2023届高考数学压轴题(函数嵌套)专题练习(附答案)

2023届高考数学压轴题（函数嵌套）专题练习
1．已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25
()()()f x mf x m R e
-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所
有可能的值为( ) A．3
B．1或3
C．4或6
D．3或4或6
【名师解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x '=-++--=+-， ∴当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<，
()f x ∴在(,2)-∞-上单调递增，在(2,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为2
5
(2)f e -=
，()f x 的极小值为f （1）e =-． 作出()f x 的函数图象如图所示：
25()()()f x mf x m R e -=∈，25
()()0f x mf x e
∴--=，
△220
0m e
=+
>， 令()f x t =则，则125
t t e
=-．不妨设120t t <<，
（1）若1t e <-，则22
5
0t e <<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =-，则22
5
t e =
，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t -<<，则22
5
t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25
()()f x mf x e
-=有三个不同的实数解． 故选：A ．
2．已知函数())f x x R =
∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )
A．(1,
1)+
B．(0,
C．1
(1,
1)e
+
D．,1)
【名师解析】解：化简可得0()0x
x f x x e =<⎩…， 当0x >时，()0f x …
，2()()x x x e e f x e '-'=== 当102
x <<
时，()0f x '>，当1
2x >时，()0f x '<，
故当1
2
x =
时，函数()f x
有极大值1
2
1(22f e e
=
===； 当0x <
时，()0f x '=
=<，()f x 为减函数，
作出函数()f x 对应的图象如图：
∴函数()f x 在(0,)+∞
上有一个最大值为1()2f =
； 设()t f x =，
当2t e
>时，方程()t f x =有1个解，
当t =
()t f x =有2个解，
当02t e
<<
时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，
则方程2()()10f x mf x m -+-=等价为210t mt m -+-=，
等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m -+-=---=有两个不同的根1t =，或1t m =-， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，
要使关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，
则12t m e
=-∈，
即01m <-<
，解得11m <<
+， 则m
的取值范围是1)2e
+ 故选：A ．
3．已知函数|1|2,0
()21,0
x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围(
)
A．(4,2)--
B．(4,--
C．(3,2)--
D．(3,--
【名师解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0
()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩
…，的图象，根据图象可得：
方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈
．可得
22
2
80
112032220122
b b b b b ⎧=->⎪++>⎪⎪⇒-<<-⎨++>⎪
⎪<-<⎪⎩ ． 故选：D
．
4．已知函数22,0
()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则
a 的取值范围是( )
A．(,0)-∞
B．[1，)+∞
C．(,0)[2-∞ ，)+∞
D．(-∞，0)(1⋃，)+∞
【名师解析】解：函数22,0
()(1),0
x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩的图象如图：
方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x …，
2()2()10()f x af x a a R -+-=∈，可得()f x a =±，
当1a >时，1a +>，(0,1)a ．满足题意．
当1a =时，2a =，0a =，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．
5．已知函数33,0()1
,0x x x x f x x lnx x e x ⎧-⎪
=⎨++>⎪⎩…，若关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A．(2-，1
1e + )
B．(2-，0 )(⋃ 0，1
1e
+ )
C．2
321
(,)2e e e
+-+ D．( 32-
，0 )(⋃ 0，221)e e e
++ 【名师解析】解：当0x …时，3()3f x x x =-，则2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+， 令()0f x '=得：1x =-，
∴当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，且(1)2f -=-，(0)0f =， 当0x >时，1()x x lnx f x e x +=
+，则21()x x lnx
f x e x
--'=+，显然f '（1）0=，
∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，且f （1）1
1e
=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：
， 令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x --=化为关于t 的方程210t mt --=，
△240m =+>，∴方程210t mt --=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ，
由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =-<，不妨设10t >，20t <，
关于x 的方程2()()10f x mf x --=恰好有6个不相等的实根，
∴由函数()f x 的图象可知：11
01t e
<<+，220t -<<
，
设2()1g t t mt =--，则(2)0(0)01(10
g g g e ⎧
⎪->⎪
<⎨⎪⎪+>⎩
，
解得：2321
2e m e e
+-<<+，
故选：C ．
6．已知函数|1|221,0
()21,0
x x f x x x x -⎧-=⎨++<⎩…，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的
值是( ) A．0或12
B．
12
C．0
D．不存在
【
名
师解
析
】
解：
画
出
函
数
()f x 的图象，如图所示
：
，
当()1f x =时，有三个根，
把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m -++=得，21(1)20m m -++=， 解得：0m =或
12
， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=为2()()0f x f x -=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =
时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=为231()()022f x f x -+=，所以()1f x =或12
，所以有7个根，舍去，
