直线投影两直线相对位置平行相交交叉
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第二章 点、直线、平面的投影
➢直线的投影 ➢直角三角形法求线段实长及倾角 ➢直线上的点 ➢两直线的相对位置关系
2020/5/14
1
直线的投影
直线的两投点影决仍定为一直线条，直特线殊。情况下为一点。a’ Z a”
分别将两点的同名（同面）投影 b’
用直线连接，就得到直线的投影。 X
O
a
b”
YW
a
b
b
直线对投影面的Y倾H 角：
7
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a
a
Z a
A b
a
b
b
X
O
YW
铅垂线的投影特性： b
B
1、水平投影a(积b)聚为一点（ab积聚a成(b一) 点）YH；
2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于
OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b OYW ）
2020/5/14
①
c
b
a’
X
c
bO
a
点C在直 线AB上
② a’ c● X ac
●
b’ O
b
点C不在直 线AB上
2020/5/14
20
例7：判断点K是否在线段AB上。
a
k● b X a k●
b
Z a
方法一：作出第三投影
● k O
b
YW
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
方法二：应用定比定理
YH
因 ak/kb不等于a’k’/k’b’，
a
侧
b
平X 线
a
b
a 铅 O 垂 b 线X
Z a
b
O
YW
YH
c
d
侧 垂 线X
水
平 O线
c
Z d c d
c
d
X
O
YW
YH
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
a’
X a
解题思路：
b’
熟悉水平线的投
影特性，明确正面投 O 影平行于投影轴。
b
2020/5/14
投影面平行线—— 水平线（平行于Ｈ面且…） 正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2020/5/14
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z
b
实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
正平线的投影特性：
1、正面a 投影反b 映直线段的实a长。该投b影与OX轴、OZ轴
的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。YH （a b=AB， 反映、角的真实大小）；
b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
b Z
投影特性：
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
a
a
实长及与三个投影面的倾角。
X
O
YW
思考：从属于投影面及投影轴的
a
直线的投影特性是什么？其投影
b YH
如何作图？
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
AB
ab 2020/5/14
|zA-zB|
AB |zA-zB|
ab
|zA-zB |
|zA-zB|
AB
求直线AB的实长及其对
水平投影面的倾角 角。
14
求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
AB
b
|yA-yB|
|yA-yB| X
a
O
ab
b
AB
a
|yA-yB|
2020/5/14
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
c
B
C A
ac
b H
➢定比性：若点在直线上，则点的投影分割线 段的同面投影之比与空间点分割线段之比相 等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投 影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
例6：判断点C是否在线段AB上。
2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且
小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
2020/5/14
5
投影面平行线的投投影影特面性平： 行线
1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
该倾角投；影与V投a'影A 轴的b' 夹a角" ，反映该直线V与其a' 它A 两投a影" 面的
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
对侧立投影面的倾角——
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
垂直于某一投影面
投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线
水平线 正平线 侧平线
铅垂线 正垂线 侧垂线
与三个投影面都倾斜 一般位置直线
各种位置直线的投影特性
b’
1.根据直角三角形的组成，利
用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换 b 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点 V
直线上点的投影特性—— a
➢从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
12
例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与 H面的倾角=30°。
Z b’
a’ 30° X
O
a
b
YH
解题思路：熟悉正平 b” 线的投影特性，并从
反映实长和的投影 a” 入手。
YW 作图要点:１．做正 平线的正面投影；
２．过点a做正平线 的水平投影和侧面投 影。
2020/5/14
13
直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
b B b
a
Ab
a
a
|xA-xB|
2020/5/14
16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
例5： 已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。
实长
X a’ a
2020/5/14
AB
B0
解题思路及步骤——
故点K不在AB上。
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21
例8 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c 。
c
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O
c
22
直线上的特殊点——迹点
迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、
水平迹点、侧面迹点）。
n’ a’
b"
b'
2且水平线、小在于其a实 它长两a。b投 z影面a上bB 的投影b ，侧平线平行于a 相应aZ的投Bb 影轴b"，
b
b
X
O
a
b YH
2020/5/14
YW X
O
YW
a
b YH
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu种位置直线的投影特性
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）
2020/5/14
8
垂直线的投影投特影性面：垂直线
1、在V其所垂直的投影面上的投V 影，积聚为一点； 2直、于在相其应它a'b的'B两投个A影投轴b影"。面a" 上的投影，a'反A映实b' B长b，"a" 且垂
正
b
垂
a
线 a'b'
Z
b"
a"
侧
a
b
垂
线
a'
Z b'
