【中考冲刺】2021年上海市黄浦区中考数学模拟试卷(附答案)

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【中考冲刺】2021年上海市黄浦区中考数学模拟试卷（附答
案）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知ABC 与DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是（ ） A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．100°
2．抛物线243y x x =-+-不经过（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．对于锐角α，下列等式中成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα=⋅ B ．cos tan cot ααα=⋅ C ．tan cot sin ααα=⋅
D ．cot sin cos ααα=⋅
4．已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（ ） A ．2
3
a b =
B ．23
a b =-
C ．32
a b =
D ．32
a b =-
5．小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
A ．-1
B ．3
C ．4
D ．0
6．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，对角线的交点为点O ．如果梯形ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
A ．点O 到边A
B 的距离 B ．点O 到边B
C 的距离 C ．点O 到边C
D 的距离 D ．点O 到边DA 的距离
二、填空题
7．已知三角形的三边长为a 、b 、c ．满足234
a b c
==，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．
8．已知线段MN 的长是4cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是 cm ．
9．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．
10．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是1
33
，则这个锐角的正切值为
________．
11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝8，∠B ＝60°，则S △ABC ＝_____（结果保留根号） 12．已知点P 位于第二象限内，5OP =，且OP 与x 轴负半轴夹角的正切值为2，则点P 的坐标是________．
13．如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为________度．
14．已知二次函数图像经过点()3,4和()7,4，那么该二次函数图像的对称轴是直线
________．
15．如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x 分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y 平方分米，那么y 关于x 的函数解析式是________．（不必写定义域）
16．如图，点D 、E 、F 分别位于ABC 的三边上，且//DE BC ，//EF AB ．如果ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，那么四边形BFED 的面积是________．
17．如果抛物线()2
32y x b x c =+++的顶点为(),b c ，那么该抛物线的顶点坐标是
________．
18．已知一个矩形的两邻边长之比为1：2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．
三、解答题
19．计算：22532sin 60tan 301cot 301cos 4︒
︒-+-
︒-︒
20．将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．
21．如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．
（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；
（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．
22．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB 为屋内地面，线段AE 、BC 为房屋两侧的墙，线段CD 、DE 为屋顶的斜坡．已知6AB =米， 3.2AE BC ==米，斜坡CD 、DE 的坡比均为1∶2．
（1）求屋顶点D 到地面AB 的距离：
（2）已知在墙AE 距离地面1．1米处装有窗ST ，如果阳光与地面的夹角
53MNP β︒∠==，为了防止阳光通过窗ST 照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙
AE 端点E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF ）
，公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即090FET α<∠=≤︒︒，长度为1．4米，即 1.4EF =米．试问：公司设计的
遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由． 1.41≈ 1.73≈，
2.24≈
3.16≈，sin530.8︒=，cos530.6︒=，4
tan 533
︒=
．） 23．某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：
①如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点M 、N ，则
AM CN
DM BN
=； ②如图2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，过两腰延长线交点P 的直线与两底分别交于
点K 、L ，则
AK BL
DK CL
=．
接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．
（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：