综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m -++=有五个不同实根， 故选：C ．
7．已知函数2(2),0
()|2|,0
x x f x x x ⎧+=⎨->⎩…，方程2()()0f x af x -=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根
的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A．6，4
B．4，6
C．4，0
D．6，0
【名师解析】解：2()()0f x af x -= ，
()0f x ∴=或()f x a =． 作出()f x 的函数图象如图所示：
由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解．
6p ∴=．
由图象可知()0f x =的两解为2x =-，2x =，
()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =-对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=． 故选：D ．
8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e -，2(1))g e -处的切线与直线610x y ++=垂直
( 2.71828e =⋯是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +--=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b -+=，c R ∈，且0)c <在区间1
[,]e e
上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是(
) A．2
1
(1,
2]e + B．221
[
2,2]e e
+- C．2221
[2,]e e e
-+ D．221
(2,
]e e
+ 【名师解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a '=++， 可得()g x 图象在点2(1e -，2(1))g e -处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，
()2(1)(1)g x x ln x =++，
3()(1)0xf x g x x +--=，
可得2()2f x x lnx =-， 导数为2
22(1)(1)
()2x x f x x x x -+'=-
=
， 当1x >时，()0f x '>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1
[e
，]e 的图象如右：
若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b -+=，c R ∈，且0)c < 在区间1
[,]e e
上恰有3个不同的实数解，
可令()t f x =，则20t bt c -+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e -，
方程（1）判别式为240b c ->，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22
112t e <+…， 即2
1
112b e <-+…， 解得2
1
23b e <+…，① 又2
12
122t e e +
<-…， 22
112t e <+
…， 则2122211
3t t b e e e
+
<+=+…，② 由①②求并可得22
1
2b e e <+…， 故选：D ．
9．已知函数()1
x
f x x =
+，(1,)x ∈-+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A．3
(2
-，0)
B．3(2-，4)3
-
C．3(2-，4
]3
-
D．4
(3
-，0)
【名师解析】解：1
()11
f x x -=+
+，|()|y f x =，(1,)x ∈-+∞的图象如下：
设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =-，即2302t t -=，另一根为3
2
只有一个交点，舍去
②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++
(0)230(1)1230
h m h m m =+>⎧⎨
=+++⎩…，解得34
23m -<-…． 故选：C ．
10．已知函数2
()x x f x e
=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取
值范围是( )
A．(0,2)
B．1
(1,2)e
-
C．2
4
{1,1}e -
D．2
4
(1,1)e -
【名师解析】解：函数2()x x f x e =的导数为2
2()x
x x f x e -'=
， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值
2
4
1e <， 作出()y f x =的图象， 设()t f x =，
关于x 的方程2()()10f x mf x m ++-=， 即为210t mt m ++-=， 解得1t =-或1t m =-， 当1t =-时，()1f x =-无实根； 由题意可得当2
4
1(0,)t m e =-∈， 解得2
4
1m e -
=或1m =， 所以2
4
(1m e ∈-
，1) 故选：D ．
11．已知函数()1x x
f x e
=-，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( ) A．(-∞，2)(2⋃，)+∞
B．1
(2,)e
-+∞
C．1
(2,2)e
-
D．12e ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭
【名师解析】解：由题意1()x x f x e -'=
．令1()0x x
f x e
-'==，解得1x =； 且1x >时，()0f x '<，1x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值1
1e
=
-． ()f x 大致图象如下：
令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++-=可化为210t mt m ++-=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =-，即()1f x =-． 根据()f x 图象，很明显此时只有一个解， 故2m =不符合题意，由此排除B 选项；
假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =-，21t =-． 即()2f x =-，或()1f x =-．
根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解， 故3m =不符合题意，由此排除A 选项．
假设12m e =-时，则211(2)10t t e e +-+-=，解得11
1t e
=-，21t =-．
即()1f x =-或1
()1f x e
=
-， 根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故1
2m e
=-不符合题意，由此排除D
故选：C ．
12．已知函数||||
()1x x f x e =
+，2
(),0()2,0f x x g x x x a x ⎧=⎨-+>⎩
…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的是( )
A．当2t <-时，方程(())10g g x t --=没有相异实根
B．当1
10t e
-+
<<或2t =-时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根
C．当1
11t e
<<+时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根
D．当111t e -<<-+
或01t <…或1
1t e
=+时，方程(())10g g x t --=有4个相异实根 【名师解析】解：当0x …时，||||()111x x x x x
f x xe e e
--=+=+=-+， 因为g （1）0=， 所以120a -+=， 所以1a =，
所以21,0
()21,0
x xe x g x x x x ⎧-+=⎨-+>⎩…，
图象如图所示：
当0x …时，0x -…
，0x e >， 则11x xe -+…，当且仅当0x =时等号成立，
()g x 在(,1)-∞-上是增加的，在(1,0)-上是减少的；
