随机变量函数的分布

二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }

4 y /

f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
其中， min{ g ( a ), g ( b )}, max{ g ( a ), g ( b )}
例2 设X具有密度函数f(x)，求线性函数Y＝k1X＋k2
的密度函数（k1，k2是常数且k1≠0）.
y k2 其反函数 x = h(y ) k1
(y) h
1 k
1
y k 1 2 f (y )f( ) Y k |k 1 1|
h y f[ h ( y )], y y = g(x)处处可 f y Y , 其他 导，严格单调， 0 其反函数 其中， min{ g ( ), g ( )}, x = h (y ) max{ g ( ), g ( )}
1
0.25
2
0.2
3
0.15
求 Z=X2
解 将X所有可能的取值一一代入函数
例1 设随机变量X的概率分布为
X
P
-2
0.05
-1
0.15
0
0.20
1
0.25
2
0.2
3
0.15
求Z=X2的分布律
X P
-2 0.05
-1 0.15
0 0.20
Байду номын сангаас
Z
4
1
0
1 0.25
2 0.2
3 0.15
1
4
9
Z的概率分布为 Z=X2 P 0 0.20 1 0.40 4 0.25 9 0.15
的密度函数（k1，k2是常数且k1≠0）. 分析 y = g(x) ＝k1x＋k2 处处可导，严格单调
y k2 其反函数 x = h(y ) k 1
(y) h
1
k
1
,
h y f[ h ( y )], y y = g(x)处处可 f y Y , 其他 导，严格单调， 0 其反函数 其中， min{ g ( ), g ( )}, x = h (y ) max{ g ( ), g ( )}
布, 求圆片面积的概率密度.
解 设圆片直径的测量值为 X , 面积为Y , 则有
2 Y X .
4
按已知条件, X 的概率密度为
1 , x [ 5 ,6 ] fX(x ) 0 , 其它
max{ x / 4 } 9 . min{ x / 4 } 25 / 4 ,
( x ) g () x g () x y 1 k k 使 g k k k 1 k 2 m 1 2 m
则在Y的分布列中，取的概率为
PY PX x y PXx k k 1 2 PX x p k k m i
i 1





m
二 、连续型随机变量函数的分布 1. 公式法 定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
2
2 对于函数 y 时, x /4 ,当 x [ 5 , 6 ]
2
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
布, 求圆片面积的概率分布密度.
解
max{ x / 4 } 9 . min{ x / 4 } 25 / 4 ,
2
2 对于函数 y 时, x /4 ,当 x [ 5 , 6 ]
布, 求圆片面积的概率分布密度. 解
当 25 时, /4 y 9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }

4 y /

f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
1.5
随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
一 、离散型随机变量函数的分布
• 若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且它的取 值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得. 例1 设随机变量X的概率分布为
X
P
-2
0.05
-1
0.15
0
0.20
布, 求圆片面积的概率分布密度. 解 当 25 时, /4 y 9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
5 4 y / 5

4 y /
( y ) F ( y ) ( 4 y / 5 ) 1 /y 由于 f Y 故随机变量 Y的分布密度函数为
1 / y , 25 / 4 y 9 f ( y ) . Y , 其它 0
完
0 dx dx 4 y / 5 1
f ( x ) dx X

h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
其中， min{ g ( ), g ( )}, max{ g ( ), g ( )}
例2 设X具有密度函数f(x)，求线性函数Y＝k1X＋k2
2
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
布, 求圆片面积的概率分布密度. 解 对于函数 y 时, x /4 ,当 x [ 5 , 6 ]
2
2
max{ x / 4 } 9 . min{ x / 4 } 25 / 4 ,
2
于是
当 25 时, /4 y 9