b"a"
X
O
YW
b
X
YW
O
a YH
2020/5/14
a
➢直线的投影 ➢直角三角形法求线段实长及倾角 ➢直线上的点 ➢两直线的相对位置关系
2020/5/14
1
直线的投影
直线的两投点影决仍定为一直线条，直特线殊。情况下为一点。a’ Z a”
分别将两点的同名（同面）投影 b’
用直线连接，就得到直线的投影。 X
O
a
b”
YW
a
b
b
直线对投影面的Y倾H 角：
7
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a
a
Z a
A b
a
b
b
X
O
YW
铅垂线的投影特性： b
B
1、水平投影a(积b)聚为一点（ab积聚a成(b一) 点）YH；
2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于
OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b OYW ）
2020/5/14
①
c
b
a’
X
c
bO
a
点C在直 线AB上
② a’ c● X ac
●
b’ O
b
点C不在直 线AB上
2020/5/14
20
例7：判断点K是否在线段AB上。
a
k● b X a k●
b
Z a
方法一：作出第三投影
● k O
b
YW
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
方法二：应用定比定理
YH
因 ak/kb不等于a’k’/k’b’，
a
侧
b
平X 线
a
b
a 铅 O 垂 b 线X
Z a
b
O
YW
YH
c
d
侧 垂 线X
水
平 O线
c
Z d c d
c
d
X
O
YW
YH
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
a’
X a
解题思路：
b’
熟悉水平线的投
影特性，明确正面投 O 影平行于投影轴。
b
2020/5/14
投影面平行线—— 水平线（平行于Ｈ面且…） 正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
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正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z
b
实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
正平线的投影特性：
1、正面a 投影反b 映直线段的实a长。该投b影与OX轴、OZ轴
的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。YH （a b=AB， 反映、角的真实大小）；
b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
b Z
投影特性：
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
a
a
实长及与三个投影面的倾角。
X
O
YW
思考：从属于投影面及投影轴的
a
直线的投影特性是什么？其投影
b YH
如何作图？
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
AB
ab 2020/5/14
|zA-zB|
AB |zA-zB|
ab
|zA-zB |
|zA-zB|
AB
求直线AB的实长及其对
水平投影面的倾角 角。
14
求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
AB
b
|yA-yB|
|yA-yB| X
a
O
ab
b
AB
a
|yA-yB|
2020/5/14
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
c
B
C A
ac
b H
➢定比性：若点在直线上，则点的投影分割线 段的同面投影之比与空间点分割线段之比相 等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投 影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
例6：判断点C是否在线段AB上。
2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且
小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
2020/5/14
5
投影面平行线的投投影影特面性平： 行线
1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
该倾角投；影与V投a'影A 轴的b' 夹a角" ，反映该直线V与其a' 它A 两投a影" 面的
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
对侧立投影面的倾角——
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
垂直于某一投影面
投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线
水平线 正平线 侧平线
铅垂线 正垂线 侧垂线
与三个投影面都倾斜 一般位置直线
各种位置直线的投影特性
b’
1.根据直角三角形的组成，利
用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换 b 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点 V
直线上点的投影特性—— a
➢从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
12
例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与 H面的倾角=30°。
Z b’
a’ 30° X
O
a
b
YH
解题思路：熟悉正平 b” 线的投影特性，并从
反映实长和的投影 a” 入手。
YW 作图要点:１．做正 平线的正面投影；
２．过点a做正平线 的水平投影和侧面投 影。
2020/5/14
13
直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
b B b
a
Ab
a
a
|xA-xB|
2020/5/14
16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
例5： 已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。
实长
X a’ a
2020/5/14
AB
B0
解题思路及步骤——
故点K不在AB上。
2020/5/14
21
例8 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c 。
c
2020/5/14
O
c
22
直线上的特殊点——迹点
迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、
水平迹点、侧面迹点）。
n’ a’
b"
b'
2且水平线、小在于其a实 它长两a。b投 z影面a上bB 的投影b ，侧平线平行于a 相应aZ的投Bb 影轴b"，
b
b
X
O
a
b YH
2020/5/14
YW X
O
YW
a
b YH
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu种位置直线的投影特性
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）
2020/5/14
8
垂直线的投影投特影性面：垂直线
1、在V其所垂直的投影面上的投V 影，积聚为一点； 2直、于在相其应它a'b的'B两投个A影投轴b影"。面a" 上的投影，a'反A映实b' B长b，"a" 且垂
正
b
垂
a
线 a'b'
Z
b"
a"
侧
a
b
垂
线
a'
Z b'
b"a"
X
O
YW
b
X
YW
O
a YH
2020/5/14
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