空间向量的运算及其应用(含答案)

空间向量的运算及应用
知识梳理
数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；
②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：
a ＝(a 1，a 2，a 3)，
b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)
数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)
垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角公式
cos 〈a ，b 〉＝
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 21＋a 22＋a 2
3
b 21＋b 22＋b 23
方法归纳
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向
量，则求法向量的方程组为⎩
⎪⎨⎪⎧
n·
a ＝0，n·
b ＝0.
2．建立空间直角坐标系的原则：
(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：
用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．
[练一练]
1．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1) C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1) D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) 解析：选A 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直．
2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，
∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 答案：90°
3．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．
解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M 10,
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，
N 10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1A M ＝11,,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，DN ＝10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝
1A M ·
DN |1A M |·|DN |
＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.
答案：90°
空间向量在立体几何中的应用
角度一 利用空间向量证明平行或垂直
如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点． (1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；
[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，
∴1OD ＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，
∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .
又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ，∴BM ∥平面D 1AC . (2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，
∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·
(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0， ∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C . [解题通法]
利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直：
(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．
（3）设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.
角度二 异面直线所成角的求法
设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b|
|a||b|
(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．
例1．在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC
＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.
3010 B.12 C.3015 D.1510
解析：选A
建立如图所示的坐标系，
设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 11,0,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， B (0，－1,0)，D 111,,122⎛⎫-
- ⎪⎝⎭，则1AF ＝1,0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 1BD ＝11,,122⎛⎫
- ⎪⎝⎭. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD | 1AF ||1
BD |＝3010. 2．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN
所成角的余弦值为________．
解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为
z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则A (1,0,0)，M 11,,12⎛⎫
⎪⎝⎭，C (0,1,0)，N 11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ∴AM ＝10,
,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，CN ＝11,0,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.设直线AM 与CN 所成的角为θ，则
cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝
|AM ·
CN ||AM ||CN |
＝
1
21＋14
× 1＋14
＝25
. 答案：25
[解题通法]
1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．
2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
3．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
.
角度三 直线和平面所成的角的求法
如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e|
|n||e|
.
例．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．
解析：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)．∵AM ⊥PD ，P A ＝AD ，
∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC ＝(1,2,0)，AM ＝(0,1,1)，CD ＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC ，n ⊥AM
可得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝0
y ＋z ＝0，
令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝|CD ·n ||CD ||n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为3
3
答案：
3
3
[解题通法]
利用平面的法向量求线面角时，应注意
(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．
(3)求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． [针对训练]
(2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为6
7
，求k 的值．
解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．
设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧
AC ·
n ＝0，1AB ·
n ＝0，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1. 角度四 求二面角的大小
(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，
CD 〉．
(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．
例：1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1
2
PD .
(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．
解：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA 、DP 、DC 所在的直线分别为x
轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设DA ＝1，则有D (0,0,0)，Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，
所以DQ ＝(1,1,0)，DC ＝(0,0,1)，PQ ＝(1，－1,0)，
所以PQ ·DQ ＝0，PQ ·
DC ＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 又DQ ⊂平面DCQ ，DC ⊂平面DCQ ，且DQ ∩DC ＝D ，
所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . (2)由(1)易知B (1,0,1)，CB ＝(1,0,0)，BP ＝(－1,2，－1)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧
n ·CB ＝0，
n ·
BP ＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
－x ＋2y －z ＝0，可取n ＝(0，－1，－2)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·BP ＝0，m ·
PQ ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－x 1＋2y 1－z 1＝0，x 1－y 1
＝0，可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－15
5，
故二面角Q －BP －C 的余弦值为－15
5
. [解题通法]
利用法向量求二面角时应注意
(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．
(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．
(3)利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角
是锐角时cos θ＝
|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2|
|n 1||n 2|
.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 针对练习
(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.
(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．
解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直
线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，
∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD ＝(－23，2,0)，
∴BD ·
AP ＝0，BD ·AC ＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .
(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD ＝0，n ·
BP ＝0.由(1)知，BP ＝(－23，0,3)， ∴⎩⎨⎧
－23x ＋2y ＝0，
－23x ＋3z ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x ，z ＝233x .
令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1
2
，∴结合图形可知二面角P －BD －A 的大小为60°.。