高考数学 热点专题专练 102 转化与化归思想课件 理

1．点集到有序实数对集合上的映射，可将平面几何问题 转化为解析几何问题，即解析法．
2．直角坐标平面与复数集合之间的映射Φ：(x，y)↔x＋ yi，将直角坐标平面变成复平面，实现几何问题与复数问题的 互化，即复数法．
3．通过变量替换、增量代换、等价代换等方法，将问题 化归成为变量个数少、次数低、结构简单的问题．
∴当sin(θ＋φ)＝1时，d＝|PA|2＋|PB|2＋|AB|2取得最大值 78，这时θ＋φ＝2π＋2kπ(k∈Z)．
∴x＝3＋cosθ＝3＋cos
2π＋2kπ－φ
＝3＋sinφ＝
18 5
，y＝4＋
sinθ＝4＋sin
π2＋2kπ－φ
＝4＋cosφ＝
24 5
，即P点的坐标为
7．当问题的目标较复杂时，通过降维、降幂、减少变量 个数等手段，将目标简化，有利于问题的解决.
高频考点
类型一 解析法转化 【例1】 在三角形ABC中，已知AB＝AC ＝5，BC＝6.点 M是AC的中点，试问在线段BM上是否存在点P使得PC⊥BM?
[解] 假设在线段BM上存在点P使得PC⊥BM，以B为原 点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.由 于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B0，0，A3，4，C6，0，M.
(2)解决此类问题常见的思路有两种：一是由数量积公式求 解；二是转化为坐标运算．
类型二 目标简单化转化 【例2】 (2011·南昌模拟)若函数f(x)＝sin2ax－ sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依 次成公差为π2的等差数列． (1)求a和m的值； (2)若点A(x0，y0)是函数y＝f(x)的图象的对称中心，且x0∈ 0，π2，求点A的坐标．
类型四 语义转化 【例4】 已知实数a，b，m，n满足3a－4b＋1＝0，(m＋ 2)2＋(n＋5)2＝1，求证：(a－m)2＋(b－n)2≥4.
[证明] 因为实数a，b，m，n满足3a－4b＋1＝0，(m＋2)2
＋(n＋5)2＝1，若设P(a，b)，Q(m，n)，则点P(a，b)在直线3x
－4y＋1＝0上，点Q(m，n)在圆(x＋2)2＋(y＋5)2＝1上，而
【探究3】 已知曲线C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0和两个点 A(－1,0)，B(1,0)．点P为曲线C上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2＋ |AB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
解 曲线C的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝1，这是一个以 (3,4)为圆心，1为半径的圆．
由于点P为曲线C上的动点，故可设P点坐标为(x，y)，则x ＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ，于是d＝|PA|2＋|PB|2＋|AB|2＝ ( 4＋cosθ2＋4＋sinθ2 )2＋( 2＋cosθ2＋4＋sinθ2 )2＋4＝58 ＋16sinθ＋12cosθ＝58＋20sin(θ＋φ)，其中cosφ＝45，sinφ＝35.
类型三 换元转化 【例3】 已知a∈R，求函数y＝(a－sinx)(a－cosx)的最小 值． [分析] y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－a(sinx＋cosx)＋ sinxcosx.而sinx＋cosx与sinxcosx有联系，可设t＝sinx＋cosx，则 原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题． 换元t＝sinx＋cosx → 关于t的二次函数 → 按a分类求出最值
【探究 1】 如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列 向量的数量积中最大的是( )
→→ A.P1P2·P1P3
→→ C.P1P2·P1P5
→→ B.P1P2·P1P4
→→ D.P1P2·P1P6
分析 建立适当的坐标系，用坐标分别表示各选项中向量
的数量积，化简求值即可．
建立直角 坐标系
＝
(0,2 3)，P→1P6＝(－1, 3)．
∴P→1P2·P→1P3＝6，P→1P2·P→1P4＝4，P→1P2·P→1P5＝0， P→1P2·P→1P6＝－2. ∴P→1P2·P→1P3＝6最大，故选A.
