复数(高三一轮复习)

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3i,则 z
z
-z 1=(
C
)
A.-1+ 3i
B.-1- 3i
C.-13+
3 3i
D.-13-
3 3i
解析
z z -z 1=-1+
-1+ 3i 3i-1-
3i-1=-1+3
3i=-13+ 33i,故选C.
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2.已知复数z与复平面内的点(1,2)对应,则z1--1i=( C )
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基|础|自|测
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数z=a-bi(a,b∈R)中,虚部为b.( × ) (2)复数可以比较大小.( × ) (3)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.( × ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应 的向量的模.( √ )
复数的分类
满足条件(a,b为实数) a+bi为实数⇔ 3 b=0 a+bi为虚数⇔ 4 b≠0 a+bi为纯虚数⇔ 5 a=0且b≠0
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(3)复数相等:a+bi=c+di⇔ 6 a=c且b=d
(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔ 7 a=c,b=-d (a,b,c,d∈R).
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思维点睛► (1)复数的加法、减法、乘法运算类似于多项式的运算. (2)复数的除法运算的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
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针对训练
1.(2022·全国甲卷)若z=-1+
3.复数的运算 (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
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(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运 算.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即 O→Z=O→Z1+O→Z2,Z→1Z2=O→Z2-O→Z1.
(2)z=a1-+bii+i=a-bi21-i+i=a-2 b+1-a+2 bi,因为z∈R,故1=a+2 b,a +b=2,故选B.
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(3)对于A,由z=x+yi,得 z =x-yi,则z- z =(x+yi)-(x-yi)=2yi,故A正 确;
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
解析 由复数的几何意义可知z=1+2i,则z1--1i=12-i i=1-2ii1+1+i i=2i-2 2=-
1+i.
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3.(2023·陕西西安质检)已知复数z满足z(1-i)=2i,则z+i=( B ) A. 2 B. 5 C. 10 D. 13
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思维点睛►
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即 可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚 部.
A.45+35i C.-45+35i
B.45-35i D.-45-35i
解析 由i2=-1,i4=1可得i2 022=i4×505+2=(i4)505·i2=-1,则-z= 4-534i+43+i 3i=45+35i,∴z=-45-35i.
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命题点3 复数的几何意义
例3 (1)(2023·陕西渭南摸底)已知复数z满足z+3=4 z +5i,则在复平面内复数z
对应的点在( A )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析
由z(1-i)=2i⇒z=
2i 1-i

2i1+i 1-i1+i
=i(1+i)=-1+i,所以
z+i

-1+i+i=-1+2i= -12+22= 5,故选B.
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4.(2022·河南开封模拟)复数z满足i2 022z=4-5 3i,则复数z=( D )

1 2

1 2
i,∴复数z在复平面内
对应的点为12,12,故复数z在复平面内对应的点在第一象限,故选A.
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5.(易错题)复数 z=a-1 1+(a2-1)i是实数,则实数a的值为( C )
A.1或-1
B.1
C.-1
D.0或-1
解析 因为复数 z=a-1 1+(a2-1)i是实数,
4-a2=0,
解得a=2,因此z=2i.
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命题点2 复数的四则运算
例2 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+ z =( D )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
(2)(2022·全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3 z |=( D )
A.4 5
(5)模:向量O→Z的模叫做复数z=a+bi的模,记作 8 |a+bi| 或 9 |z| ,即|z|=
|a+bi|= a2+b2(a,b∈R).
2.复数的几何意义
复数z=a+bi与复平面内的点 10 Z(a,b) 及平面向量O→Z=(a,b)(a,b∈R)
是一一对应关系.
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常用结论► (1)(1±i)2=±2i;11+ -ii=i;11- +ii=-i. (2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N). (4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N). (5)复数z的方程在复平面上表示的图形 ①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环; ②|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
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必备知识 自主学习
知|识|梳|理 1.复数的有关概念 (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数 叫做复数,其中a叫做复数z的 1 实部 ,b叫做复数z的 2 虚部 (i为虚数单位).
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(2)分类
z 是z的共轭复数,则下列结论中不正确的是( B )
A.z- z =2yi
B.z2=|z|2
C.z z =x2+y2
D.|z|≤|x|+|y|
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解析 (1)由题意知 z =1+2i,所以z+a z +b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+ (2a-2)i=0,所以a2+ a-b+ 2=1= 0,0, 解得ab= =- 1,2, 故选A.
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解析 (1)因为i(1-z)=1,所以z=1-1i =1+i,所以 z =1-i,所以z+ z =(1+i) +(1-i)=2.故选D.
(2)因为z=1+i,所以iz+3 z =i(1+i)+3(1-i)=-1+i+3-3i=2-2i,所以
iz+3
z
=|2-2i|=
22+-22=2
2.故选D.
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(3)因为(1+2i)z=3-i, 所以z=13+-2ii=13+-2ii11--22ii=15-75i,
所以z=
152+-752= 2.
(4)因为11-+ii=1+1i-1i-2 i=-i,
所以11+-ii2 022=(-i)2 022=(-1)2 022×i2 022=i4×505+2=i2=-1.
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2.若z为纯虚数,且z=1,则2+1 z=( A )
21 A.5±5i
B.25-15i
12 C.5±5i
D.15-25i
解析
z为纯虚数,由
z
=1,知z=±i,当z=i时,
1 2+z

