2009年宁波市中考数学试题及解析

宁波市2009年初中毕业生学业考试
数 学 试 题
考生须知：
1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷Ⅰ、答题卷Ⅱ．试题卷共6页，有三个大题，26个小题，满分120分，考试时间为120分钟．
2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．
4．允许使用计算器，但没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．抛物线
2
y ax bx c =++的顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，．
试题卷Ⅰ
一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列四个数中，比0小的数是（ ） A ．
23
B
C ．π
D ．1-
2．等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3．一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球，1个黑球，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
16
4．据《宁波市休闲旅游基地和商务会议基地建设五年行动计划》，预计到2012年，宁波市接待游客容量将达到4640万人次．其中4640万用科学记数法可表示为（ ） A ．9
0.46410⨯
B ．8
4.6410⨯
C ．7
4.6410⨯
D ．6
46.410⨯
5
x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x > C ．x ≤2 D ．2x ≥ 6．如图是由4个立方块组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．下列调查适合作普查的是（ ） A ．了解在校大学生的主要娱乐方式
（第6题）
B ．了解宁波市居民对废电池的处理情况
C ．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D ．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查 8．以方程组2
1
y x y x =-+⎧⎨
=-⎩的解为坐标的点()x y ，在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三角限
D ．第四象限
9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED 的度数是（ ） A ．110° B ．108° C ．105° D ．100°
10．反比例函数k
y x
=
在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
C ．四边形AMON 与四边形ABC
D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形
12．如图，点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A ．1
B ．3
C ．3(1)m -
D ．
3
(2)2
m -
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题3分，共18分） 13．实数8的立方根是 ．
14．不等式组60
20x x -<⎧⎨->⎩
的解是 ．
15．甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别是2
0.4S =甲（环2）
， 1
2 3 4 D C B A E （第9题）
D B C
A N
M O （第11题） （第12题）
2 3.2S =乙（环2），2
1.6S =丙（环2）
，则成绩比较稳定的是 ．（填“甲”“乙”“丙”中的一个）
16．如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC =，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h 为 米．（结果精确到0.1米）
17．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，7040B C ∠=∠=°
，°，作DE AB ∥交BC 于点E ，若3AD =，10BC =，则CD 的长是 ．
18．如图，A ⊙、B ⊙的圆心A 、B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm ，开始时圆心距4cm AB =，现A ⊙、B ⊙同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A ⊙运动的时间为 秒．
三、解答题（第19~21题各6分，第22题10分，第23~24题各8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．
20．如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是4-，
22
35
x x +-，且点A 、B 到原点的
距离相等，求x 的值． 21．（1）如图1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是 ．
（2）如图2，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图3中，并写出这个图形的边数．
（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？
C （第16题）
A
B C D
E （第17题） （第18题） A
B （第20题） （图1） （第21
题）
（图2） （图3）
22．2009年宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等6项中任选一项．某校九年级共有200名女生在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形统计图．（另附：九年级女生立定跳远的计分标准）
（1）求这10名女生在本次测试中，立定跳远距离．．的极差和中位数，立定跳远得分．．的众数和平均数．
（2）请你估计该校选择立定跳远的200名女生中得满分的人数．
23．如图，抛物线2
54y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点(54)C ，
． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
10名女生立定跳远距离条形统计图 女生序号 （第22题）
九年级女生立定跳远计分标准 （注：不到上限，则按下限计分，满分为10分） （第23题） 5,4）
24．已知，如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 相交于E ， BC
BD =，O ⊙的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．
（1）求证：CD BF ∥；
（2）连结BC ，若O ⊙的半径为4，3
cos 4
BCD ∠=
，求线段AD 、CD 的长．
25．2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%． （1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？ （2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？
（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．
26．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐
标为(80)-，
，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ，
当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（第24题）
（图1）
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使
1
2
BP BQ =
？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
）
（图3）
（图2）
（第26题）
宁波市2009年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共36分）
1 -1为小于0的数
2 三角形三个内角之和为180度，又等腰直角三角形的一个为90度，故两底角的度数之和为90度，故底角是45度
3解：因为只有四个球，红球有2个，所以从布袋里摸出1个球摸到红球的概率=
4 4640万=
5x 满足： x-2≥0，故x 的取值范围是x ≥2
6 根据俯视图的画法可知：该俯视图左列由2个正方形，右列由1个正方形组成，故选B ． 7调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，
所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解：A 、B 项因为数目太大，而不适合进行普查，只能用抽查， C 、因具有破坏性，也只能采用抽查的方式．
D 、了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况，精确度要求高、事关重大，必须选用普查． 故选D
本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
8
9解：根据五边形的内角和公式可知，五边形ABCDE 的内角和为（5-2）×180°=540°，
根据邻补角的定义可得∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=180°-70°=110°， 所以∠AED=540°-110°×4=100°． 故选D ．
10
11解：根据位似图形的定义可知
A 、O 与OM 和AM 的大小却无法判断，所以无法判断△AMO 和△AON 是等边三角形，故错误；
B 、无法判断BM 是否等于OB 和BM 是否等于O
C ，所以也无法判断平行四边形MBON 和MODN 是菱形，故错误；
C 、四边形MBCO 和四边形NDCO 是位似图形，故此选项正确；
D 、．无法判断四边形MBCO 和NDCO 是等腰梯形，故此选项错误； 故选C ．
13 2的立方=8，故8的立方根为2
14 由x-6<0得：x<6，由x-2>0得：x>2，故26x <<
15解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，因为S 甲2=0.4（环2），S 乙2=3.2（环2），S 丙2=1.6（环2），方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲． 故填甲． 16
17解：∵DE ∥AB ， ∴∠DEC=∠B=70°， 而∠C=40°， ∴∠CDE=70°，
∴CD=CE ．
又∵AD ∥BE ，AB ∥DE ， ∴四边形ABED 是平行四边形． ∴BE=AD=3， 又∵BC=10，
∴CE=CB-BE=10-3=7， ∴CD=CE=7．
18解：本题所说的两圆相切，应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动，即将相离时的相切两种情况．
第一种情况两圆所走的路程为4-2=2cm ； 第二种情况两圆所走的路程为4+2=6cm ．
不妨设圆A 运动的时间为x 秒，根据题意可得方程2x+2x=2或2x+2x=6， 解得x=1/2, or 3/2
三、解答题（共66分）
注：1．阅卷时应按步计分，每步只设整分；
2．如有其它解法，只要正确，都可参照评分标准，各步相应给分．
19．解：原式2
2
42a a a =--+ ········································································ 2分