答案 A
点评 (1)本题采用的解析法是将平面几何问题转化为解析 几何问题的方法．其一般步骤是：①建立坐标系；②设点的坐 标与曲线方程；③运算与推理；④返回几何结论．
要点串讲 高频考点
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考情分析
转化与化归思想的核心是把陌生的问题转化为熟悉的问 题．事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过 程，是求解系统趋近于目标系统的过程，因此每一个数学问题 的解答都离不开转化与化归，它既是一种数学思想又是一种数 学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高 考考查的重点．预测2013年高考对转化与化归思想的考查重点 为：①常量与变量的转化：如分离变量，求范围等；②数与形 的互相转化：如解析几何中的斜率、函数中的单调性等；③数 学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转 化；④出现更多的实际问题向数学模型的转化．
4．在解决一个一般性问题有困难时，先解决它的特殊情 况，然后再将结果推广到一般问题，获得一般问题的解答，即 特殊化策略．
5．为了解决问题A，先解决比A更一般的问题A′，然后再 将其特殊化获得解答，即一般化策略．
6．数学符号表达一定的语义，采用语义转化策略，将问 题适当变形并作不同于其表面的非常规性的语义解释，将问题 化归为另一个问题，比如“数”的语义与“形”的语义间的相 互转化．
求出tanα → 转化为用tanα表示的式子 →
得2式的值
解 (1)由tanα＋ta1nα＝－130，得3tan2α＋10tanα＋3＝0， 即tanα＝－3或tanα＝－13，又34π<α<π， 所以tanα＝－13为所求．
5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－8
(2)
圆心25到直线3x4y10的距离为d62013所以圆上的点到直线的最小距离为d1312即am点评此题若用代数方法直接证明则复杂繁琐如果由条件式的结构联想到直线的方程圆的方程以及两点之间的距离公式就可以巧用数形结合的思想方法解决问题其实质是完成了数与形的语义转化
专题十 思想方法
第二十七讲 转化与化归思想
在高中数学的学习中，化归更是我们研究问题最基本、最 重要的思想方法，它无处不在，比如：解不等式时，将分式不 等式转化为整式不等式，无理不等式转化为有理不等式，超越 不等式转化为代数不等式；处理立体几何问题时，将空间问题 化归到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几 何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等等．新课 程标准强调数学思想方法的教学，高考更是明确指出加强对函 数与方程、数形结合、分类讨论、化归等思想方法的考查．
158，254.
当sin(θ＋φ)＝－1时，d＝|PA|2＋|PB|2＋|AB|2取得最小值
38，这时θ＋φ＝－
π 2
＋2kπ(k∈Z)，∴x＝3＋cosθ＝3＋
cos
－2π＋2kπ－φ
＝3－sinφ＝
12 5
，y＝4＋sinθ＝4＋
sin－π2＋2kπ－φ＝4－cosφ＝156，即P点的坐标为152，156.
原问题转化为求二次函数f(t)＝
1 2
(t－a)2＋
1 2
a2－
1 2
在t∈[－
2， 2]上的最值问题．
(1)当－ 2≤a≤ 2，t＝a时，
f(t)min＝12a2－12；
(2)当a> 2时，f(t)在[－ 2， 2]上单调递减，
f(t)min＝f( 2)＝a2－ 2a＋12；
(3)当a<－ 2时，f(x)在[－ 2， 2]上单调递增，
【探究2】 已知34π<α<π，tanα＋ta1nα＝－130.
(1)求tanα的值；
(2)求5sin2α2＋8sin2α2sicnosαα2－＋π211cos2α2－8的值．
分析
(1)将已知的tanα与
1 tanα
表示的等式转化为用tanα表
示的式子；(2)中转化为用tanα表示的式子．
[解] 设t＝sinx＋cosx， 则t＝ 2sinx＋4π，t∈[－ 2， 2]， 而sinxcosx＝12[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1) ＝12t2－at＋a2－12 ＝12(t－a)2＋12a2－12.
