广东省珠海市高三数学5月第二次调研考试 理 新人教A版

理科数学
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案）
１．已知全集U R =，集合{||1|1}A x x =-<，则A C U 等于（ C ） A.(-∞，0] B. [2，)+∞ C.(-∞，
0][2，)+∞ D.[0，2]
２．等比数列{}n a 中，11
2
a =
，又14234a a a a +=-，则公比q = Ａ A ．2- B
． C ．2 D ．3
３．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 （ ） A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ４．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条
5． ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、
，若a =3
A π
=
，cos B =
，则b = Ｃ A
B
D 6．已知函数()f x 满足：当x ≥1时，()f x =)1(-x f ；当x ＜1时，()f x =x
2，则)7(log 2f =
A ．16
7 B ．87．2
7
7．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
根据表中数据得到50181589505927232426
k ().⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，参考下表：
P (K 2≥k )
0.050 0.025 0.010 0.001 k
3.841
5.024
6.635
10.828
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A ．97.5% B ．95% C ．90% D ．99.9%
8． 起点到终点的最短距离为（ ）
A ．16
B ．17
C ． 18
D ．19
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．答案请填在答题卡上.
9.（理科）某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人.3700
10．（理科）已知单位向量a ，b ，其夹角为
3
π
，则b a +=__________ 3 11．（理科）已知随机变量2
~(2,)N ξσ，3(1)4
P ξ>-=，(5)P ξ>= .
14
12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_________；512
π
13．甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4小时、8小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ．72
31 14．（坐标系与参数方程选做题）．
如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且
0v 1v 2v 5v v 3v 4
v 起点
8终点422465
7634
=BC PB 12，则PA
BC
= ．
15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4
π
ρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方
程为 。

4sin ρθ=
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们
的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A 点的纵坐标为
10
10
，B 点的纵坐标为
10
2．（1）求tan tan αβ和的值；（2） 求2αβ+的值． 16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。

（1）由条件得
sin α=
sin β=…………………………………………2分
α为锐角，故 cos 0α>
且cos α=
，同理可得cos β= ……………4分 因此1tan 3α=，1
tan 7β=。

…………………………………………6分 （2）
1tan 3α=
，1
tan 7
β= ()11
tan tan 1
37tan 111tan tan 2
137
αβαβαβ+
+∴+===--⋅…………………………………………7分
()[]11tan tan()32tan 2tan ()111
1tan tan()132
ααβαβααβααβ+
++∴+=++==
=-⋅+-⋅ …………8分
P
19题图
02
π
α<<
，x y tan =在)2
,
0(π
上单调递增，
且4
tan
1tan π
α=< ，∴4
0π
α<
<，……………10分
同理40πβ<<，∴4
320π
βα<+< ……………11分
从而
24
π
αβ+=
………………12分
17．（本小题满分12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组
[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．
解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06， 人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3。

…………………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，
人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。

