第二讲 集合之间的基本关系及其运算

第二讲 集合之间的基本关系及其运算
一．知识盘点
知识点一：集合间的基本关系
注意：1.A B A B B A
A B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩
且且
2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。

3.集合间基本关系必须熟记的3个结论
（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ
(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。

知识点二：集合的基本运算
运算 符号语言 Venn 图 运算性质
交集
{}|A B x x A =∈∈且x B
()(),A
B A A B B ⊆⊆ (),A
A A A
B B A ==
A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ
并集
{}|A B x x A x B =∈∈或
()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==
,A B B A B A A =⇔⊆Φ=
补集
{}|U C A x x U x A =∈∉且
,U U C U C U =ΦΦ=
()(),U U U C C A A A C A U ==
()U A
C A =Φ
()()()U U U C A B C A C B = ()()
()U U U C A B C A C B =
二．例题精讲
Ep1.下列说法正确的是
A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合
B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，
U
A
C. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，
D. {}{}(){}2
2
2
||,|x y x
y y x x y y x =====
解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。

{}2
|x y x R == ,{}{}2
||0y y x y y ==≥ ，(){}2
,|x y y x = 是二次函
数2
y x = 的点集
Ep2.已知集合A={}2|1log ,k
x N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，
则
A.K>8
B.K ≥ 8
C.K>16
D.K ≥ 16
解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k
> ，所以k>16.
Ep3.已知集合M={}
{}
2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是
A.M N ⊂
B.N M ⊂
C.R M C N ⊆
D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.
Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.
Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是
{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -
解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取
值集合{}1,0,1-
Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合
A B 的子集的个数是
解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=
A.4
B.7
C.8
D.16
Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是
.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞
解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-
Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选C
Ep9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则
.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]
解析：选C
Ep10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B=
{}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭
，故选D.
Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则
{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<
解析：
{}
|01B y y =≤<
，则{}|01R C B y y =<≥或y
，
(){}{}{}|11|01|10R A
C B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.
Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（
.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D
解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.
三．总结提高
1.题型归类
（1）2个集合之间的关系判断
（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算
（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算
（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结
（1）判断集合间关系的方法
a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系
b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系
c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。

（2）求集合中元素个数的方法
a确定集合中的元素是什么
b看这些元素要满足什么限制条件
c根据限制条件确定集合中的元素个数或利用数形结合的方法求解。

(3)子集个数的求解
a穷举法：将集合的子集一一找出来（适合元素个数较少的情况）b公式法：含有n个元素的集合的子集的个数是2n个，非空子集的个数是21
n-。

n-；真子集个数是21
n-，非空真子集个数是22
注意：解题时要考虑两个问题：
a.集合中的元素分别是什么
b.两个集合中元素之间的关系是什么
（4）根据集合间关系或运算结果求参数的值或取值范围
a.将集合中的运算关系转化成两个集合之间的关系，如果集合中的元素能够一一列举出来，则用观察的方法得到两个集合中元素之间的关系；如果集合是与不等式有关的集合，一般用数轴解决，需要注意的是端点能否取到；
b.将集合之间的关系转化为解不等式（组）或解方程（组）问题求解；
c.根据求解结果来确定参数的值或取值范围
d.已知两个集合之间关系求参数的取值范围时，关键是要把两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件，同时注意是包含关系还是真包含关系；此类问题常常与不等式（组）相关，需要用数轴或
Venn 图来辅助分析。

【特别提醒】
解集合运算问题应注意一下几点：
（1）看元素构成，是数还是有序数对，是函数自变量还是函数值；
（2）对集合化简；
（3）注意数形结合（常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图）。

四．同步练习
1.已知集合A={1,2,3},B={1,3,5},则B A 等于( ) A.{1,2} B.{1,3} C.{1,2,3,5} D.{2,3,5}
2.设集合A={4,2,3},B={
}2
2,3a
，,A=B,则a 的值为( )
A.2
B.-2
C. 2±
D.无法确定 3.已知集合A={矩形},B={菱形},则B A 等于( )
A.{菱形}
B.{四边形}
C.{正方形}
D.{平行四边形} 4.设集合A={(x,y)|2x-y=3},B={(x,y)|x+y=9},则B A 等于( ) A.{x=4,y=5} B.{4,5} C.{(5,4)} D.{(4,5)} 5.已知集合A={x||x|<2}，B={x||x|>1},则B A 等于( ) A.(-2.-1) (1,2) B.(1,2) C.(-2,2) D.(-2,-1) 6.已知{1,2} ⊆ M ⊆{1,2,3,4,5,6},则满足条件的集合M 有____个
7.设集合
},31|{Z x x x P ∈<<-=且 .
（1）用列举法表示集合P ； （2）写出集合P 的非空真子集.
8.已知集合{}{}2|230,|2,x A x Z x x B y y A B =∈--≤==则子集的个数是 A.10 B.16 C.8 D.7
9.已知集合{}{}0,1,|A B x x A ==⊆ 则下列集合A 和B 的关系正确的是 A..B A ∈ B.A B ⊂ C.B A ⊂ D.A B ∈
10.已知集合{}{}22|lg(|0,0,A x y x x B x x cx c A B ==-=-<>⊆），如果 ,则实数c 的取值范围是
.(0,1]A .[1,)B +∞ .(0,1)C .(1,)D +∞
11.已知集合1|
0,2x A x Z x +⎧⎫
=∈≤⎨⎬-⎩⎭
则集合A 的子集的个数是 A.7 B.8 C.15 D.16
12.设集合{{
|,|A y y B x y ==== 则下面结论正确的是 A.A B = B.A B ⊆ C.B A ⊆ D.{}|1A B x x =≥
13.已知集合{}2017
|ln ,x|2017,2018x A x y B x a x +⎧⎫
===-<⊆⎨⎬-⎩
⎭如果B A ,则实数a 的取值范围是
A.[]0,2018
B.[]0,1
C.[]2017,1-
D.[]1,2018 14.已知集合{}2|20R A x x x C A =-->=则
{}.|12A x x -<<
{}
.|12B x x -≤≤
{}{}.|1|2C x x x x <->
{}
{}.|1|2D x x x x ≤-≥
15.
已知集合{}{}|1,|31x A x x B x =<=< 则 A.{}|0A B x x =< B.A B R = C.{}|1A B x x => D.A B =Φ
16.设集合{}{}
若则a的取值范围是=-≤<=<≠Φ
A x x
B x x a A B
|12,|,,
A.12
a>-
a≥- D.1
a
-<≤ B.a>2 C.1
17.集合{}{}{}
2
若则a的值是
===
0,2,,1,,0,1,2,4,16
A a
B a A B
A.0
B.1
C.2
D.4。