2020年广西高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年广西高考模拟考试 文科数学试题与答案
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{
},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是
A. A C φ⋂=
B. A C C ⋃=
C. B C B ⋂=
D. A B C =
2. 若复数2
(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则
1
z
= A. i B. i - C. 2i
D. 2i -
3. 若1
sin()43
x π
-=，则sin 2x = A.
79
B. 79
-
C.
13
D. 13
-
4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.
1
36
B.
112
C.
19
D.
49
5. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66
B. 132
C. -66
D. -132
6. 设函数2
()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0
f x ≤的概率为
A.
12
B.
13
C.
23
D.
14
7. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m
8. 已知双曲线)0(13
2
22>=-a y a x 的离心率为2，则 =a
A. 2
B.
2
6
C. 25
D. 1
9. 函数ln ()x
f x x
=
的图象大致为 A. B.
C. D.
10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+
<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.
43
π
B.
23
π C.
3
π D.
6
π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱
锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.
81500π B. 9
100π C. 925π
D. π4
12. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两
点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A B ．22 D -
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在ABC ∆中，===
C B A cos ,13
5
cos ,53cos 则 . 14. 已知函数===++-=)2019(,2)1(3)1()1()(f f x f x f x f y 则且，若 .
15. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，为C
的实轴长的2倍，则双曲线C 的离心率为 . 16. 给出下列四个命题：
①如果平面α外一条直线a 与平面α内一条直线b 平行，那么a α； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的序号为______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
已知△
中，
，
，
. 求：
（1）角的大小；
（2）△ABC 中最小边边长. 18.（12分）
如图所示，四棱锥
中，底面
为
的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19.（12分）
郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：
（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数； （2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的
概率；
（3）如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1） 20.（12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点组成的四边形的面积为22，
且经过点⎛ ⎝⎭
.
（1）求椭圆C 的方程； （2）若椭圆C
下顶点
为P ，如图所示，点M 为直
线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM
，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 21．（12分） 已知函数.
（1）当时，
恒成立，求的值；
（2）若
恒成立，求
的最小值.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨=+⎩
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=． （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点()0,1P ，点)
Q ，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中
点为M ，求PM 的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 23.已知函数
（1）求函数的值域；
（2）若，使
成立，求的取值范围.
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.D
6.C
7.A
8.D
9.A 10.B 11.B 12.D 二、填空题
13.
65
33
16.①②④ 三、解答题 17.解：(1)
= –= – ，所以，
(2)因为，所以最小角为 又因为
，所以，
，又
，
所以 ．
18.（1）证明：∵
，
．
在中，
∴，
∴是直角三角形． 又为的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴． 又平面平面
，
∴
平面
．
∵底面，
∴底面，
∴为三棱锥的高．
∵，
∴．
又
∴，
∴．
19.解：（1）由甲教师分数的频率分布直方图，得
对甲教师的评分低于70分的概率为
所以，对甲教师的评分低于70分的人数为；
（2）对乙教师的评分在范围内的有3人，设为
对乙教师的评分在范围内的有3人，设为
从这6人中随机选出2人的选法为：
，，，，，，，，，，，
，，，，共15种
其中，恰有2人评分在范围内的选法为：，，共3种
故2人评分均在范围内的概率为。

（3）由甲教师分数的频率分布直方图，
因为
设甲教师评分的中位数为，则，解得：
由乙教师的频率分布表，
因为
设乙教师评分的中位数为，则：
，解得：
所以乙教师可评为该年度该校优秀教师
20.（1
）因为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上，所以221112a b +=，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为
1
222
a b ab ⨯⨯== 解得2
2
2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2） 由（1）可知()1,0F ，设()()()11222,,,,,M t A x y B x y ，
则当0t ≠时，:2t OM y x =
，所以2AB k t =-， 直线AB 的方程为()2
1y x t
=--，即()2200x ty t +-=≠，
由()2221220
y x t
x y ⎧
=--⎪⎨⎪+-=⎩得()222816820t x x t +-+-=， 则()(
)()()
2
2
2
4
2164882840t
t t
t ∆=--+-=+>，
2
121222
1682,88t x x x x t t
-+==++，
)222
488t AB t
t
+==++，
又OM
，所以
)
22122
441288t t S OM AB t t
++=⨯==++ 由()212y x t
t y x
⎧
=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，得244N X t =+，所以2221421244S t t =⨯⨯=++，
所以
2122
24
284t S S t t +=
==<
++，
当0t =，直线:1l x =，AB =
，1122S ==2111122S =⨯⨯=，12S S =
，
所以当0t =时，()12max
S S =
. 21.解：（1）由，得
，则
.
∴. 若，则，
在上递增. 又，∴.当时，不符合题意. ② 若，则当时，
，递增；当
时，
，
递减.
∴当时，
.
欲使恒成立，则需
记，则.
∴当时，，递减；当时，，递增.
∴当
时，
综上所述，满足题意的.
（2）由（1）知，欲使恒成立，则.
而
恒成立
恒成立函数
的图象不在函数图象的上方，
又需使得的值最小，则需使直线
与曲线
的图象相切.
设切点为，则切线方程为，即
..
∴ . 令，则. ∴当时，
，
递减；当
时，
，
递增.
∴.
故
的最小值为0.
22.解（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，
由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-=，
所以曲线C 的直角坐标方程为2y =．
11 （2）易得点P 在l
上，所以tan PQ k α==
=5π6
α=， 所以l
的参数方程为112x y t ⎧⎪⎪⎨==+⎪⎪⎩，
代入2y =中，得21640t t ++=， 设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t ， 则12082
t t t +==-，所以08PM t ==． 23.解：（1）依题意可得： 当时， 所以的值域为
（2）因为，所以，化为 得使得
成立 令，，得 所以，当时，
， 所以
.。