当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的，
故()(1)0g x g -=…
恒成立． 故()g x 在(,1)-∞-上是增加的，在(1,1)-上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =-，则()10g m -=， 解得：0m =或2m =， 当0m =即()0g x t -=时，
()g x t =，
当2t <-时，()2g x <-，无解， 当2m =即()2g x t -=时，
()2g x t =+，
当2t <-时，()0g x <，无解，
故方程(())10g g x t --=没有相异实根， 故A 正确；
当2t =-时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e -+
<<时，1
2(1,2)t e
+∈+， 由上可知()f x 在1x =-时取得极大值为1
(1)1g e
-=+，
结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点， 故B 正确； 当1
11t e
<<+
时，()g x t =或()2g x t =+， 若()g x t =，
结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点， 若()2g x t =+，1
2(3,3)t e
+∈+，
此时()g x 与y t =有一个交点，
故方程(())10g g x t --=有4个相异实根， 故C 错误； 当111t e -<<-+
时，1
()2(1,1g x t e
=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根， 当01t <…时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当1
1t e
=+时，()g x t =或()2g x t =+，
当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 故此时方程(())10g g x t --=共有9个不等实根， 故D 错误． 故选：AB ．
13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x ⎧⎪
=⎨-<⎪⎩…
，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．
【名师解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12
lnx x f x x x ⎧⎪
=⎨-<⎪⎩…
，
当1x …
时，0lnx …，()11f x +…，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+， 当1x <时，1112x -
+>，则(()1)(2)2
x
f f x ln +=-． (1),1()(()1)(2),12
ln lnx x g x f f x x
ln x +⎧⎪
∴=+=⎨-<⎪⎩…
， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx ⎧⎨+=⎩…或1(2)02x x
ln <⎧⎪
⎨-=⎪⎩， 解得1x =．
故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1； 由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，
()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=-
有两根，
也就是()1m f x e -+=，()1m f x e -=-有两根1x ，2x ，不妨设12x x <，
当1x …
时，21m lnx e -=-，当1x <时，1
112
m x e --=-， 令1
12
m t e -=->
，则 2lnx t =，2t x e =，1
12
x t -
=，122x t =-， ∴1222t x x e t +=+-，12
t >
， 设()22t t e t ϕ=+-，12
t >
， 则()2t t e ϕ'=-，可得当1
(2
t ∈，)lnt 时，()0t ϕ'<，
当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ'>， 则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=-． 12x x ∴+的最小值是422ln -．
故答案为：1；422ln -．
14．已知函数,1()1,12
lnx x f x x
x ⎧⎪
=⎨-<⎪⎩…
，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范
围 (-∞ ．
【名师解析】解：当1x …
时，()0f x lnx =…，则()11f x +…， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+， 当1x <时，1()122x f x =-
>，则3()12
f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，
综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，
令()0F x =，得()1m f x e -+=，依题意，()1m f x e -=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <，
当1x …
时，21m lnx e -=-，当1x <时，1
112
m x e --=-， 令1
12
m t e -=->
，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==-==-，
∴121
(22),2
t x x e t t =->
， 设1
()(22),2
t g t e t t =->
，则()20t g t te '=-<，
()g t ∴在1
(,)2+∞上单调递减，
∴1
()()2
g t g <=，
12x x ∴
的取值范围为(-∞．
故答案为：(-∞．
15．已知函数,2()48,25x
ex
x e f x x x x
⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩…（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a -+=恰
有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 12{}[2e ，4
)5
．
【名师解析】解：当2x …时，令()0x
e ex
f x e -'=
=，解得1x =， 所以当1x …时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当12x 剟
时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x -=
=-单调递增，且()[0f x ∈，4
)5
作出函数()f x 的图象如图：
（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；
（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=， 则()20f x a =-<，()0f x a =-<，此时各有1解，
故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a -+=--=，
()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）2221
2
e e e ==>，故此时满足题
意；
或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，
或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21
245a a e >⎧⎪
⎨<⎪⎩…，解得245a e <…，
故2[a e ∈，4
)5
（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意． 综上：a 的范围是12{}[2e ，4
5
故答案为12{}[2e ，4
5
16．已知函数231,0
()26,0a
x x f x x
lnx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)- ．
【名师解析】解：已知定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的函数231,0
()26,0a
