2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件9.2空间直线(第1课时)
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2. 在空间中，如果两直线a、b都平行于同 一条直线，则直线a、b的位置关系是平__行__.
3. 在空间中，如果一个角的两边和 另一个角的两边_分__别__平__行___，并且这两 个角的__方__向__相__同__，那么这两个角相等.
4. 既不平行又不相交的两直线是 _一 的异_直_点面_线_的直_是_直线_异_线_面；，直连和线结这.平个面平内面不一__经点__过与__此平__点面__外__
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)△ECD中，
EC
所以
EF a2 b2 2
a2 b2 ED 4
参考题
斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，
∠B1BA=∠B1BC=∠ABC，
求异面直线A1B1和BC1的距离.
解：因为△ABC为正三角形， 所以∠ABC=60°， 从而∠B1BA=∠B1BC=60°. 连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，
故异面直线A1B1和BC1的距离为
a 2
.
a 2
.
1. 利用三线平行公理判断或证明两 直线平行，关键是找到第三条直线，使 得这两条直线都与第三条直线平行.
2. 判定两直线是否为异面直线，一 般根据图形的直观性，结合异面直线的 定义及异面直线的判定定理就能确定.证 明两直线为异面直线，通常用反证法.
5. 过空间任意一点分别作两异面直线a、b
的平行线，则这两条相交直线所成_锐_角__或__直__角__ 叫做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所
成的角的取值范围 是(0__, ___]; 如果两条异面直线 所 成 的 角 为 9 0 ° ， 则2称 这 两 条 异 面 直 线
_互__相__垂__直____.
因为 AM =2，AN=2， 所以MMNE∥EF. NF 故MN∥BD. 点评：证明空间两直线平行，可转化
为在同一平面内两直线的平行问题，
然后利用平行的判定证得平行.
如图，在空间四边形ABCD中，E、H分
别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上
的点，且
CF .CG 2
(1)证明：EHC∥B FGC;D 3
所以△ABB1和△CBB1都是正三角形，
所以AB1=CB1=a，从而四面体ABCB1 为正四面体，
所以AB⊥B1C.
因为A1B1∥AB， 所以B1C⊥A1B1.
又四边形BCC1B1为菱形， 所以BC1⊥B1C，
所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线.
设B1C交BC1于D，则B1D=
1 2
B1C=
第九章 直线、平面、简单几何体
第
讲
（第一课时）
考 ●空间两直线的位置关系
点
●三线平行公理和等角定理
搜 ●异面直线的概念、夹角和距离 索 高考
高 1.判断两直线的位置关系，两直
考
线平行的判定与转化.
猜 2.异面直线所成的角和距离的分
想
析与计算.
1. 空间两条不同直线的位置关系有相交、
平行、异面三种，其中两相交直线是指 _有__且__只__有__一__个____公共点的两直线;两平行直线是 指 异面在直_同_线_一_是_平_指_面__不_内___同____在;且__任____何没____一有____个公__平共__面点__内的的两两直直线线;两.
因为α∩β=l，所以B∈l，
从而b∩l= B，这与b∥l矛盾.
所以a与b不相交.故a与b是异面直线.
点评：空间直线的位置关系有三种： 平行、相交、异面.本题证两直线异面用的 是反证法.利用反证法证明时，首先是反设 (即否定结论)，并把反设作为一个推理条件， 然后逐步推理，直到得出矛盾.
如图，在空间四边形ABCD中，
AD=AC=BC=BD=a，AB=CD=b， E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离.
解：(1)证明：连结CE、DE.
AC BC
AD AE
BD BE
AB AB
CE DE
所以AABB⊥ 平EF面，C同DE理CD⊥EF，
所以∠BDE就是BD与
SA所成的角.
设SA=a，
则BD=BE= a3，DE= a1，
2
2
cos BDE BD2 DE 2 BE 2 3
2BD DE
6
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长 为1，侧棱长为 ，则2 这个棱柱的侧面对角 线E1D与BC1所成的角是____. 60°
题型2
异面直线问题
2. 已知α∩β=l，a α，b β.
若a∩l= A ，且b∥l，求证：a与b是异面直线.
证明：假设a，b不是异面直线，
则a∥b或a与b相交.
若a∥b，因为b∥l，所以a∥l，
这若与a与a∩b相l=A交矛，盾设，a所∩b以=Ba.＼因//b为. a α，b β，
所以B∈α，B∈β， 即B为α、β的一个公共点.