（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB 、CD 同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．
（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B 铅笔水笔完成作图，不要涂改）
24．如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．
（1）求直线AC 的表达式：
（2）若抛物线2
y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）．
①用含b 的代数式表示a ，并写出
1
b
的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．
25．如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且1
2
MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．
（1）求sin MCN ∠的值：
（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数； （3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比
PQ
MN
的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．
参考答案
1．D 【分析】
利用三角形的内角和定理即可求出∠C ，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∠D 可能的度数，从而作出判断． 【详解】
解：∵ABC 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒ ∴∠C=180°－∠A －∠B=80° ∵ABC 与DEF 相似
∴∠D=∠A=40°或∠D=∠B=60°或∠D=∠C=80° ∴D ∠不可能是100° 故选：D ． 【点睛】
此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键． 2．B 【分析】
求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】
解：2
43y x x =-+-＝()2
21x --+，
即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限； 当y ＝0时，243x x -+-＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝3
即抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x 轴的正半轴上， 当x=0时，y=-3
∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3） ∵a ＝-1＜0，
∴抛物线的图象的开口向下， 大致画出图象如下：
即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式． 3．A 【分析】
根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】
解：A ．sin cos tan ααα=⋅，故本选项正确； B ．tan cot 1cos ααα⋅=≠，故本选项错误； C ．cot sin cos tan αααα⋅=≠ ，故本选项错误； D ．cos cot sin cos sin α
αααα
=≠⋅ ，故本选项错误． 故选A ． 【点睛】
此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 4．B 【分析】
根据向量的方向和模的关系可得a =2e ，b =-3e ，从而可得e =1
3
b -，即可求出结论． 【详解】
解：由题意可知：a =2e ，b =-3e ∴e =13
b -
∴a =2e =23
b - 故选：B ． 【点睛】
此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键． 5．D 【分析】
利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论． 【详解】
解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0） ∴抛物线的对称轴为直线x=02
2
+=1 而
13
12
-+= ∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 ∴这个被蘸上了墨水的函数值是0 故选D ． 【点睛】
此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键． 6．D 【分析】
变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '，利用平行证出△ABO ∽△CDO ，△ABO '∽C D O '''△列出比例式即可证出
BO BO DO D O '
=''
，从而证出OO '∥DD '，然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论． 【详解】
解：如下图所示，变化后的梯形为ABC D ''，对角线的交点为O '，连接OO '
由题意易知：CD=C D '' ∵AB ∥CD ，AB ∥C D ''
∴△ABO ∽△CDO ，△ABO '∽C D O '''△ ∴
AB BO CD DO =，
AB BO C D D O '
=''''
∴
BO BO DO D O
'
='' ∴OO '∥DD '
根据平行线之间的距离处处相等，可得点O 和点O '到DA 的距离相等，点O 和点O '到AB 、BC 、CD 的距离不一定相等 ∴不变量是点O 到边DA 的距离 故选D ． 【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之间的距离，找出相似三角形并证出OO '∥DD '是解题关键． 7．16 【分析】 设
234
a b c
===k ，根据三角形的周长列出方程即可求出k 的值，从而求出结论． 【详解】 解：设
234
a b c ===k ∴a =2k ，b =3k ，c =4k 由题意可知：a ＋b ＋c=36 ∴2k ＋3k ＋4k=36
解得：k=4
∴该三角形的最大边长为4×4=16
故答案为：16．
【点睛】
此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键．
8．2
【解析】
较长的线段MP 的长为xcm ，则较短的线段长是(4−x)cm.
则x 2=4(4−x)，
解得x=2或−2 (舍去).
故答案为2.
9【分析】
