中考一轮复习 数学专题11 几何图形初步与相交线、平行线(老师版)

专题11 几何图形初步与相交线、平行线
一、单选题
1．（2022·广东广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
【详解】
该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,
故选：A．
【点睛】
此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．
2．（2022·广西柳州）如图，从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线，其中最短的路线是（）
A．①B．①C．①D．①
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】
解：①两点之间线段最短，
①从学校A到书店B有①、①、①、①四条路线中，最短的路线是①，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．3．（2022·广西柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】
解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．
故选：B
【点睛】
本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．4．（2021·四川巴中）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．5．（2021·山东枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）
A．搭配①B．搭配①C．搭配①D．搭配①
【答案】D
【解析】
【分析】
将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案．
【详解】
解：搭配①、①、①两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配①不能，
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识．
6．（2020·山东东营）如图，直线AB CD 、相交于点,O 射线OM 平分,BOD ∠若42AOC ∠=︒，则AOM ∠等于（ ）
A ．159
B ．161
C ．169
D ．138
【答案】A
【解析】
【分析】 先求出①AOD =180°-①AOC ，再求出①BOD =180°-①AOD ，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】
解：由题意可知：①AOD =180°-①AOC =180°-42°=138°，
①①BOD =180°-①AOD =42°，
又①OM 是①BOD 的角平分线，
①①DOM =12
①BOD =21°， 本号资料皆来源#于微信：数学
①①AOM =①DOM +①AOD =21°+138°=159°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键． 7．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为AB ，高为AC ，一只蚂蚁在C 处，沿圆柱的侧面爬到B 处，现将圆柱侧面沿AC “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】
解：①AB为底面直径，
①将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，
①两点之间线段最短，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
∥，①1＝70°，则①2的度数是（）8．（2022·广西柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a b
A．50°B．60°C．70°D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
∥，①1＝70°，可得2170,从而可得答案．
由a b
【详解】
∥，①1＝70°，
解：①a b
①2170,
故选C
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．9．（2022·广西河池）如图，平行线a，b被直线c所截，若①1＝142°，则①2的度数是()
A．142°B．132°C．58°D．38°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】
∥，
解：①a b
①21142
∠=∠=︒，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
10．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1
∠的大小为（）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
【答案】A
【解析】
【分析】 利用对顶角相等求解．
【详解】
解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，130∠=︒．
故选A ．
【点睛】
本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
11．（2022·甘肃兰州）如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）
A ．52°
B ．45°
C ．38°
D ．26°
【答案】C
【解析】
【分析】 根据平行线的性质可得①ABC =52°，根据垂直定义可得①ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，
进行计算即可解答．
【详解】
解：①a ∥b ，
①①1=①ABC =52°，
①AC ①b ，
①①ACB =90°，
①①2=90°-①ABC =38°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2022·辽宁营口）如图，直线,DE FG Rt ABC 的顶点B ，C 分别在,DE FG 上，若25BCF ∠=︒，则ABE ∠的大小为（ ）
A ．55︒
B ．25︒
C ．65︒
D ．75︒
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据平行线的性质得到①EBC =①BCF =25°，再利用互余得到①ABE =65°．
【详解】
解：①DE FG ∥，25BCF ∠=︒，
①①EBC =①BCF =25°
①①ABC =90°，
①①ABE =①ABC -①EBC =90°-25°=65°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．13．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当35
ABM
∠=︒时，DCN
∠的度数为（）
A．55︒B．70︒C．60︒D．35︒
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，然后平行线的性质可得①BCD =70°，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：①ABM=①OBC，①BCO=①DCN，