异面；而由两直线平行，可知两直线没有公
共点.即“两直线没有公共点”是“两直线平行” 的必要不充分条件.故选B.
2.如右图，正四面体S-ABC中，D为SC的 中点，则BD与SA所成角的余弦值是( ) C
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
3
3
6
6
解：取AC的中点E，连结DE、BE，
则DE∥SA，
3. 由三线平行公理可知，在空间中， 过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
4. 空间两直线垂直包括相交垂直和 异面垂直两种.在空间中垂直于同一条直 线的两直线可能平行、相交或异面；过 一点有无数条直线与已知直线垂直.
称
6. 和两条异面直线都 为异面直线的公垂线
；_垂__两直__相条__交异___面的直直线线的，
______夹在这两条异面 直线之间的长度，叫做 这公两垂条线异面直 线 的______.
距离
1. “两直线没有公共点”是“两直线 平行”的(B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：两直线没有公共点，可知两直线平行或
解：连结FE1、FD，
由正六棱柱相关性质可得
FE1∥BC1， 所以∠FE1D即为E1D与BC1所成的角.
在△EFD中，EF=ED=1，
∠FED=120°，
所以 FD EF 2 ED2 2EF EDcos120. 3
在△EFE1和△EE1D中，
易得
所以△E1FE1FDE是1D等 边( 三2)角2 形1 ，3 所以∠FE1D= 60°.
题型1 两直线的平行问题
1. 在空间四边形ABCD中，连结两条对角线AC、 BD，若M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证： MN∥BD.
证明：连结AM并延长 交BC于E，连结AN并延长 交CD于F.
因为M、N分别是△ABC、△ACD的重心，
所以E、F分别是BC、
CD的中点.结EF，则
EF∥BD.
(2)若BD=6，四边形
EFGH的面积为28，
求平行线EH与FG的距离.
解：(1)证明：因为E、H分别
2
因为 CF CG 2，
所以FCGB∥BCDD，且3 FG ，2
所以EH∥FG.
BD 3
(2)因为BD=6， 所以EH=3，FG 2BD=4. 又四边形EFGH是3梯形， 设EH与FG的距离为h， 由已知得 1 (EH+FG)·h=28， 所以7 h=282，所以h=8. 故平行2 线EH与FG的距离为8.
3. 在空间中，如果一个角的两边和 另一个角的两边_分__别__平__行___，并且这两 个角的__方__向__相__同__，那么这两个角相等.
4. 既不平行又不相交的两直线是 _一 的异_直_点面_线_的直_是_直线_异_线_面；，直连和线结这.平个面平内面不一__经点__过与__此平__点面__外__
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)△ECD中，
EC
所以
EF a2 b2 2
a2 b2 ED 4
参考题
斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，
∠B1BA=∠B1BC=∠ABC，
求异面直线A1B1和BC1的距离.
解：因为△ABC为正三角形， 所以∠ABC=60°， 从而∠B1BA=∠B1BC=60°. 连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，
故异面直线A1B1和BC1的距离为
a 2
.
a 2
.
1. 利用三线平行公理判断或证明两 直线平行，关键是找到第三条直线，使 得这两条直线都与第三条直线平行.
2. 判定两直线是否为异面直线，一 般根据图形的直观性，结合异面直线的 定义及异面直线的判定定理就能确定.证 明两直线为异面直线，通常用反证法.
5. 过空间任意一点分别作两异面直线a、b
的平行线，则这两条相交直线所成_锐_角__或__直__角__ 叫做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所
成的角的取值范围 是(0__, ___]; 如果两条异面直线 所 成 的 角 为 9 0 ° ， 则2称 这 两 条 异 面 直 线
_互__相__垂__直____.
因为 AM =2，AN=2， 所以MMNE∥EF. NF 故MN∥BD. 点评：证明空间两直线平行，可转化
为在同一平面内两直线的平行问题，
然后利用平行的判定证得平行.
如图，在空间四边形ABCD中，E、H分
别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上
的点，且
CF .CG 2
(1)证明：EHC∥B FGC;D 3
所以△ABB1和△CBB1都是正三角形，
所以AB1=CB1=a，从而四面体ABCB1 为正四面体，
所以AB⊥B1C.
因为A1B1∥AB， 所以B1C⊥A1B1.
又四边形BCC1B1为菱形， 所以BC1⊥B1C，
所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线.