根据题意，画出图形，如解图所示，连接CO 并延长交AB 于点D ，利用勾股定理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD ，再利用三角形重心的性质即可求出结论．
【详解】
解：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=3，点O 为三角形的重心，连接CO 并延长交AB 于点D ，
∴，CD 为△ABC 的中线
∴CD=
12AB =2 ∵O 为△ABC 的重心
∴该三角形的重心到其直角顶点的距离CO=
23
【点睛】 此题考查的是直角三角形的性质和重心的定义及性质，掌握勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和重心的定义及性质是解题关键．
10．3
【分析】
设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：1tan cot 33tan cot 1
αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩，解方程即可． 【详解】
解：设这个锐角为α， ∴1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩①②
由①，得10cot tan 3
αα=-③ 将③代入②，得
tan tan 0131αα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭
解得：1tan 3α=
或tan 3α= 当1tan 3
α=时， ∴cot α=3＞tan α
∵α的正切值比余切值大
∴此时不符合题意，舍去；
当tan 3α=时，
cot α=13
＜tan α ∴此时符合题意．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．
11．【分析】
先根据AB ＝5，∠B ＝60°，求出△ABC 中BC 边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】
解：∵AB ＝5，∠B ＝60°，
∴△ABC 中，BC 边上的高＝sin60°×AB ＝
2×5 ∵BC ＝8，
∴S △ABC ＝12×＝；
故答案为：
【点睛】
此题考查了解直角三角形，关键是利用解直角三角形求出BC 边上的高，用到的知识点是解直角三角形、三角形的面积公式，难度不大．
12．（
【分析】
根据题意，画出图形，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，根据正切值可知2PA OA
=，设OA=x ，则PA=2x ，利用勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出OA 和PA ，即可求出结论．
【详解】
解：如下图所示，过点P 作PA ⊥x 轴于A
由题意可知：tan ∠POA=2 ∴2PA OA
= 设OA=x ，则PA=2x
∵OA 2＋PA 2=OP 2
∴x 2＋（2x ）2=52
解得：x=
∴PA=∵点P 在第二象限
∴点P 的坐标为（
故答案为：（．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．
13．126°或54°
【分析】
根据仰角或俯角是36°分类讨论，画出图形即可分别求出结论．
【详解】
解：当仰角是36°时，如下图所示
由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为36°＋90°=126°；
当俯角是36°时，如下图所示
由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为90°－36°=54°；
综上：该视线与铅垂线之间的夹角为126°或54°
故答案为：126°或54°．
【点睛】
此题考查的是仰角和俯角的定义，根据仰角或俯角是36°分类讨论是解题关键．
14．x=5
【分析】
根据抛物线的对称性可知：点()3,4和
()7,4关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论． 【详解】
解：∵二次函数图像经过点()3,4和()7,4，
∴该二次函数图像的对称轴是直线x=
3+72=5 故答案为：x=5．
【点睛】
此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．
15．220y x x ππ=+
【分析】
根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求出结论．
【详解】
解：由题意可得：y=()2
21010x ππ+-=220x x ππ+
故答案为：220y x x ππ=+．
【点睛】
此题考查的是求函数关系式，掌握环形面积=大圆面积－小圆面积是解题关键．
16．8
【分析】
根据平行线的性质可得∠AED=∠C ，∠A=∠CEF ，从而证出△ADE ∽△EFC ，然后根据相似三角形的性质即可求出AE EC ，从而求出AE AC
，然后利用平行证出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出ADE ABC S S ，即可求出ABC S ，最后根据S 四边形BFED =ABC S －ADE S －
CEF S △即可证出结论．
【详解】
解：∵//DE BC ，//EF AB
∴∠AED=∠C ，∠A=∠CEF
∴△ADE ∽△EFC
∵ADE 的面积为2，CEF △的面积为8，
∴12
AE EC ==== ∴3
1AE AC = ∵//DE BC
∴△ADE ∽△ABC
∴219
ADE ABC S AE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∴2
19ABC
S =△ ∴18ABC S =
∴S 四边形BFED =ABC S
－ADE S －CEF S △=8
故答案为：8．
【点睛】 此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
17．（-1，1）
【分析】
根据抛物线顶点坐标公式即可列出方程组，从而求出b 和c 的值，即可求出结论．
【详解】 解：根据题意可得：()2321412341
b b
c b c +⎧-=⎪⨯⎪⎨⨯⨯-+⎪=⎪⎩⨯①② 解①，得b=-1
将b=-1代入②，解得：c=1
∴该抛物线的顶点坐标是（-1,1）
故答案为：（-1，1）．
【点睛】
此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点坐标公式是解题关键．
18．1或0.5或2
【分析】
根据题意，画出图形，然后分直线l ∥AD 和直线l ∥AB 两种情况，然后根据相似图形的性质列出比例式即可分别求出结论．
【详解】
解：如图所示，矩形ABCD 中，AB ：AD=1：2.5，
∴AD=BC
若直线l ∥AD ，交AB 、CD 于E 、F
根据题意和图形可知：矩形AEFD ∽矩形BEFC
此时这两个小矩形的相似比为AD ：BC=1；
