-总结反馈：引导学生总结学习收获，对易错点进行梳理和讲解，巩固学习成果。
人教版九年级上册数学24.1.4圆心角和圆周角教案
举例：针对难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用模型或动画演示，让学生直观地看到圆心角和圆周角的关系。
-设计不同难度的练习题，从基础的计算题到综合应用题，逐步提升学生的计算能力。
-在讲解圆周角定理时，通过具体例题，展示定理在不同图形中的应用，帮助学生掌握定理的使用方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆心角和圆周角的基本概念。圆心角是圆上任意两条半径所夹的角，圆周角是圆上一段弧所对的角。它们在几何图形中具有重要的性质和作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆上不同位置和度数的圆心角和圆周角，了解它们在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
-理解圆心角和圆周角的概念：圆心角是圆上任意两条半径所夹的角，圆周角是圆上一段弧所对的角。这两个概念是本节课的核心，需让学生充分理解。
-掌握圆心角和圆周角的性质：圆心角等于其所对圆周角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆周角所对的弧相等。这些性质是解决相关问题的关键。
-学会圆心角和圆周角的计算：能够根据已知条件，如半径、直径或角度，计算所对弧的长度或圆心角、圆周角的度数。
此外，关于学生小组讨论，我发现大部分学生能够围绕主题展开讨论，提出有见地的观点。但在引导与启发环节，我觉得自己的问题设置还有待优化，可以更加具有针对性和开放性，以便激发学生的思维。
在总结回顾环节，我尝试让学生自己总结今天的学习内容，以检验他们对知识点的掌握程度。但从学生的回答来看，部分同学对圆心角和圆周角的性质、计算方法等还不够熟练。这说明我在教学中需要加强对重点难点的讲解和练习，确保学生能够扎实掌握。
半径所对的圆周角-概述说明以及解释
半径所对的圆周角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是圆的一个重要性质，它是指从圆心出发所夹的两条弧所对的角。
而半径所对的圆周角则是指一条弧所对的角的顶点处于圆的中心，并且与圆的半径相交。
本文将探讨半径所对的圆周角的性质及其与半径的关系，旨在帮助读者更深入地理解圆的几何特性。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍圆周角的定义，以便读者了解基本概念。
其次，将详细讨论半径所对的圆周角性质，包括相关定理和推论。
最后，将探讨圆周角与半径之间的关系，分析它们之间的几何性质和相互影响。
通过这些内容的讨论，读者能够深入了解圆周角的相关知识，为进一步学习和研究奠定基础。
1.3 目的本文旨在探讨半径所对的圆周角这一重要概念。
通过深入分析圆周角的定义、性质以及与半径的关系，我们希望读者能够更好地理解这一概念，并且能够应用在实际问题中。
此外，我们也将通过展望部分，展示半径所对的圆周角在数学领域以及其他相关领域中的潜在应用价值，为读者提供更广阔的思考空间和启发。
通过本文的阐述，我们希望读者能够对半径所对的圆周角有一个全面而深入的了解，从而加深对数学知识的理解和掌握。
2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，圆上的一条弧所夹的角。
在直角坐标系中，圆周角的度数通常用弧度来表示，其中一个完整的圆周角等于360度或2π弧度。
圆周角的大小与所夹的圆弧的长度成正比，当圆弧长度为半径的长度时，圆周角大小为一个弧度。
根据圆周角的定义，我们可以得出一个重要定理：弧长相等的两个圆周角是相等的。
这个定理可以方便我们计算圆周角的大小，只需要知道所夹弧的长度和半径的长度即可求得圆周角的大小。
总之，圆周角是一种特殊的角度，它的大小与所夹的圆弧长度成正比，是圆的重要性质之一。
在接下来的内容中，我们将探讨半径所对的圆周角的性质以及圆周角与半径之间的关系。
2.2 半径所对的圆周角性质在一个圆上，一个半径所对的圆周角是一个直角。
这是一个非常重要的性质，也是我们在几何学中经常会应用到的一个定理。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角概念和性质
圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ． 分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。
圆周角定理 课件
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】 和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以 通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段， 有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB， 又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一 与圆周角定理相关的证明 例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是 平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理 圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相__等__． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对
圆周角
圆周角主要内容：（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。
如图，∠BAC强调圆周角与圆心角的区别。
2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
强调：（1）定理的证明思路和方法，强调分类、归纳的数学思想。
（2）圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧。
推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。
（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。
说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。
（2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。
如图中，∠ACB＝∠ADB∠ACB＋∠AEB＝180°∠ADB＋∠AEB＝180°（二）圆的确定1. 过一点的圆有无数个。