①①ABM=35°，
①①OBC=35°，
①①ABC=180°-①ABM-①OBC=180°-35°-35°=110°，
①CD①AB，
①①ABC+①BCD=180°，
①①BCD=180°-①ABC=70°，
①①BCO+①BCD+①DCN=180°，①BCO=①DCN，
①
1
(180)55
2
DCN BCD
︒︒
-∠=
∠=．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
14．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）
A ．10040'︒
B ．9980'︒
C ．9940'︒
D ．9920'︒
【答案】C
【解析】
【分析】 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，可求出①5，由l //m 可得①6=①5
【详解】
解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得①1=①2，
①14010'∠=︒
①24010'∠=︒
①518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
①l //m
①659940'∠=∠=︒
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 15．（2022·山西）如图，Rt ABC △是一块直角三角板，其中90,30C BAC ∠=︒∠=︒．直尺的一边DE 经过顶点A ，若DE CB ∥，则DAB ∠的度数为（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质可得90DAC C ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．
【详解】
解：,90C DE CB ∠=︒，
90DAC C ∴∠=∠=︒，
30BAC ∠=︒，
120DAB D C AC BA ∠=∠+=∴∠︒，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．（2021·贵州黔西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则①1的度数为（
）
A ．95°
B ．100°
C ．105°
D ．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
【详解】
如图：
①①2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
①AB①CD，
①①1＝①2＝105°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
17．（2021·四川德阳）如图，直线AB①CD，①M＝90°，①CEF＝120°，则①MPB＝（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
【详解】
解：①AB①CD，
①①EFP=①CEF=120°，
①①MPF=①EFP-①M=120°-90°=30°，
①①MPB=180°-①MPF=180°-30°=150°，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．本号资料皆来源于微信：数学第*六感
18．（2021·山东潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
作CD①平面镜，垂足为G，根据EF①平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】
解：如图，作CD①平面镜，垂足为G，
①EF①平面镜，
①CD//EF，
①①CDH＝①EFH＝α，
根据题意可知：AG①DF，
①①AGC＝①CDH＝α，
①①AGC＝α，
①①AGC
1
2
=∠AGB
1
2
=⨯60°＝30°，
①α＝30°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分①AG B．
19．（2020·四川广元）如图，//
a b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么123
∠+∠+∠=（）
A．180︒B．270︒C．360︒D．540︒
【答案】C
【解析】
【分析】
首先过点P作P A①a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
【详解】
解：过点P作P A①a，则a①b①P A，
①①1+①MP A=180°，①3+①NP A=180°，
①①1+①MPN+①3=360°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
20．（2020·黑龙江齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先
将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC①DE，如图①所示，则旋转角①BAD的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得①CF A＝①D＝90°，由外角的性质可求①BAD的度数．
【详解】
解：如图，设AD与BC交于点F，
①BC①DE，
①①CF A＝①D＝90°，
①①CF A＝①B+①BAD＝60°+①BAD，
①①BAD＝30°
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
21．（2020·湖北孝感）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．140︒
【答案】B
【解析】
【分析】 已知OE CD ⊥，40BOE ∠=︒，根据邻补角定义即可求出AOC ∠的度数．
【详解】
①OE CD ⊥
①90COE ∠=︒
①40BOE ∠=︒
①180?180904050AOC COE EOB ∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒
故选：B
【点睛】
本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
22．（2020·四川攀枝花）如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，过点B 作BG EF ⊥于点G ，已知150∠=︒，则B ∠=（ ）．
A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到①1=①2，再依据平行线的性质得到①B=①BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.
【详解】
解：延长BG，交CD于H，
①①1=50°，
①①2=50°，
①AB①CD，
①①B=①BHD，
①BG①EF，
①①FGH=90°，
①①B=①BHD=180°-①2-①FGH=180°-50°-90°=40°.
故选C.
【点睛】
本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.