x x f x x
lnx x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩， 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =+
+关于原点对称的函数231a
y x x
=-+-与函数()26(0)f x lnx x x =->的图象有两个交点， 联立可得226310a
lnx x x x
-+-
+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =-++，0x >， 可设23()263g x xlnx x x x =-++，0x >， 2()32129g x lnx x x '=+-+
， 2()1812120g x x x ''=
+--=…，可得()g x '在(0,)+∞递增， 由g '（1）0=，可得01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2-，
作出()y g x =的图象，可得20a -<<时，226310a
lnx x x x
-+-+=有两个解， 故答案为：(2,0)-．
17．已知函数2
1,0
()21,0
x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．
【名师解析】解：作()f x 的图象如下，
，
2()()()(())0f x af x f x f x a -=-=， ()0f x ∴=或()f x a =；
()0f x = 有两个不同的解， 故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈； 故答案为：(0,1)．
18．已知函数()|1|33f x x x x =--+． （1）求函数()f x 的零点；
（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m -+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．
【名师解析】解：（1）由题得2223,(1)
()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+⎩
…，
①当1x <时，令()0f x =，得3x =-或1x =（舍)；
②当1x …
时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3-，1，3；
（2）作出函数2223,(1)
()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x ⎧--+<=--+=⎨-+⎩
…的大致图象，如图：
令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n -+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =-+的零点分布情况如下：
①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，则(1)0(4)014
2g g b a ⎧⎪-=⎪>⎨⎪⎪-<-<⎩，得101640142m n m n m ⎧
⎪++=⎪
-+>⎨⎪⎪-<<⎩，故(2,3)m ∈-；
②当14t =，2(1,4)t ∈-时，则(4)0(1)014
2g g b a ⎧⎪=⎪->⎨⎪⎪-<-<⎩
，得164010142m n m n m ⎧
⎪-+=⎪
++>⎨⎪⎪-<<⎩，故(3,8)m ∈．
综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈-，3)(3⋃，8)； 解法二：则方程20t mt n -+=的根的情况如下：
①当11t =-，2(1,4)t ∈-时，由11t =-得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m --+=，即(1)(1)0t t m +--=，故21(1,4)t m =+∈-，所以(2,3)m ∈-；
②当14t =，2(1,4)t ∈-时，由14t =得1640m n -+=，则方程24(4)0t mt m -+-=，即(4)(4)0t t m --+=，故24(1,4)t m =-∈-，所以(3,8)m ∈
．
综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈-，3)(3⋃，8)． 19．已知函数2()sin()2cos 1,468
f x x x x R πππ
=--+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x ⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【名师解析】解：（1）
23()sin(2cos 1sin cos cos sin cos cos sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=--+=----⋯ （3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．⋯（4分） 令222432k x k ππππππ--+剟，k Z ∈，求得2108833
k x k -+剟，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33
k k -+，k Z ∈⋯（6分）
（2）设()t f x =，4(3x ∈ ，4)，∴2(0,)433
x πππ-∈，()(0f x ∴∈，
∴方程2410t mt -+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．⋯（10分）
11442
t t t += 当且仅当…时取等号，4m ∴…，⋯（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．⋯（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +-=+-成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x
=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的名师解析式；
（Ⅱ）记函数()h x 在[1-，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m -…，当0b >时，求b 的最大值；
（Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|
x x k f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【名师解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g -=-，
g （1）0=，(0)1g ∴=，
令0y =得()(0)(2)g x g x x -=-，
即2()21g x x x =-+．
（Ⅱ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++． ①当12
b -<-，即2b >时，M m h -=（1）(1)24h b --=>，与题设矛盾
②当102b --<…时，即02b <…时，M m h -=（1）2((1)422b b h --=+…恒成立， 综上可知当02b <…时，b 的最大值为2．
（3）当0x =时，210x -=则0x =不是方程的根， 方程2(|21|)30|21|
x x k f k -+-=-可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k --+-++=，|21|0x -≠， 令|21|x t -=，则方程化为
2(23)(12)0t k t k -+++=，(0)t >，
方程2(|21|)310|21|
x x k f k -+--=-有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =-的图象知，
2(23)(12)0t k t k -+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ， 且1201t t <<<或101t <<，21t =．
记2()(23)(12)h t t k t k =-+++，
则(0)210(1)0h k h k =+>⎧⎨=-<⎩
，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩
，此时k 无解，
综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。