2. 过两点的圆有无数个。
3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。
5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。
它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心在三角形内部。
直角三角形的外心是斜边中点。
钝角三角形的外心在三角形的外部。
【典型例题】例1.分析：则∠C＝∠D，易解。
解：作直径AD，连结BD则∠ABD＝90°，∠D＝∠C即⊙O的半径长为10例2. 如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD，连结AD、BC，OE⊥BC于点E。
分析：略证明：作直径BF，连结FA、FC则∠BCF＝∠BAF＝90°∵OE⊥BC，∴CE＝BE又OB＝OF，∴OE为△BCF的中位线又AB⊥CD，FA⊥AB∴FA∥CD例3.且DG⊥AB于点G。
分析：略（1）证明：如图∴∠1＝∠A又∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB又AB为直径，∴∠ADB＝90°例4.分析：略解：（1）当点A在弦BC所对的优弧上时，如图（1）连OB、OC，过O作OD⊥BC于D（2）当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图（2）求∠BOC＝120°的方法同前。
圆周角定理的推导过程
圆周角定理的推导过程关键信息项：1、圆周角的定义2、圆心角的定义3、同弧所对圆周角与圆心角的关系4、不同位置圆周角与圆心角的关系5、圆周角定理的表述11 圆周角的定义圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
111 以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数个。
112 圆周角的度数取决于它所对弧的度数。
12 圆心角的定义圆心角是指顶点在圆心的角。
121 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
21 同弧所对圆周角与圆心角的关系考虑在圆中，同弧所对的圆周角和圆心角。
211 画出圆心 O ，弧 AB ，圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 。
212 连接 CO 并延长交圆于点 D 。
213 可得∠AOD ＝ 2∠ACD ，∠BOD ＝ 2∠BCD 。
214 因为∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ，所以∠AOB ＝ 2(∠ACD ＋∠BCD) ，即∠AOB ＝ 2∠ACB 。
215 从而得出同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
31 不同位置圆周角与圆心角的关系当圆周角的顶点在优弧上时，证明方法类似。
311 当圆周角的顶点在劣弧上时，同样可以通过连接圆心和圆周角顶点，并延长得到与上述类似的关系。
312 综上，无论圆周角的顶点在圆上的何处位置，同弧所对的圆周角都是圆心角的一半。
41 圆周角定理的表述圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
411 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
412 圆周角定理在几何证明和计算中具有重要的应用，它为解决与圆相关的角度问题提供了基础依据。
413 通过圆周角定理，可以方便地求出圆中各种角度的大小，进而解决与圆相关的图形的性质和关系问题。
414 在实际应用中，需要根据具体的问题情境，灵活运用圆周角定理及其推论。
415 对于复杂的图形，可以通过添加辅助线，构造出同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，以便运用圆周角定理进行求解。
资料：第三讲：圆周角圆心角(尖子生班)
圆心角和圆周角知识点一:圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角重点:1°圆心角所对的弧叫做1°的弧; n°的圆心角所对的弧就是n°的弧1.钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）A．90° B．82．5° C．67．5° D．60°2.弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4∶5，M为AB中点，则∠AOM＝（）．A．50°B．80°C．100° D．160°3.（2013•徐州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB的度数为_______ °．4.（2008•湛江）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．5.（2009•衢州）如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是_________ °，∠B2的度数是_________ °；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n C n把圆周2n等分，请你用含n 的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．6.（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．知识点二:圆心角、圆周角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．1.（2013•内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm2.（2012•绥化）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A= _________ ．3.（2013•南京二模）如图，点A1、A2、A3、A4、A5在⊙O上，且====，B、C分别是A1A2、A2A3上两点，A1B=A2C，A5B与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为_________ ．4.如图，△ADC 的外接圆直径AB 交CD 于点E ，已知∠C=65°，∠D=47°，求∠CEB 的度数．5.如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E=20°，∠DBC=50°，求∠CBE 的度数．6.如图，扇形的圆心角为，正三角形的中心恰好为扇形的圆心，且点在扇形内（1）请连接，并证明；（2）求证：与扇形重叠部分的面积等于面积的．