16高斯定理
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S b
Eb
S
=穿过垂直于场强方向的 单位面积的电场线数目
E
Ea
a
几种带电体的电场线分布图如下：
2
+
负电荷 正电荷
++ ++ + + + + +
带电平行板电容器
+
一对等量异号电荷
+
+
一对等量同号电荷
2.电场线的性质
1) 电场线起始于正电荷（或无穷远）、终止于负电 荷（或无穷远） ， 不会形成闭合曲线； 2) 两条电场线不会相交；
E dS
i
q i内
0
格丁根大学教授和天文台台长 。主要成就有高斯定理，高斯 光学，高斯分布，高斯二项式 定理，散度定理等等。
高斯 (1777-1855)
德国数学家、物理 学家、天文学家
8
2.高斯定理的证明 1). 点电荷产生的电场,高斯面为球面
e E dS
上 次 课 内 容：
电荷 q
1
电荷 q
2
力
F 库仑定律：
1 4
0
q1q 2 r
2
ˆ r
电场 电场强度
F E q0
点电荷场强 E
任意电荷系场强 E
பைடு நூலகம்
q 4 0 r
2
n
ˆ r
qi
0
1 4
i1
ri
2
ˆ ri
1
四、 电场线
电场强度通量
一、电场线 1.形象描述场强分布的一组有向空间曲线 场强 电场线 方向 切线方向 大小 电场线密度 E N
5
3）通过任意曲面的电通量
将曲面分割为无限多个面 元，称为面积元矢量 d e E d S e E dS
S
E
n
dS
电通量可正也可负
90 ， e 0,
0
90 ， e 0,
0
6
4）通过闭合曲面的电通量 e E dS
（2）处处为零。
通量为零，
0
（1）为零，也可能不为零。
11
二. 高斯定理在解场方面的应用
例1 均匀带电球壳 总电量为 Q 内外半径R1R2 求：电场强度分布
解:电荷分布球对称，故场强分布球对称
Q
方向沿径向
取过场点的以球心O为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量
S
E r dS
S’ 由于电场线的连续性，穿过闭
合曲面S’和穿过球面S的电场线 数目是一样的，因此通过闭曲 q 面的电通量值也等于 。
0
9
S
E dS
3).一般情况： 任意电荷系产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面
S
E dS
i
q i内
0
(
S i
E i ) dS
(r)
or
S
r<a:
S
2 E d S E dS E 4 r
a
q
i
i
dV
r 0
K r 4 r d r
2 2
S
4 5
Kr
5
5
由高斯定理： E 4 r
2
1 4
0 5
Kr
E
Kr
3
5 0
18
r>a:
q
i
i
a 0
i
( E i dS )
i
q i内
0
证毕
说明
对电通量 E d S 有贡献的只有面内电荷
S
1.闭合面内、外电荷对E 都有贡献
2.静电场性质的基本方程
有源场
10
S
E dS
i
q i内
0
q
1.一个点电荷q所产生的电场线的条数是多少？
2.
若通过一闭合曲面的 则此闭合曲面上的
4 r d r
2
a 0
2 4 r 2 d r Kr
(r )
o
4 5
r
Ka
2
5
E 4 r
4 5 0
S
Ka
5 2
5
a
E
Ka
5 0 r
19
作
7-13， 7-18，
业
7-15， 7-21
20
S
S
E dS
i
q i内
dS E
E dS E dS
S S
q 4 0 r
E
2
4 r
2
q
0
2). 点电荷产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面 S
q e E dS
S
dS
0
q
+
r
q r
0
+
若q在S面外：
e 0
说明：
电场线为假想的线,电场中并不存在；
电场是连续分布的，分立电场线只是一种
形象化的方法
4
二、电通量Φe
通过任一面的电场线条数
1） dS
场强
d e EdS
E
dS
2）dS 与 场强 有夹角
n
θ θ
d e EdS cos E dS
E
dS
dS
2
3
3
Q
Q
讨论：
E3
1 ) R 1 0 均匀带电球体 E Qr Q E内 E外 3 2 4 0 r 4 0 R 2 2 ) R 1 R 2 均匀带电球面
E内 0
4 0 r
2
E
R
r
E外
Q 4 0 r
2
R
14
r
例2 均匀带电的无限长的直线 对称性的分析 取合适的高斯面 计算电通量
E 较为方便
高斯面的选取：
1）选规则闭合曲面
一部分面上： 为常量， E
与 d S 有固定夹角 剩下的面上：E 0
E
2）面上：
带电线
柱体
平板
柱面
或
E dS
E dS 0
17
例4. 已知: 半径为 a 的带电球,电荷体密度=Kr2, 其中 r 是球心到体内任一点的距离 求:球内外场强的大小? 解：电荷球对称分布，故电场 球对称分布，方向沿径向 作高斯球面如图示
线密度
r
P
dE
S
E ds E ds
侧面
E ds
两底面
ds
1 2
0
E 2 rl 0
利用高斯定理解出E
E 2 rl
l 0
E
r
r
l
ds E
15