23．（2022·江苏盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则ABC ∠与DEF ∠的关系是（ ）
A ．互余
B ．互补
C ．同位角
D ．同旁内角
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可得出答案．
【详解】
解：如图，过点G 作GH 平行于BC ，则GH DE ∥，
ABC AGH ∴∠=∠，DEF FGH ∠=∠，
90AGH FGH ∠+∠=︒，
90ABC DEF ∴∠+∠=︒，
故选A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
24．（2022·湖北荆州）如图，直线12l l ∥，AB ＝AC ，①BAC ＝40°，则①1＋①2的度数是（
）
A ．60°
B ．70°
C ．80°
D ．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB ＝AC ，①BAC ＝40°得①ABC =70°，在由12l l ∥得12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒即可求解；
【详解】
解：①AB ＝AC ，①BAC ＝40°，
①①ABC =12（180°-①BAC ）＝12
（180°-40°）=70°， ①12l l ∥
①12180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒
①12180180704070ABC BAC ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
25．（2021·湖南娄底）如图，//AB CD ，点,E F 在AC 边上，已知70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，则B D ∠+∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．70︒
【答案】C
【解析】
【分析】
取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．
【详解】
解：取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，如下图：
根据题意：70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，
50EFG ∴∠=︒，
180507060EGF ∴∠=︒-︒-︒=︒，
////MN CD AB ，
,B BGN D DGN ∴∠=∠∠=∠，
B D BGN DGN BGD ∴∠+∠=∠+∠=∠，
,ED BF 相交于点G ，
60EGF BGD ∴∠=∠=︒，
60B D ∴∠+∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
26．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）
A ．60︒
B ．67.5︒
C ．75︒
D ．82.5︒
【答案】C
【解析】
【分析】 根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，
①//BC EF ，
①45FDB F ∠=∠=︒，
①180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 27．（2020·内蒙古呼伦贝尔）如图，直线//,AB CD AE CE ⊥于点E ，若120EAB ︒∠=，则ECD ∠的度数是（ ）
A ．120°
B ．100°
C ．150°
D ．160°
【答案】C
【解析】
延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出①AFC的度数，再利用外角的性质求出①ECF，从而求出①EC D．
【详解】
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
①AB①CD，
①①A+①F=180°，
①120
∠=︒，
EAB
①①F=60°，
①AE①CE，
①①AEC=90°，
而①AEC=①F+①ECF，
①①ECF=①AEC-①F =30°，
①①ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线和掌握平行线的性质是解题的关键．28．（2020·四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB①DE，△ABC是等腰三角形，①ABC＝124°，①CDE＝72°，则①ACD＝（）
A．16°B．28°C．44°D．45°
【解析】
【分析】
延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A ，
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解：延长ED ，交AC 于F ，
ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，
28A ACB ，
//AB DE ，
28CFD A ，
72CDE
CFD ACD ， 722844ACD ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 29．（2020·湖北省直辖县级单位）将一副三角尺如图摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（ ）
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
【答案】A
【解析】
根据三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°，根据//
EF BC可知①CEF=①ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】
解：由三角板的特点可知①ACB=45°、①DEF=30°
①//
EF BC
①①CEF=①ACB=45°，
①①CED=①CEF-①DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．30．（2020·辽宁鞍山）如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若①ABC＝54°，则①1的大小为（）
A．36°．B．54°．C．72°．D．73°．
【答案】C
【解析】
【详解】
①l1①l2，①ABC=54°，
①①2=①ABC=54°，
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
①AC=AB，
①①ACB=①ABC=54°，
①①1+①ACB+①2=180°，
故选C．
二、填空题
31．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．本号资料皆来源于微信：数@学
【答案】4
【解析】
【分析】
根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】
解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
32．（2022·广西玉林）已知①α=60°，则①α的余角等于____度．
【答案】30
【解析】
【详解】
①互余两角的和等于90°，
①α的余角为：90°-60°=30°.