……… 7分 （3）ξ的可能取值为1，2，3；
31)1(2
4
0123231
2
11=⋅⋅==C C C C C C p ξ……… 8分
21
)2(2
4
1311231
112242*********=⋅⨯⋅+⋅⨯⋅==C C C C C C C C C C C C p ξ……… 9分
61
)3(2
4
131123012
2=⋅⨯⋅==C C C C C C p ξ……… 10分
ξ∴的分布列为
P
1 2 3 ξ
1/3
1/2
1/6
∴6
5
1
611)3(3)2(2)1(1===⨯+=⨯+=⨯=ξξξξp p p E
…… 12分
18.（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14CC =，3AB BC ==． （1）若E F 、分别是1BC 、11A C 中点，求证EF//平面
1DCC ；
（2）求二面角11A BC D --的正弦值．
(Ⅰ)证明：连接111D B B C 、，则长方体1111ABCD A B C D -中，
11BC B C E =，1111D B AC F =，
∴E 、F 分别是11B D 和1B C 的中点
∴1EF D C ……………………………………………………………２分 ∴1EF DCC 平面 ………………………………………………4分
(Ⅱ)解：(理)连接AC 设交BD 于O ，连接11A O C O 、 正方形ABCD 中AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD
∴1AA BD ⊥
∴BD ⊥平面11AAC C ……………………………5分
过1A 作11A H C O ⊥于H ，作11A G C B ⊥于G ，连接GH 、BF
∴1A H BD ⊥
∴1A H ⊥平面1BDC ………………………………6分 ∴11BC A H ⊥ ∴1BC ⊥平面1A HG
∴1BC HG ⊥ ……………………………………8分 ∴1
AGH ∠就是二面角11A BC D --…………………………10分 3AB BC ==，14CC =
∴115A B BC ==，1132AC BD == ∴11
11141
AA AC A H OC ⋅=
=，11
1
13415BF AC AG BC ⋅==……………1２分 ∴11140
sin 41
A H A GH A G ∠=
=
∴二面角11A BC D --的正弦值是
40
41
……………………14分
19.（本小题满分14分）已知圆C 方程：（x －1）2 + y 2
=9，垂直于x 轴的直线L 与圆C 相切于N 点（N 在圆心C 的右侧），平面上有一动点P ，若PQ ⊥L ，垂足为Q ，且2
1
||||=PQ PC ； （1）求点P 的轨迹方程；
（2）已知D 为点P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点，A 、B 分别为点P 的轨迹曲线与,x y 轴的正半轴的交点，求四边形OADB 的最大面积及D 点坐标.
解：（1）设P 点坐标为(,)x y ，…………………………………………………………1分
则4PQ x =-，………………………………………………………………2分
22(1)PC x y =-+………………………………………………………………3分
因为
2
1||||=PQ PC ，所以22(1)1
42x y x -+=-， …………………………………4分
化简得22
143x y +=………………………………………………………………5分
所以点P 的轨迹方程是22
143
x y +=……………………………………………6分
（2）依题意得，A 点坐标为(2,0)，B 点坐标为…………………………………7分
设D 点坐标为(2cos ),(0)2π
θθθ<<，…………………………………………8分
则四边形OADB 的面积+OAD OBD OADB S S S ∆∆=四边形,………………………………………9分
11
22cos 22θθ=⨯+………………10分
cos )θθ=+
)4
π
θ=+……………………………………11分
又因为02
π
θ<<，所以
3+
4
4
4
π
π
π
θ<<
…………………………………………………12分
sin()14πθ<+≤)4
π
θ+≤
所以四边形OADB 13分
当四边形OADB 的面积取最大时，=42
ππ
θ+，即=
4
π
θ，
此时D 点坐标为………………………………………………………………14分
20.（本小题满分14分）已知函数()3
213
f x x ax bx =
++()R a,b ∈. （Ⅰ）若曲线()C :y f x =经过点()12P ,，曲线C 在点P 处的切线与直线230x y -+=平行，求a,b 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数()(
)()2
713
g x m f x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
（m 为实常数，1m ≠±）
的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若()f x 在区间()12,内存在两个不同的极值点，求证：02a b <+<.
20. 解：（Ⅰ）()3
213
f x x ax bx =
++⇒()22f x x ax b '=++，………………………1分 直线230x y -+=的斜率为2，∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,
()1122f a b '∴=++=……① ………………………………………2分
曲线()C :y f x =经过点()12P ,，
()1
123
f a b ∴=++=……② ………………………………………3分
由①②得：2,3
7.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()32127333f x x x x =-+，∴()()2
3
2123
m g x x x -=-，()()2413g x m x x ⎛
⎫'∴=-- ⎪⎝
⎭, 由()00g x x '=⇒=，或43x =.……………5分
当210m ->，即1m ,>或1m <-时，x ，()g x '，()g x 变化如下表
由表可知：
()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()223232
0118181
m m ⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦ ……………7分
当210m ,-<即11m -<<时，x ，()g x '，()g x 变化如下表
由表可知：
()()()403g x g x g g ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
极大极小()()2232321018181m m =---=--………………8分
综上可知：当1m ,>或1m <-时，()()g x g x -=极大极小()2
32181
m -； 当11m -<<时，()()g x g x -=极大极小()2
32181
m -
-……………………………………9分 （Ⅲ）因为()f x 在区间()12,内存在两个极值点 ，所以()0f x '=， 即220x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．
∴2(1)120,(1)
(2)440,(2)12,
(3)4()0.
(4)
f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨
<-<⎪⎪∆=->⎩ …………………………………………………………11分
由 （1）+（3）得：0a b +>， ………………………………………………………12分 由（4）得：2a b a a +<+，由（3）得：21a -<<-，
∴2211
()224
a a a +=+-<，∴2a
b +<． …………………………13分
故02a b <+< …………………………………………………………………………14分
21.已知函数()cos f x x =-，()2g x x π=-，数列{}n x 满足：15(,)66x ππαα⎡⎤=∈⎢
⎥⎣⎦
， *12
()()()n n g x f x n N n
+=
∈， (1) 当2
π
α=
时，求23,x x 的值并写出数列{}n x 的通项公式（不要求证明）；
(2) 求证：当0x ≥时，'()x f x x -≤≤； (3) 求证：*1231()2
2
2
2
n x x x x n N π
π
π
π
π+-+-
+-
+
+-
<∈。

(1)解：23,2
2
n x x x π
π
==
=
， ……………………………………2分
(2)证明：设()'()sin F x f x x x x =-=-，则'()cos 10F x x =-≤，
∴()F x 在[0,)+∞上为减函数，即()(0)0F x F ≤=，即'()f x x ≤，………………4分
用心 爱心 专心 11 设()'()sin H x f x x x x =+=+，则'()cos 10H x x =+≥，
∴()H x 在[0,)+∞上为增函数，即()(0)0H x H ≥=，即'()f x x ≥-，………………5分 ∴当0x ≥时，'()x f x x -≤≤。

……………………………………6分
(3)由(1)知：当0x ≥时，|'()|||f x x ≤，
同理可证：当0x <时，|'()|||f x x ≤，即对x R ∀∈，恒有：|'()|||f x x ≤。

…………7分 由*12()()()n n g x f x n N n +=
∈得：11cos 2n n x x n π+-=， ∴1111cos sin()2
22n n n n x x x x n n n πππ+-==-≤- （*n N ∈） ………………8分 ∴11212n n x x n π
π--≤--，121222n n x x n ππ---≤--，……，2122
x x ππ-≤-， 从而12(1)!2n x n ππα-≤--， …………………………………………10分 12311111122221!1!2!3!!2n x x x x n π
π
πππα+⎡⎤-+-+-
++-≤+++++-⎢⎥⎣⎦ …11分 21111112222n πα-⎡
⎤≤+++++
-⎢⎥⎣⎦ 11112(1)32222n n ππαα-⎡
⎤⎡⎤=+--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …………………13分 32πα<-5(,)66πππα⎡⎤<∈⎢⎥⎣⎦
∴*1231()2222n x x x x n N πππππ+-
+-+-++-<∈成立。

…………………14分。