知识点三:圆的内接四边形对角互补1.如图，点A ､C ､B 在⊙O 上，已知∠AOB=∠ACB=a ，则a 的值为（ ） A ． 135° B ． 120° C ． 110°D． 100°ODE 120ABC ODE B ODE OA OB 、AOF BOG △≌△ABC △ODE ABC △132.如图，AB 是O 的直径，点C D E ，，都在O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ ．3.如图所示，若的度数等于38°，求∠CBE+∠D 的度数．4.如图，AB 是⊙O 的直径，弧AC 的度数是60°，弧BE 的度数是20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为 ．5.（2008•莱芜）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.（2010•咸宁）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为（ ） A ． 35° B ． 40° C ． 50° D ． 80°7.已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．8.如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：（1）OA⊥DB；（2）CD+CB=2CE；（3）∠CBA﹣∠DAC=∠ACB；（4）若∠DAB=90°，则CD+CB=CA．其中正确的结论是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）9.如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（）A．4 B．2 C．D．10.（2008•济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= _________ 度．。
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⌒. ∴⌒ AD=BD
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对 角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
.O
C B
P
A P
O B C
例2.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中， C
BC AB AC 10 6 8
2 2 2 2
A
O
·
D
B
∵CD平分∠ACB，
⌒
∵OC=OB，
C O A
∴∠OCB=∠OBC． 又 ∠AOB=∠OCB+∠OBC ∴∠AOB=2∠OCB
·
B
即
1 C AOB 2
结论：圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半. 如图：则有
1 ∠ACB= 2 AOB ；
1 ∠ADB= AOB ； 2
∠ ACB =∠ ADB .
知识像一艘船，让它载 着我们驶向理想的 ……
再 见 !
C
A
O
·
B
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直 角; 90°的圆周角所对的弦是直径.
例1.如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点 P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
解:连接BC,则∠ACB=90°, ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, D ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝ 100°. A
⌒ 1.在一个圆中，并画出AB 所对的圆周角能
画多少个？它们有什么关系？ 2.在同圆和等圆中，如果两个弧 相等，它们所对的圆周角一定 相等吗？为什么？反过来呢？
D A C O
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
E
·
B
三、探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图， △ABC内接 于⊙O, 请思考当∠AOB 为180°时, ∠ACB的度 数是多少?从而你得到什 么结论?
3 6 4 5
C A
2 1 8 7
∠3 = ∠6
B
D
2.求圆中角x的度数。 120 ° 35° 120°
O
A
70° x
.
O X
A
.
O
C 3.如图，圆心角∠AOB=100°，则 130° ∠ACB=___. 4、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500， 则∠CAD=_________ 25°
顶点在圆上 圆周角 两边都与圆还另有一交点
B
O
·
C
顶点在圆上，并且两边都与圆还另有 一个交点的角叫做圆周角 . 练习:指出下图中的圆周角.
A
C
O D
E
×
（1）
O
O
√
×
（3）
O
×
O
（2）
（4）
O
×
B
√
（5）
F （6）
如图,△ABC是等边三形,∠BAC 与∠BOC的大小有什么关系?
(∠BAC与∠BOC分别是弧BC所对 的圆周角和圆心角)
A
O B C
BAC 60, BOC 120,
1 BAC BOC 2
分别量出图中 AB 所对的圆周角 和圆心角的度数，比较一下，你 有什么发现？
⌒
C
O
·
BБайду номын сангаас
A
1.如图，在⊙O中，AC为直径， ∠AOB和∠ACB分别是AB 所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠ACB的大小具 有什么关系？说出你的理由.
B
A
B
内容小结：
(1)一个概念（圆周角） (2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
它所对圆心角的一半.
(3)二个推论： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
内容小结：
思想方法：一种方法和一种思想. 在证明中，运用了数学中的分 类方法和化归思想. 分类时要做到不重不漏；化归思想是 将复杂问题转化成一系列的简单问题 或已证问题.
圆周角定理及其推论
学习目标
1、了解圆周角的概念 2、掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运 用他们解决问题 3、由圆周角和圆心角的关系的探索学会以 特殊情形为基础，通过转化来解决一般问 题的方法，并渗透分类的数学思想
请仔细观察下图,△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、 ∠C有什么共同特点?
A