黑龙江省安达市第七中学2020届高三数学上学期期末模拟试题(1)理

黑龙江省安达市第七中学2020届高三数学上学期期末模拟试题（1）
理
一、选择题
1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I =( ) A ．}{43x x -<<
B ．}42{x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则( ) A ．2
2
+11()x y +=
B ．22
1(1)x y +=-
C ．2
2(1)1y x +-=
D ．2
2(+1)1y x +=
3.已知0.20.32
log 0.2,2,0.2a b c ===，则( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
512
-,(510.6182-≈称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
51
2
-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
5.函数2
sin ()cos x x
f x x x
+=
+在[,]-ππ的图像大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
( )
A．
5
16
B．
11
32
C．
21
32
D．
11
16
7.已知非零向量,a b
r r
满足||2||
a b
=
r r
，且()b
a b
-⊥
r r r
，则a
r
与b
r
的夹角为( )
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
8.如图是求
1
1
2
1
2
2
+
+
的程序框图，图中空白框中应填入( )
A．
1
2
A
A
=
+
B．
1
2
A
A
=+C．
1
12
A
A
=
+
D．
1
1
2
A
A
=+
9.记
n
S为等差数列{}
n
a的前n项和．已知
45
0,5
S a
==，则( )
A．25
n
a n
=-B．310
n
a n
=-C．2
28
n
S n n
=-D．2
1
2
2
n
S n n
=-
10.已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F -,，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若222AF F B =，
1AB BF =，则C 的方程为( )
A ．2
212
x y +=
B ．22
132
x y +=
C ．22
143
x y +=
D ．22
154
x y +=
11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间π(,π)2单调递增
③()f x 在[]π,π-有4个零点 ④()f x 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )
A ．
B ．
C ． D
二、填空题
13.曲线2
3()e x
y x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若2
1461,3
a a a =
=，则5S =________. 15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是____________．
16.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过1F 的直线与C 的两
条渐近线分别交于,A B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r
，则C 的离心率为________．
三、解答题
17.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 设2
2
(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． 1.求A ；
2.2b c +=，求sin C ．
18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，
14,2,60,,,AA AB BAD E M N ==∠=︒分别是11,,BC BB A D 的中点．
1.证明：//MN 平面1C DE ；
2.求二面角1A MA N --的正弦值．
19.已知抛物线2
:3C y x =的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为,A B ，与x 轴的交点为P ．
1.若4AF BF +=，求l 的方程；
2.若3AP PB =u u u r u u u r
，求AB ．
20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： 1.()f x '在区间(1,)2
π-存在唯一极大值点； 2.()f x 有且仅有2个零点．
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和
β，一轮试验中甲药的得分记为X ．
1.求X 的分布列；
2.若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，i (i 0,1,,8)p =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，i i 1i i 1p ap bp cp -+=++(i 1,2,,7)=L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． (i)证明：i 1i {}p p +-(i 0,1,2,,7)=L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．
1.求C 和l 的直角坐标方程；
2.求C 上的点到l 距离的最小值． 2
3.[选修4—5：不等式选讲]
已知,,a b c 为正数，且满足1abc =．证明： (1)
222111
a b c a b c
++≤++； (2)333()()()24a b b c c a +++≥++．
参考答案
1.答案：C
解析：由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则
{}
22M N x x ⋂=-<<．故选C ．
2.答案：C
解析：,(1),z x yi z i x y i =+-==+
-1,z i -则2
2
(1)1x y +-=．故选C ．
3.答案：B
解析：22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则
01,c a c b <<<<．故选B ．
4.答案：B
解析：设某人身高为cm m ,脖子下端至肚脐的长度为cm n ,则由腿长为105cm,
可得
1050.618105m -≈,解得169.890m >. 由头顶至脖子下端的长度为26cm,
可得
260.618n >≈, 解得42.071n <.
由已知可得
260.618(26)n m n +=≈-+,
解得178.218m <.
综上,此人身高m 满足169.890178.218m <<, 所以其身高可能为175cm. 故选B. 5.答案：D
解析：由
22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x -+----=
==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原
点对称．又221422()1,2()2f π
ππππ+
+==>2
()01f πππ=>-+．故选D ．
6.答案：A
解析：由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况
有36
C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3
6
62C =516
，故选A ．
7.答案：B
解析：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以
cos θ=22
||1
2||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为π3
，故选B ． 8.答案：A
解析：执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1
122
+=1
2A +，1k k =+=2，循环，
执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算1
12122
+
+=
1
2A
+，1k k =+=3，循环， 执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为1
2A A
=+，故选A ． 秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为1
2A A
=+．
9.答案：A
解析：由题知，41
51
4430245d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨
=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 10.答案：B
解析：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有
121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得
22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==
⋅⋅．在
12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解
得n ．
2
2
2
24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132
x y
+
=，故选B ．
11.答案：C
解析：
f（-x）=sin|-x|+|sin（-x）|=sin|x|+|sinx|=f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，
当
π
(,π)
2
x 时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，
则f（x）=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误，
当0≤x≤π时，f（x）=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，
由f（x）=0得2sinx=0得x=0或x=π，
由f（x）是偶函数，得在[-π，）上还有一个零点x=-π，即函数f（x）在[-π，π]有3个零点，故③错误，
当sin|x|=1，|sinx|=1时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．
12.答案：D
解析：法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．
设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，
//EF PB ∴，且1
2
EF PB x =
=，ABC ∆Q 为边长为2的
等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒2
13,2
CE x AE PA x ∴=-==
AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x
+--∠=
⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，
D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，22431
42x x x x
+-+∴=， 221
2
2122
2
x x x ∴+=∴=
=
，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，
34466633V R ∴=
π==π，故选D. 法二：,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，
PB AC ∴⊥，又E ，F 分别PA 、AB 中点，
//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===
，P ABC ∴-为正方体一部分，
22226R =++= 36446
62338
R V R =
∴=π=⨯=ππ，故选D ．
13.答案：3y x =
解析：解：/223(21)3()3(31),x x x
y x e x x e x x e =+++=++
所以，/
0|3x k y ===
所以，曲线23()e x
y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 14.答案：
121
3
解析：设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 15.答案：0.18
解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是
30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 16.答案：2 解析：如图，
由1
,F A AB =u u u r u u u r
得1.F A AB =又12,OF OF = 得OA 是三角形
12F F B
的中位线，即
22//,2.
