长安区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试

长安区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（ ）
A ．12
B ．20
C ．
D ．
3． PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲乙相等
D ．无法确定
4． 设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=x ，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
5． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
6． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
7． 将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．﹣
D ．
8． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．1:
D (1 9． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
10．数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣1
D ．1
11．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的
解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
14．函数的单调递增区间是．
15．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为．
16．设函数则______；若，，则的大小
关系是______．
17．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是．
18．已知数列{a n}中，2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，a1=2，则b5=．
三、解答题
19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b 至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
20．已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和极值．
21．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=，其中n∈N*
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
22．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．
23．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．
（1）求证：AC ⊥BC 1； （ 2）求证：AC 1∥平面CDB 1．
24．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D 中． （1）求11AC 与1B C 所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求
AC与EF所成角的大小．
11
长安区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
3．【答案】A
【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，
而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中，
∴甲地的方差较小．
故选：A．
【点评】本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．4．【答案】C
【解析】解：由已知条件知：；
∴；
∴；
∴．
故选C．
【点评】考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程的表示，以及c2=a2+b2及离心率的概念与求法．
5．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
6．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵2tan=2，lg=﹣1，
∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．
故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos（2x+φ﹣
）的图象，
∴φ﹣=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，则φ的一个可能值为，
故选：D．
8．【答案】D
【解析】
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
9．【答案】C
【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
10．【答案】D
【解析】解：∵a1=3，a n﹣a n•a n+1=1，
∴，得，，a4=3，
…
∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1，
∵2016=3×672，
∴A2016 =（﹣1）672=1．
故选：D．
11．【答案】A
【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，
解得ω=2，
再把点（，1）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=1，
结合，可得φ=，
故有，
故选：A．
12．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
14．【答案】[2，3）．
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，
本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），
故答案为：[2，3）．
15．【答案】cm2．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，
则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=，O
C1==，
1
∴CC1==．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=．
=
=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
，因为，所以
又若，结合图像知：
所以：。

故答案为：，
17．【答案】4．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
18．【答案】﹣1054．
【解析】解：∵2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，
∴2a n+a n+1=3，2a n a n+1=b n，
∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．
则b5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=．
20．【答案】
【解析】解：（1）求导f′（x）=+2x+b，由题意得：
f′（1）=4，f（1）=﹣8，
则，解得，
所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1；
（2）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15，
f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
x f x f x
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
x g′x g x
所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．
22．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n+1，
∴a n+1+1=2（a n+1），
又∵a1=1，
∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n+1=2n，
∴a n=﹣1+2n；6分
（2）由（1）可知b n=n（a n+1）=n•2n=n•2n﹣1，
∴T n=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2T n=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
错位相减得：﹣T n=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n
=﹣1﹣（n﹣1）•2n，
于是T n=1+（n﹣1）•2n．
则所求和为12n
n - 6分
23．【答案】
【解析】解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴CC 1⊥AC …
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB 2=AC 2+BC 2
，∴AC ⊥CB …
又C 1C ∩CB=C ，
∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ，
∴AC ⊥BC 1…
（2）设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形，
∴E 为C 1B 的中点…
又D 为AB 中点，∴AC 1∥DE … DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，
∴AC 1∥平面CDB 1…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．
24．【答案】（1）60︒；（2）90︒． 【解析】
试
题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A BC D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形，
所以11//AC AC ，从而1B C 与AC 所成的角就是11AC 与1B C 所成的角．
由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒，
即11AC 与
BC 所成的角为60︒．
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．。