故答案为：30
33．（2020·黑龙江大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108
AOD
∠=︒，则COB
∠= _________．
【答案】72.︒
【解析】
由①AOB =①COD =90°，①AOC =①BOD ，进而①AOC =①BOD =108°-90°=18°，由此能求出①BO C ．
【详解】 解： ①AOB =①COD =90°，
∴ ①AOC =①BOD ， 又①AOD =108°，
∴ ①AOC =①BOD =108°-90°=18°，
∴ ①BOC =90°-18°=72°．
故答案为：72︒．
【点睛】
本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
34．（2020·四川雅安）如图，//a b c ，与a b ，都相交，150∠=︒，则2∠=_________．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得①1=①3，再用补角的定义得出①2.
【详解】
解：①a ①b ，
①①1=①3=50°，
①①2=180°-50°=130°，
故答案为130°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等.
35．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么①BAC 的大小为______
【答案】135°##135度
【解析】
【分析】
根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．
【详解】
180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，
18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．
36．（2021·黑龙江大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【解析】
【分析】
根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2
n n -． 【详解】
解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有1123322
+==⨯⨯个交点；
4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；
5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；
⋯ 20条直线相交最多有120191902
⨯⨯=．
故答案为：190．
【点睛】
本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -． 37．（2021·湖南益阳）如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度． 本号资料皆来源于微#信：数@学@
【答案】60
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．
【详解】
解：设2AOC x ∠=，
OE 是AOC ∠的平分线，
12
AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，
COB EOC x ∴∠=∠=，
又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，
180x x x ∴++=︒，
解得60x =︒，即60COB ∠=︒，
由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 38．（2022·山东济宁）如图，直线l 1，l 2，l 3被直线l 4所截，若l 1∥l 2，l 2∥l 3，①1＝126o 32'，则①2的度数是___________．
【答案】5328'︒
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得23,34∠=∠∠=∠，根据等量等量代换得34∠=∠，进而根据邻补角性质即可求解．
【详解】
解：如图
l
1∥l 2，l 2∥l 3，
23∴∠=∠，34∠=∠，
24∴∠=∠，
①1＝12632'︒，
2418012632∴∠=∠=-︒'︒17960126325328'''=︒-︒=︒，
故答案为：5328'︒．
【点睛】
本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 39．（2022·湖北宜昌）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．
【答案】85︒##85度
【解析】
【分析】
过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】 解：C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，
50DAC ∴∠=︒，
C岛在B岛的北偏西35︒方向，
∴∠=︒，
35
CBE
∥交AB于F，如图所示：
过C作CF DA
∴∥∥，
DA CF EB
∴∠=∠=︒∠=∠=︒，
FCA DAC FCB CBE
50,35
∴∠=∠+∠=︒，
85
ACB FCA FCB
故答案为：85︒．
【点睛】
本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
40．（2022·四川乐山）如图6，已知直线a①b，①BAC=90°，①1=50°，则①2=______．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可以得到①3的度数，进一步计算即可求得①2的度数．
【详解】
解：①a①b，
①①1=①3=50°，
①①BAC =90°，
①①2+①3=90°，
①①2=90°-①3=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
41．（2022·江苏扬州）将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．
【答案】105
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】
45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，
∴45FAN B ∠=∠=︒，
①①E =60°，
①①F =30°，
180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒
故答案为：105
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
42．（2021·四川绵阳）如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．
【答案】152︒
【解析】
【分析】
利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．
【详解】
解：如图，
//a b ，128∠=︒，
3128∴∠=∠=︒，
21803152∴∠=︒-∠=︒．
故答案为：152︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