BF OA BF OA =
由1
20F B F B =u u u r u u u u r
g ， 得121,,
F B F B OA F A ⊥⊥则
12,
OB OF OF ==
有
221122,OBF BF O OBF OF B ∠=∠=∠=∠1
AOB AOF ∠=∠．又OA 与OB 都是渐近线，得
21,BOF AOF ∠=∠则0
260
BOF ∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603b a ==
所以该双曲线的离心率为
221()1(3)2c b
e a a =
=+=+=．
17.答案：1.由已知得2
2
2
sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得
222b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=． 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒．
2.由1知120B C =︒-()2sin 1202sin A C C +-=︒，
即
631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2
cos 602
C +︒=-． 由于0120C <<︒︒，所以()2
sin 602
C +︒=
，故 ()sin sin 6060C C ︒=+-︒
()()sin 60cos60cos 60sin60C C =+-︒+︒︒︒
62
+=
． 解析：
18.答案：1.连结1,B C ME ． 因为,M E 分别为1,BB BC 的中点， 所以1//ME B C ，且11
2
ME B C =
． 又因为N 为1A D 的中点，所以11
2
ND A D =
． 由题设知11//A B DC ，可得11//B C A D ，故//ME ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，//MN ED ． 又MN ⊄平面1EDC ，所以//MN 平面1C DE ． 2.由已知可得DE DA ⊥．
以D 为坐标原点，DA u u u r
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
则(2,0,0)A ，12,()0,4A ，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(13,2)AM =--u u u u r
，1(1,0,2)A N =--u u u u r ，(0,3,0)MN =u u u u r
．
设(,,)m x y z =为平面1A MA 的法向量，则110
0m A M m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，
所以320,
40x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩
．可取3,1,0)m =．
设(,,)n p q r =为平面1A MN 的法向量，则1
0,
0n MN n A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r ．
所以0,20p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩．
可取(2,0,1)n =-．
于是cos ,||||5
m n m n m n ⋅〈〉=
==
， 所以二面角1A MA N --
的正弦值为5
． 解析：
19.答案：1.设直线()()11223
:,,,,2
l y x t A x y B x y =+． 由题设得3,04F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故1232AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．
由232
3y x t y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，可得22
912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --
=，得7
8
t =-． 所以l 的方程为37
28
y x =-．
2.由3AP PB =u u u r u u u r
可得123y y =-．
由232
3y x t y x
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得121
3,3
x x ==．
故AB =． 解析：
20.答案：1.设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x
=-
+，21sin ())(1x 'x g x =-++.
当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭有唯一零点， 设为α.
则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,
2x α⎛
π⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,
2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,
2π⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
存在唯一极大值点. 2.()f x 的定义域为(1,)-+∞.
（i ）当(1,0]x ∈-时，由1知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.
（ii ）当0,2x ⎛π⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，由1知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2
απ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减，而(0)=0f '，
02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减.
又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()0f x >.从而，()f x 在
0,2⎛⎤
⎥⎝⎦
π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π
⎥⎝⎦时，()0f 'x <，
所以()f x 在,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤
π
⎥⎝⎦
有唯一零点.
（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()0f x <，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点. 解析：
21.答案：1.X 的所有可能取值为1,0,1-.
(1)(1),P X αβ=-=- (0)(1)(1),P X αβαβ==+-- (1)(1),P X αβ==-
所以X 的分布列为
2.（i ）由1得0.4,0.5,0.1a b c ===.
因此i i 1i i 1=0.4+0.5 +0.1p p p p -+，故()()i 1i i i 10.10.4p p p p +--=-，即
()i 1i i i 14p p p p +--=-.
又因为1010p p p -=≠，所以{}i 1i (i 0,1,2,,7)p p +-=L 为公比为4，首项为1p 的等比数列． （ii ）由i 可得
()()()88877610087761013
4
1 p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=L L .
由于8=1p ，故183
41
p =
-，所以 ()()()()44433221101411
.325 7
p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=
4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈
率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41
0.0039257
p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 解析：
22.答案：1.因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
2
22
141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐
标方程为22
1(1)4
y x x +=≠-.
l
的直角坐标方程为2110x ++=.
2.由1可设C 的参数方程为cos ,
2sin .
x y αα=⎧⎨
=⎩（α为参数，ππα-<<）.
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=. 当2π3α=-时，π4cos 113α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7，故C 上的点到l
解析：
23.答案：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++.
所以
222111
a b c a b c
++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有
333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥⨯⨯⨯
24=.
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