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解： 对称性分析：电场分布具有面对称性，方向沿法向。 作高斯面：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。
P
S
E dS
S
EdS E
dS
S
E 4 r
2
12
根据高斯定理解方程
E 4 r
S
2 E 4 r E dS
2
q i内
q
E
i
Q
2
i
i
0
4 0 r
过场点的高斯面内电量代数和
r R1
q
i
i
0
r R1
E1 0
R1 r R 2
E dS
s
两底
E dS 2 ES
高斯面内电荷 q S 由高斯定理得
2 ES S / 0
E
S
E
E
2 0
σ
16
对 Q 分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 常见的电量分布的对称性： 球对称 轴对称 均匀带电的 无限长 球壳 球体 球面 (点电荷) 面对称 无限大 平面
S
n
规定自内向外为面元的法向
电场线穿出，电通量为正， 电场线穿入，电通量为负。
e
S
n E dS 0（穿进=穿出)
表明闭合曲面内无净电荷
7
一、高斯定理
§7-3
高斯定理
1.表述 在真空中的静电场内， 这闭合面所包围的电 通过任一闭合面 量的代数和除以0。 的电通量
S
i
4 (r 3 R 3 ) Q 1 3 qi 4 (R 3 R 3) 2 1 3
r R2
E3
Q 4 0 r
2
E2
Q ( r R1 )
3 2 3 3
3
4 0 r ( R 2 R 1 )
13
E1 0
E2
Q ( r R1 )
3
3
4 0 r ( R 2 R 1 )
Eb
S
=穿过垂直于场强方向的 单位面积的电场线数目
E
Ea
a
几种带电体的电场线分布图如下：
2
+
负电荷 正电荷
++ ++ + + + + +
带电平行板电容器
+
一对等量异号电荷
+
+
一对等量同号电荷
2.电场线的性质
1) 电场线起始于正电荷（或无穷远）、终止于负电 荷（或无穷远） ， 不会形成闭合曲线； 2) 两条电场线不会相交；
E dS
i
q i内
0
格丁根大学教授和天文台台长 。主要成就有高斯定理，高斯 光学，高斯分布，高斯二项式 定理，散度定理等等。
高斯 (1777-1855)
德国数学家、物理 学家、天文学家
8
2.高斯定理的证明 1). 点电荷产生的电场,高斯面为球面
e E dS
上 次 课 内 容：
电荷 q
1
电荷 q
2
力
F 库仑定律：
1 4
0
q1q 2 r
2
ˆ r
电场 电场强度
F E q0
点电荷场强 E
任意电荷系场强 E
பைடு நூலகம்
q 4 0 r
2
n
ˆ r
qi
0
1 4
i1
ri
2
ˆ ri
1
四、 电场线
电场强度通量
一、电场线 1.形象描述场强分布的一组有向空间曲线 场强 电场线 方向 切线方向 大小 电场线密度 E N
5
3）通过任意曲面的电通量
将曲面分割为无限多个面 元，称为面积元矢量 d e E d S e E dS
S
E
n
dS
电通量可正也可负
90 ， e 0,
0
90 ， e 0,
0
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4）通过闭合曲面的电通量 e E dS
（2）处处为零。
通量为零，
0
（1）为零，也可能不为零。
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二. 高斯定理在解场方面的应用
例1 均匀带电球壳 总电量为 Q 内外半径R1R2 求：电场强度分布
解:电荷分布球对称，故场强分布球对称
Q
方向沿径向
取过场点的以球心O为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量
S
E r dS
S’ 由于电场线的连续性，穿过闭
合曲面S’和穿过球面S的电场线 数目是一样的，因此通过闭曲 q 面的电通量值也等于 。
0
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S
E dS
3).一般情况： 任意电荷系产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面
S
E dS
i
q i内
0
(
S i
E i ) dS
(r)
or
S
r<a:
S
2 E d S E dS E 4 r
a
q
i
i
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K r 4 r d r
2 2
S
4 5
Kr
5
5
由高斯定理： E 4 r
2
1 4
0 5
Kr
E
Kr
3
5 0
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r>a:
q
i
i
a 0
i
( E i dS )
i
q i内
0
证毕
说明
对电通量 E d S 有贡献的只有面内电荷
S
1.闭合面内、外电荷对E 都有贡献
2.静电场性质的基本方程
有源场
10
S
E dS
i
q i内
0
q
1.一个点电荷q所产生的电场线的条数是多少？
2.