1 2+i
=Βιβλιοθήκη Baidu
2-i 2+i2-i

2-5 i,当z=-i时,2+1 z=2-1 i=2+5 i,故选A.
得xy= =21, ,
所以x+y=3.
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4.已知复数z满足(1-i)(1+z)=2-i,则复数z在复平面内对应的点在( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析
∵(1-i)(1+z)=2-i,∴z=
2-i 1-i
-1=
1 1-i
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2.(2022·海南海口二模)复数1+2 3i的虚部为( D )
3 A.5
B.15
C.-15
D.-35
解析 由已知得1+2 3i=1+231i-13-i 3i=2-106i=15-35i,则复数15-35i的虚部为-
35,故选D.
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B.4 2
C.2 5
D.2 2
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(3)(2022·山东聊城一模)复数z满足(1+2i)z=3-i,则z=( A )
A. 2
B. 3
C.2
D. 5
(4)复数11- +ii2 022=( D )
A.i
B.-i
C.1
D.-1
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B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2
D.a=-1,b=-2
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(2)(2023·陕西西安质检)已知a,b∈R,且复数z=a1-+bii+i∈R,则( B )
A.a+b=0
B.a+b=2
C.a-b=0
D.a-b=2
(3)(2023·江西师大附中月考)对任意复数z=x+yi(x∈R,y∈R),i为虚数单位,
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— 22 —
3.(2022·江苏泰州一模)已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数,则z=( C )
A.2
B.-2 C.2i
D.-2i
解析 因为z为纯虚数,所以可设z=ai(a≠0),则(z+2)2+8i=(2+ai)2+8i=(4
a≠0, -a2)+(4a+8)i,由题意可得4a+8≠0,
— 11 —
3.已知1+x i=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+y=( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
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解析

x 1+i
=1-yi,得
x1-i 1+i1-i
=1-yi,得
x 2

x 2
i=1-yi,得
2x=1, -2x=-y,
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针对训练
1.(2023·山东青岛质检)复数12-i i(i是虚数单位)的虚部是( A )
A.1
B.-i
C.2
D.-2i
解析 由题意可知,12-i i=12-ii1+1+i i=-22+2i=-1+i,所以复数12-i i的虚部
为1.
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所以aa- 2-11≠=00,, 解得a=-1, 所以实数a的值为-1.
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关键能力 互动探究
命题点1 复数的概念
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a,b为实数,则
(A ) A.a=1,b=-2
对于B,因为z2=(x+yi)2=x2+2xyi+(yi)2=(x2-y2)+2xyi,z2=x2+y2, 所以z2≠z2,故B错误; 对于C,由z=x+yi,得 z =x-yi,所以z z =(x+yi)·(x-yi)=x2-(yi)2=x2+y2, 故C正确;对于D,因为z= x2+y2≤ x2+y2+2xy=x+y,故D正确.
第五章 平面向量、复数
第4讲 复数
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课标解读
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1.通过方程的解,认识复数;2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复 数相等的含义;3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意 义.
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