24a =-． ················································································· 4分
当1a =-时， 原式2(1)4=⨯--
6=- ····································································································· 6分
20．解：由题意得，
22
435
x x +=-， ································································································ 3分
解得11
5
x =． ································································································ 5分
经检验，11
5x =是原方程的解．
∴x 的值为11
5
． ··················································· 6分 21．（1）12． ························································ 1分 （2）这个图形的边数是20． ·········· 4分（其中画图2分） （3）得到的图形的边数是30． ································ 6分
22．（1）立定跳远距离的极差20517431(cm)=-=．··········································· 2分 立定跳远距离的中位数199197
198(cm)2
+=
=． ·················································· 4分 根据计分标准，这10名女生的跳远距离得分分值分别是： 7，9，10，10，10，8，10，10，9． 所以立定跳远得分的众数是10（分）， ································································ 6分 立定跳远得分的平均数是9.3（分）． ·································································· 8分
（2）因为10名女生中有6名得满分，所以估计200名女生中得满分的人数是6
20012010
⨯
=（人）． ······································································································ 10分 23．解：（1）把点(54)C ，代入抛物线254y ax ax a =-+得，
252544a a a -+=， ····················································································· 1分 解得1a =． ·································································································· 2分
∴该二次函数的解析式为254y x x =-+． 2
2595424y x x x ⎛
⎫=-+=-- ⎪⎝
⎭
∴顶点坐标为5924P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
． ·············································································· 4分 （2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位， ··················································· 6分 得到的二次函数解析式为
22
5917342424y x x ⎛⎫⎛
⎫=-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
即22y x x =++． ························································································· 8分
24．解：（1） 直径AB 平分 CD
， ∴AB CD ⊥． ·
····························································································· 1分 BF 与O ⊙相切，AB 是O ⊙的直径，
AB BF ∴⊥． ······························································································ 2分 CD BF ∴∥． ······························································································ 3分 （2）连结BD ，
AB 是O ⊙的直径， 90ADB ∴∠=°， 在Rt ADB △中，
3
cos cos 4A C ∠=∠= ，428AB =⨯=．
3
cos 864
AD AB A ∴=∠=⨯= ． ····································································· 5分
AB CD ⊥于E ， 在Rt AED △
3cos cos 4A C ∠=∠=
，sin A ∠=．
sin 6DE AD A ∴=∠==
···························································· 7分
直径AB 平分 CD
，
2CD DE ∴==． ·
·················································································· 8分 25．解：（1）该市政府2008年投入改善医疗服务的资金是：
600012504750-=（万元） ··········································································· 2分 （2）设市政府2008年投入“需方”x 万元，投入“供方”y 万元， 由题意得4750(130%)(120%)6000.
x y x y +=⎧⎨
+++=⎩，
解得30001750.x y =⎧⎨
=⎩
，
····························································································· 4分
∴2009年投入“需方”资金为(130%) 1.330003900x +=⨯=（万元）， 2009年投入“供方”资金为(120%) 1.217502100y +=⨯=（万元）．
答：该市政府2009年投入“需方”3900万元，投入“供方”2100万元． ·················· 6分 （3）设年增长率为x ，由题意得
26000(1)7260x +=， ·
·················································································· 8分 解得10.1x =，2 1.1x =-（不合实际，舍去）
答：从2009~2011年的年增长率是10%． ·························································· 10分
26．解：（1）矩形（长方形）； ·········································································· 1分
4
7
BP BQ =． ···································································································· 3分 （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°， COP A OB ''∴△∽△．
CP OC A B OA ∴
='''，即6
68
CP =， 92CP ∴=，7
2
BP BC CP =-=． ···································································· 4分
同理B CQ B C O '''△∽△，
CQ B C
C Q B C '∴
='''
，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=． ··································································· 5分
7
22
BP BQ ∴
=． ······························································································· 6分
②在OCP △和B A P ''△中，
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪
'∠=∠=⎨⎪''=⎩
，°，
， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． ·········································································· 7分 OP B P '∴=． 设B P x '=，
在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得25
4
x =
． ··········································· 8分 12575
6244
OPB S '∴=⨯⨯=△． ··········································································· 9分
（3）存在这样的点P 和点Q ，使1
2
BP BQ =． ················································· 10分
点P
的坐标是19P ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ·
················································ 12分 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，
12POQ S PQ OC =
△，1
2
POQ S OP QH = △， PQ OP ∴=．
设BP x =，
1
2
BP BQ =
， 2BQ x ∴=，
① 如图1，当点P 在点B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ==+=，
在Rt PCO △中，2
2
2
(8)6(3)x x ++=，
解得11x =
，21x =．
9PC BC BP ∴=+=
19P ⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
．
②如图2，当点P 在点B 右侧时，
OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．
在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254
x =
． PC BC BP ∴=-257844
=-
=， 2764P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
，．
综上可知，存在点19P ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =．。