43．（2021·辽宁阜新）如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．
【答案】60
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可求出CEG ∠的度数，即可得到CEF ∠的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】
一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，
30FEG ∴∠=︒， EG 平分CEF ∠，
30CEG FEG ∴∠=∠=︒，
60CEF CEG FEG ∴∠=∠+∠=︒，
//AB CD ，
160CEF ∴∠=∠=︒．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 44．（2021·江苏泰州）如图，木棒AB 、
CD 与EF 分别在G 、H 处用可旋转的螺丝铆住，①EGB ＝100°，①EHD ＝80°，将木棒AB 绕点G 逆时针旋转到与木棒CD 平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据同位角相等两直线平行，得出当①EHD ＝①EGN =80°，MN //CD ，再得出旋转角①BGN 的度数即可得出答案．
【详解】
解：过点G 作MN ，使①EHD ＝①EGN =80°，
①MN //CD ，
①①EGB ＝100°，
①①BGN=①EGB -①EGN =100°-80°=20°，
①至少要旋转20°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
45．（2021·湖北恩施）如图，已知//AE BC ，100BAC ∠=︒，50DAE ∠=︒，则C ∠=__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】
由题意易得50B DAE ∠=∠=︒，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】
解：①//AE BC ，50DAE ∠=︒，
①50B DAE ∠=∠=︒，
①100BAC ∠=︒，
①18030C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒；
故答案为30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键． 46．（2020·广西贵港）如图，点O ，C 在直线n 上，OB 平分AOC ∠，若//m n ，156∠=︒，则2∠=_______________．
【答案】62°
【解析】
【分析】
根据//m n 和OB 平分AOC ∠，计算出BOC ∠的度数，便可求解．
【详解】
解：如图：
∵//m n
∴156AON ∠=∠=， 2BOC ∠=∠
180124AOC AON ∴∠=-∠=
∵OB 平分AOC ∠
1622
BOC AOC ∴∠=∠= 62BOC ∴∠=
故答案为62°
【点睛】
本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．
47．（2020·辽宁盘锦）如图，直线//a b ，ABC 的顶点A 和C 分别落在直线a 和b 上，若160∠=︒，
40ACB ∠=︒，则2∠的度数是__________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
根据两直线平行内错角相等可得到12ACB ∠=∠+∠，从而计算出2∠的度数．
【详解】
解：①直线//a b ，
①12ACB ∠=∠+∠，
又①160∠=︒，40ACB ∠=︒，
①220∠=︒，
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
48．（2021·青海）如图，AB ①CD ，FE ①DB ，垂足为E ，①1＝50°，则①2的度数是_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】
由EF ①BD ，①1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出①D 的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】
解：在①DEF 中，①1=50°，①DEF =90°，
①①D =180°-①DEF -①1=40°．
①AB ①CD ，
①①2=①D =40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出①D =40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
49．（2020·湖北恩施）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．
【答案】40︒
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质得到①C =①4=30︒，利用平行线的性质得到①1=①3=80︒，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图，延长CB 交2l 于点D ，
①AB =BC ，①C =30︒，
①①C =①4=30︒，
①12//l l ，①1=80︒，
①①1=①3=80︒，
①①C +①3+①2+①4 =180︒，即3080230180︒+︒+∠+︒=︒，
①240∠=︒，
故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
50．（2020·湖南张家界）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ︒∠=，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是_______度．
【答案】76°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得①ADC 的度数，由光线的反射定理可得①ODE 的度数，在根据三角形外角性质即可求解．
【详解】
解：①DC ①OB ，
①①ADC =①AOB =38°，
由光线的反射定理易得，①ODE =①ACD =38°，
①DEB =①ODE +①AOB =38°+38°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 本号资料皆来源#于@微信：数学
三、解答题
51．（2021·湖北武汉）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．
【详解】
证明：①//AB CD ，
①DCF B ∠=∠．
①B D ∠=∠，
①DCF D ∠=∠．
①//AD BC ．
①DEF F ∠=∠．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
52．（2020·湖北宜昌）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面AB 与水杯下沿CD 平行，光线EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G 在射线EF 上，已知20,45HFB FED ∠=︒∠=︒，求GFH ∠的度数．
【答案】25°
【解析】
【分析】
使用平行线的性质得到45GFB FED ∠=∠=︒，再根据GFH GFB HFB ∠=∠-∠得到结果．