根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况； 若直线l ∥AB ，交AD 、BC 于E 、F
此时存在两种情况：①若矩形ABFE ∽矩形DCFE ，如下图所示
此时这两个小矩形的相似比为AB ：DC=1；
②若矩形BAEF ∽矩形EDCF ，如下图所示
∴AB AE DE CD
= 设AB=CD=a ，AE=x ，则AD=2.5a ，DE=2.5a x - ∴2.5a x a x a
=- 解得：x=0.5a 或x=2a
当x=0.5a 时，这两个小矩形的相似比为AE ：CD=0.5a ：a =0.5；
当x=2a 时，这两个小矩形的相似比为AE ：CD=2a ：a =2；
综上：这两个小矩形的相似比为1或0.5或2．
故答案为：1或0.5或2．
【点睛】
此题考查的是求相似图形的相似比，掌握相似多边形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键．
19．52
【分析】
根据各个特殊角的三角函数值和实数的运算法则计算即可．【详解】
解：
2
25 3
2sin60 tan301
cot301cos4
︒︒-+-
︒-︒
=
2
2
1
2
⎝⎭
-+-
⎛
⎝⎭
=
3
21
4
1
1
3
3
2
⎛
-+-
⎝⎭
=
3
31
2
--
=
5
2
．
【点睛】
此题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．20．246
y x x
=-+，12
x
-≤≤．
【分析】
由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案．
【详解】
解：把二次函数223
y x x
=++的图像向右平移3个单位可得：
()()
2
3233
y x x
=-+-+，
246
y x x
∴=-+，
又()2
22312,
y x x x
=++=++
∴函数图像的顶点坐标为：()
1,2,
-
而()2
24622,y x x x =-+=-+ ∴ 函数图像的顶点坐标为：()2,2,
函数223y x x =++与2
46y x x =-+的图像如图示；
∴ 由图像可得：当12x -≤≤时，函数223y x x =++的函数图像是上升的，而函数246y x x =-+的函数图像是下降的．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键． 21．（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -
【分析】
（1）设网格中小正方形的边长为a ，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；
（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据向量加法的三角形法则计算即可．
【详解】
解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：
设网格中小正方形的边长为a ，
则BC=a ，
=， =
，其中BC ＜AB ＜AC
如下图所示，连接BM 、AM
则=
，=，其中AB ＜BM ＜AM
∴AB
BC a ==2BM AB == ∴AB BC ≠BM AB ∴ABM 和ABC 不相似；
如下图所示，连接AN
则BN=2a ，=，其中AB ＜BN ＜AN
∴AB
BC ==BN AB ==AN AC == ∴AB BC
＝BN AB =AN AC ∴NBA △∽ABC ；
如下图所示，连接BP
则=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP
∴AB BC a
==BP AB ==
∴AB BC ≠BP AB
∴ABP △和ABC 不相似；
如下图所示，连接BQ 、AQ
则=，=，其中AB ＜BQ ＜AQ
∴AB BC a ==2BQ AB == ∴AB BC ≠BQ AB
∴ABQ △和ABC 不相似；
综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；
（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示
∴22AE AB a ==，33ED BC b =-=-
∴AD =AE ＋ED
=2a 3b -．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．
22．（1）屋顶点D 到地面AB 的距离4.7米；（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理
由见解析
【分析】
（1）过点D 作DG ⊥AB 于G ，连接CE 交DG 于H ，根据矩形的判定定理证出四边形ABCE 为矩形，从而求出HG=BC=3.2米，然后根据坡比列出方程即可求出DH ，从而求出结论； （2）过点S 作SQ ∥MN ，过点E 作EK ⊥SQ ，只需比较EK 与EF 的大小关系即可判断，在Rt △SEK 中，解直角三角形即可求出EK ，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过点D 作DG ⊥AB 于G ，连接CE 交DG 于H
∵ 3.2AE BC ==米，AE ∥BC
∴四边形ABCE 为平行四边形
∵CB ⊥AB
∴∠ABC=90°
∴四边形ABCE 为矩形
∴CE ∥AB ，且CE=AB=6
∵DH ⊥EC
∴HG=BC=3.2米
∵斜坡CD 、DE 的坡比均为1∶2
∴DH ：CH=1∶2，DH ：EH=1∶2
设DH=x ，则CH=2x ，EH=2x
∵CH ＋EH=CE
∴2x ＋2x=6
解得：x=1.5
即DH=1.5米
∴屋顶点D 到地面AB 的距离DG=DH ＋HG=4.7米
答：屋顶点D 到地面AB 的距离4.7米．
（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由如下：
过点S 作SQ ∥MN ，过点E 作EK ⊥SQ ，只需比较EK 与EF 的大小关系即可判断
∵阳光与地面的夹角53MNP β︒∠==，
∴SQ 与水平线的夹角也为53︒
∴∠ESK=90°－53°
=37° ∴∠SEK=90°－∠ESK=53°
∵AE=3.2米，AS=1.1米
∴SE=AE －AS=2.1米
∴EK=SE·cos ∠SEK≈2.1×0.6=1.26米＜1.4米
即EK ＜EF
∴公司设计的遮阳棚能达到小明的要求．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用和矩形的判定及性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形、坡比的定义是解题关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意，写出已知、求证并画出图形，如解图所示，根据平行证出△AOB ∽△COD ，列出比例式并根据比例的性质可证AO BO AC BD