若通过一闭合曲面的 则此闭合曲面上的
4 r d r
2
a 0
2 4 r 2 d r Kr
(r )
o
4 5
r
Ka
2
5
E 4 r
4 5 0
S
Ka
5 2
5
a
E
Ka
5 0 r
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作
7-13， 7-18，
业
7-15， 7-21
20
S
S
E dS
i
q i内
dS E
E dS E dS
S S
q 4 0 r
E
2
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q
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2). 点电荷产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面 S
q e E dS
S
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0
q
+
r
q r
0
+
若q在S面外：
e 0
说明：
电场线为假想的线,电场中并不存在；
电场是连续分布的，分立电场线只是一种
形象化的方法
4
二、电通量Φe
通过任一面的电场线条数
1） dS
场强
d e EdS
E
dS
2）dS 与 场强 有夹角
n
θ θ
d e EdS cos E dS
E
dS
dS
2
3
3
Q
Q
讨论：
E3
1 ) R 1 0 均匀带电球体 E Qr Q E内 E外 3 2 4 0 r 4 0 R 2 2 ) R 1 R 2 均匀带电球面
E内 0
4 0 r
2
E
R
r
E外
Q 4 0 r
2
R
14
r
例2 均匀带电的无限长的直线 对称性的分析 取合适的高斯面 计算电通量
E 较为方便
高斯面的选取：
1）选规则闭合曲面
一部分面上： 为常量， E
与 d S 有固定夹角 剩下的面上：E 0
E
2）面上：
带电线
柱体
平板
柱面
或
E dS
E dS 0
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例4. 已知: 半径为 a 的带电球,电荷体密度=Kr2, 其中 r 是球心到体内任一点的距离 求:球内外场强的大小? 解：电荷球对称分布，故电场 球对称分布，方向沿径向 作高斯球面如图示
线密度
r
P
dE
S
E ds E ds
侧面
E ds
两底面
ds
1 2
0
E 2 rl 0
利用高斯定理解出E
E 2 rl
l 0
E
r
r
l
ds E
15
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解： 对称性分析：电场分布具有面对称性，方向沿法向。 作高斯面：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。
P
S
E dS
S
EdS E
dS
S
E 4 r
2
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根据高斯定理解方程
E 4 r
S
2 E 4 r E dS
2
q i内
q
E
i
Q
2
i
i
0
4 0 r
过场点的高斯面内电量代数和
r R1
q
i
i
0
r R1
E1 0
R1 r R 2
E dS
s
两底
E dS 2 ES
高斯面内电荷 q S 由高斯定理得
2 ES S / 0
E
S
E
E
2 0
σ
16
对 Q 分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 常见的电量分布的对称性： 球对称 轴对称 均匀带电的 无限长 球壳 球体 球面 (点电荷) 面对称 无限大 平面
S
n
规定自内向外为面元的法向
电场线穿出，电通量为正， 电场线穿入，电通量为负。
e
S
n E dS 0（穿进=穿出)
表明闭合曲面内无净电荷
7
一、高斯定理
§7-3
高斯定理
1.表述 在真空中的静电场内， 这闭合面所包围的电 通过任一闭合面 量的代数和除以0。 的电通量
S
i
4 (r 3 R 3 ) Q 1 3 qi 4 (R 3 R 3) 2 1 3
r R2
E3
Q 4 0 r
2
E2
Q ( r R1 )
3 2 3 3
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4 0 r ( R 2 R 1 )
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E1 0
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Q ( r R1 )
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