【详解】
解：①//AB CD
①45GFB FED ∠=∠=︒
①20HFB ∠=︒
①GFH GFB HFB ∠=∠-∠
452025=︒-︒=︒
【点睛】
本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
53．（2020·四川内江）如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，A D ∠=∠．
（1）求证：AB CD =；
（2）若AB CF =，40B ∠=︒，求D ∠的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【解析】
【分析】
（1）根据角角边求证ABE DCF △≌△即可；
（2）根据已知可得CD CF =，根据等边对等角可得结果．
【详解】
解：（1）证明：①//AB CD ，
①B C ∠=∠，
在ABE △和DCF 中，B C A D AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
①()ABE DCF AAS △≌△，
①AB CD =；
（2）①AB CD =，AB CF =，
①CD CF =，
①D CFD ∠=∠，
①ABE DCF △≌△，
①40C B ∠=∠=︒， ①18040702
D ︒-︒∠==︒． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．
54．（2020·江苏镇江）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，①1＝①B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．
（1）求证：①D ＝①2；
（2）若EF ①AC ，①D ＝78°，求①BAC 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【解析】
【分析】
（1）由“SAS ”可证①BEF ①①CDA ，可得①D ＝①2；
（2）由（1）可得①D ＝①2＝78°，由平行线的性质可得①2＝①BAC ＝78°． 本号资料皆来源于@@微信公#众号：数学
【详解】
证明：（1）在①BEF 和①CD A 中，
1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
①①BEF ①①CDA （SAS ），
①①D ＝①2；
（2）①①D ＝①2，①D ＝78°，
①①D ＝①2＝78°，
①EF ①AC ，
①①2＝①BAC ＝78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明①BEF ①①CDA 是解题的关键
55．（2020·湖北武汉）如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM ①FN ．求证：AB ①CD ．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】 先根据角平分线的定义可得11,22
MEF BEF N CF FE E ∠=∠∠∠=，再根据平行线的性质可得MEF NFE ∠=∠，从而可得BEF CFE ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】 EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠
11,22
MEF BEF NF CFE E ∠=∠∠∠=∴
EM //FN
MEF NFE ∠=∠∴
1122
BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠ //AB CD ∴．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 56．（2021·西藏）如图，AB ①DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，①A ＝90°，EC ①BD ，且AB ＝C D ．求证：AC ＝CE ．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
由平行线的性质得出①B ＝①D ，再由垂直的定义得到①DCE ＝90°＝①A ，即可根据ASA 证明①ABC ①①CDE ，最后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】
证明：①AB ①DE ，
①①B ＝①D ，
①EC ①BD ，①A ＝90°，
①①DCE ＝90°＝①A ，
在①ABC 和①CDE 中，
B D AB CD A DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
①①ABC ①①CDE （ASA ），
①AC ＝CE ．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明①ABC ①①CDE 是解题的关键． 57．（2021·浙江温州）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．
（1）求证：//DE BC ．
（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；
（2）先求出①ADE ，再利用平行线的性质求出① ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】
解：（1）BE 平分ABC ∠，
∴ABE EBC ∠=∠．
DB DE =，
∴ABE BED ∠=∠，
∴BED EBC ∠=∠，
∴//DE BC ．
（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，
∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．
//DE BC ．
∴70ABC ADE ∠=∠=︒．
BE 平分ABC ∠，
∴1352
EBC ABC ∠=∠=︒， 即35EBC ∠=︒．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
58．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，B E ∠=∠，BC EF =． 求证：AD CF =．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据AB DE ∥，可得A EDF ∠=∠，根据AAS 证明ABC DEF △≌△，进而可得AC DF =，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】
证明：①AB DE ∥，
①A EDF ∠=∠，
在ABC 与DEF 中，
A EDF
B E B
C EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
①()AAS ABC DEF ≌
△△， ①AC DF =，
①AC DC DF DC -=-，
①AD CF =．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 本号资料皆来源@于微信：数学
59．（2022·湖北武汉）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒． 本号@@资料皆来源于微信：数学。