=，再利用平行证出△AEO ∽△ADC ，△BFO ∽△BCD ，分别列出比例式即可证出结论；
（2）连接DA 、CB 并延长交于点P ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 并延长，分别交AB 、CD 于M 、N ，利用①、②的结论即可证明PN 平分线段AB 、CD ．
【详解】
解：（1）已知：四边形ABCD为梯形，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF∥CD，分别交AD、BC于E、F，
求证：OE=OF
证明：∵AB∥CD
∴△AOB∽△COD
∴AO BO CO DO
=
∴AO BO AC BD
=
∵EF∥CD
∴△AEO∽△ADC，△BFO∽△BCD
∴OE AO
CD AC
=，
OF BO
CD BD
=
∴OE OF CD CD
=
∴OE=OF；
（2）连接DA、CB并延长交于点P，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长，分别交AB、CD于M、N，如下图所示，PN即为所求，证明如下
由①知：AM CN
BM DN
=，由②知：
AM DN
BM CN
=
∴DN CN
= ∴22CN DN =
∴CN=DN ∴1AM DN BM DN
== ∴AM=BM
∴PN 平分线段AB 、CD ．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握利用平行证相似和相似三角形的性质是解题关键．
24．（1）122y x =+；（2）①28b a =，0＜1b ＜1；②能，(()
2724y x x =++- 【分析】
（1）根据直线解析式分别求出点A 和点B 的坐标，然后根据中点求出点C 的坐标，然后设直线AC 的解析式为y=kx ＋d ，利用待定系数法即可求出结论；
（2）①将点C 的坐标代入即可求出c 的值，然后根据题意可知：该抛物线与x 轴只有一个交点，从而求出b 和a 的关系，然后根据其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）即可求出1b
的取值范围； ②根据题意，画图，设点D 的坐标为（x ，x ＋4），利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式即可求出DC 、DB 和DA ，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出点D 的坐标，然后将点D 的坐标代入抛物线解析式中即可求出结论．
【详解】
解：（1）将y=0代入4y x =+中，解得：x=-4；将x=0代入4y x =+中，解得：y=4 ∴点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，4）
∵点C 是线段OB 的中点
∴点C 的坐标为（0，2）
设直线AC 的解析式为y=kx ＋d
将点A 和点C 的坐标分别代入，得
2d ⎨=⎩
解得：122
k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的解析式为122
y x =+； （2）①将点C 的坐标代入2y ax bx c =++中，得
2c =
∴抛物线解析式为22y ax bx =++
由题意可知：该抛物线与x 轴只有一个交点，
∴280b a -∆== ∴2
8
b a = ∴抛物线的解析式为22
82y x x b b =++，其对称轴为直线2428
x b b b =-=-⨯ ∵其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）
∴-4＜4b
-＜0 解得：0＜
1b ＜1； ②能，
如下图所示，连接DC
设点D的坐标为（x，x＋4），易知x＞0
∴=
=
)4
x
=+
由∠BDC=∠CDA，∠DBC和∠DCA为钝角，结合已知可得△BDC∽△CDA ∴
DC DB
DA DC
=
=
整理，得2
244
x x
++=()
24
x x+
解得：x=1，
经检验x=1是方程的解，
∴点D的坐标为（1,5）
将点D的坐标代入2
2
8
2
y x x
b
b
=++中，得
2
8
52
b
b
=++
解得：b1=4
--，b2=4
当b=4
--时，则
1
b
＜0，显然不符合0＜
1
b
＜1，故舍去；
当b=4时，则
1b ===满足0＜1b ＜1；
∴抛物线的解析式为(()2724y x x =++-．
【点睛】
此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解题关键．
25．（1）
45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】
（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；
（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可；
（3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．
【详解】
解：（1）连接AC
∵4AB AD ==，3CB CD == ∴AC 垂直平分BD
∴∠ACB=∠ACD=12
∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3
∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=
45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，
∵CB=CD
∠CBG=∠CBN=90°
∴△BCG ≌△DCN
∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN
∴∠MCN=12
∠BCD
∴∠MCB+∠NCD=
12
∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ，
∠G=∠CND,
∴△GMC ≌△NMC
∴∠G=∠MNC=∠DNC
当DN=NC 时
∠DNC=∠DCN=45°
∴∠DNC=∠CNM=45°
（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°
∠ADO+∠CDO=90°
∴∠ADO=∠COD=
12 ∠BCD=∠MCN ∴∠NDP=∠NCP
∴D 、C 、N 、P 四点共圆，
∴∠NPC+∠NDC=180°
∵∠NDC=90°
∴∠NPC=90°
∴∠CPD=∠CND=∠MNC
∴△CPQ ∽△CNM ∴PQ CP MN CN
= 在Rt △CPN 中，
CP CN =cos ∠MCN=cos ∠ACB=35 ∴不会发生变化
35
PQ MN =
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．
答案第25页，总25页。