设B1C交BC1于D，则B1D=
1 2
B1C=
第九章 直线、平面、简单几何体
第
讲
（第一课时）
考 ●空间两直线的位置关系
点
●三线平行公理和等角定理
搜 ●异面直线的概念、夹角和距离 索 高考
高 1.判断两直线的位置关系，两直
考
线平行的判定与转化.
猜 2.异面直线所成的角和距离的分
想
析与计算.
1. 空间两条不同直线的位置关系有相交、
平行、异面三种，其中两相交直线是指 _有__且__只__有__一__个____公共点的两直线;两平行直线是 指 异面在直_同_线_一_是_平_指_面__不_内___同____在;且__任____何没____一有____个公__平共__面点__内的的两两直直线线;两.
因为α∩β=l，所以B∈l，
从而b∩l= B，这与b∥l矛盾.
所以a与b不相交.故a与b是异面直线.
点评：空间直线的位置关系有三种： 平行、相交、异面.本题证两直线异面用的 是反证法.利用反证法证明时，首先是反设 (即否定结论)，并把反设作为一个推理条件， 然后逐步推理，直到得出矛盾.
如图，在空间四边形ABCD中，
AD=AC=BC=BD=a，AB=CD=b， E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离.
解：(1)证明：连结CE、DE.
AC BC
AD AE
BD BE
AB AB
CE DE
所以AABB⊥ 平EF面，C同DE理CD⊥EF，
所以∠BDE就是BD与
SA所成的角.
设SA=a，
则BD=BE= a3，DE= a1，
2
2
cos BDE BD2 DE 2 BE 2 3
2BD DE
6
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长 为1，侧棱长为 ，则2 这个棱柱的侧面对角 线E1D与BC1所成的角是____. 60°
题型2
异面直线问题
2. 已知α∩β=l，a α，b β.
若a∩l= A ，且b∥l，求证：a与b是异面直线.
证明：假设a，b不是异面直线，
则a∥b或a与b相交.
若a∥b，因为b∥l，所以a∥l，
这若与a与a∩b相l=A交矛，盾设，a所∩b以=Ba.＼因//b为. a α，b β，
所以B∈α，B∈β， 即B为α、β的一个公共点.
异面；而由两直线平行，可知两直线没有公
共点.即“两直线没有公共点”是“两直线平行” 的必要不充分条件.故选B.
2.如右图，正四面体S-ABC中，D为SC的 中点，则BD与SA所成角的余弦值是( ) C
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
3
3
6
6
解：取AC的中点E，连结DE、BE，
则DE∥SA，
3. 由三线平行公理可知，在空间中， 过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
4. 空间两直线垂直包括相交垂直和 异面垂直两种.在空间中垂直于同一条直 线的两直线可能平行、相交或异面；过 一点有无数条直线与已知直线垂直.
称
6. 和两条异面直线都 为异面直线的公垂线
；_垂__两直__相条__交异___面的直直线线的，
______夹在这两条异面 直线之间的长度，叫做 这公两垂条线异面直 线 的______.
距离
1. “两直线没有公共点”是“两直线 平行”的(B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：两直线没有公共点，可知两直线平行或
解：连结FE1、FD，
由正六棱柱相关性质可得
FE1∥BC1， 所以∠FE1D即为E1D与BC1所成的角.
在△EFD中，EF=ED=1，
∠FED=120°，
所以 FD EF 2 ED2 2EF EDcos120. 3
在△EFE1和△EE1D中，
易得
所以△E1FE1FDE是1D等 边( 三2)角2 形1 ，3 所以∠FE1D= 60°.
题型1 两直线的平行问题
1. 在空间四边形ABCD中，连结两条对角线AC、 BD，若M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证： MN∥BD.
证明：连结AM并延长 交BC于E，连结AN并延长 交CD于F.
因为M、N分别是△ABC、△ACD的重心，
所以E、F分别是BC、
CD的中点.结EF，则
EF∥BD.
(2)若BD=6，四边形
EFGH的面积为28，
求平行线EH与FG的距离.
解：(1)证明：因为E、H分别
2
因为 CF CG 2，
所以FCGB∥BCDD，且3 FG ，2
所以EH∥FG.
BD 3
(2)因为BD=6， 所以EH=3，FG 2BD=4. 又四边形EFGH是3梯形， 设EH与FG的距离为h， 由已知得 1 (EH+FG)·h=28， 所以7 h=282，所以h=8. 故平行2 线EH与FG的距离为8.