[解] (1)∵f(x)＝－12(sin2ax＋cos2ax)＋12＝ － 22sin2ax＋4π＋12， ∴f(x)的最大值和最小值分别为1＋2 2和1－2 2， ∴m＝1＋2 2或m＝1－2 2， 又依题意函数f(x)的周期为π2，∴2a＝4，a＝2.
(2)∵f(x)＝－ 22sin4x＋π4＋12，令sin4x0＋π4＝0， 则4x0＋π4＝kπ(k∈Z)，∴x0＝k4π－1π6(k∈Z)，
化归有一定的原则：①目标简单化原则，即复杂的问题向 简单的问题转化；②和谐统一性原则，即化归应朝着使待解决 的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的 方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；③具体化原 则，即化归方向应由抽象到具体；④低层次原则，即将高维空 间问题化归成低维空间问题．基于上述原则，化归就有一定的 策略．我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法可依”， 通常可以从以下几个方面去考虑：
aபைடு நூலகம்m2＋b－n2表示点P和点Q之间的距离．
圆心(－2，－5)到直线3x－4y＋1＝0的距离为d＝
f(t)min＝f(－ 2)＝a2＋ 2a＋12.
[点评] (1)本题通过换元将三角问题转化为熟知的二次函 数问题，使问题得以简化．
(2)有些代数问题可三角化，充分利用三角函数的特殊性 质，从而获得简捷的解法．一般地，下列形式的式子可考虑三 角换元：①若a2＋b2＝1，可设a＝cosα，b＝sinα；②若a2＋ b2≤1，可设a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)；③对于 1－x2 ，有 |x|≤1，|cosθ|≤1或|sinθ|≤1，可设x＝cosθ或x＝ sinθ(0≤θ≤2π)．
→
用坐标表 示向量
→
计算向量 的数量积
→
得答案
解析
如图所示，建立坐标系，设正六边形边长为2，
则P1(－1，－ 3 )，P2(1，－ 3 )，P3(2,0)，P4(1， 3 )，
P5(－1， 3)，P6(－2,0)．
→ P1P2
＝(2,0)，
→ P1P3
＝(3，
3
)，
→ P1P4
＝(2,2
3
)，
→ P1P5
2sinα－π2
＝5·1－2cosα＋4－sinα2＋cos1α1·1＋2cosα－8
＝5－5cosα＋8－sin2α＋2c1o1s＋α 11cosα－16
＝8s－in2α＋2c6ocsoαsα
＝8t－an2α＋26＝－5 6 2.
点评 本题属于三角恒等变形求值问题，将解题目标向 tanα转化，减少了变量个数，降低了次数，半角化为了单角， 即使目标简单化．
∵x0∈[0，
π 2
]，∴0≤
kπ 4
－
π 16
≤
π 2
(k∈Z)，得k＝1或k＝2，
∴x0＝31π6或x0＝71π6，
故点A的坐标为136π，12或176π，12.
[点评] 本题考查三角函数的周期性、对称性、值域等， 解题的关键是将函数解析式通过三角变换化为只含有一个三角 函数的形式，即将目标简单化．一般地，目标简单化指问题结 构的简单化和处理方法的简单化，本题中将复杂的三角函数式 化为一个角的一个三角函数就是如此，这样可求值、求周期、 求单调性、求最值等．
则B
所在直线的方程为y＝
49x.又 PC⊥BM，不妨设 PC 所在直线的斜率为 k，则49·k＝－ 1，即 k＝－94.所以 PC 所在直线的方程为 y＝－94(x－6)．两方程 联立即可求出 P 点的坐标为49876，29176.
因为49876>92，所以在线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
要点串讲
化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在解决数 学问题时，常常将待解决的数学问题 A，通过某种转化手段，归 结为另一问题 B，而问题 B 是相对较容易解决的或已经有固定 解决模式的问题，且通过问题 B 的解决可以得到原问题 A 的解 答．用框图可直观地表示为：
其中问题B称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策 略．化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现 转化，通过矛盾转化解决问题．