变分原理——精选推荐

变分原理
变分原理
变分原理是⾃然界静⽌（相对稳定状态）事物中的⼀个普遍适应的数学定律，或称最⼩作⽤原理。

例如：实际上光的传播遵循最⼩能量原理：
在静⼒学中的稳定平衡本质上是势能最⼩的原理。

⼀、举⼀个例⼦（泛函）
变分法是⾃然界变分原理的数学规划⽅法（求解约束⽅程系统极值的数学⽅法），是计算泛函驻值的数学理论。

在理论上和实践上均需要放宽解的条件。

因此，引⼊弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。

在讨论⼆阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。

Poisson ⽅程的Neumann 问题
设Ω是单连通域，考察Poisson ⽅程的Neumann 问题
(N)
=??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数
这⾥)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满⾜
01
,=+Γ
Ω
g f d x
其中的对偶积表⽰)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H .
问题（N ）的解，虽然是不唯⼀的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数
ΩΩ∈Ω=,1)
(/)(1
1i n f ?v v
H v R
H ,V v ∈? 可以得到唯⼀解。

实际上，由定理5.8推出R
H v
/)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v
. 定义双线性泛函R V V →?:
V v u v v u u v u v u B ∈∈∈=?,?,?,?),,()?,?（和线性泛函
V v v
v u g fdx v
Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈⽆关。

因此v ?中的元素仅仅相差⼀个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ
-Ω
Ω
+≤v g
v
f v
l
利⽤范数)(2/1ΓH 定义，有
v
v v g
f v l ?,
)()?(,1,2/1,0∈?+≤ΓΓ
-Ω
，从⽽Γ
-Ω
+≤,2/1,0'
g
f
l
V
由范数等价性定理，可得
V V
v
u c v u v u
B ??)?,?(,1,1≤≤ΩΩ 2
2
,1?)?,?(V u u u u
B γ≥=Ω也就是，双线性形式)?,?(v u
B 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。

根据Lax-Milgram 定理，问题（N ）的变分问题：
∈?=∈V
v v v u V u
N ?,?,)?,?B ?)('
存在唯⼀的解V u
∈?，且有 V V l u
γ≤?. 利⽤商范数等价性定理则有，存在常数0>c ，使得 )(,2/1,0,1Γ
-Ω
Ω+≤g
f
c u .
问题）'(N 存在唯⼀解V u
∈?，并且对每个u u ?∈，它连续依赖于问题()N 的定解条件。

且上式成⽴.进⼀步可以证明，如果Γ充分光滑，)(2Ω∈-m H f ，,2),(2/3≥Γ∈-m H g m 那么R H u
m /)(?Ω∈，且 (
)Γ
-Ω
-Ω+≤,2/3,2,m m m g
f c u ， u u ?∈?。

⼆、基本运算法则
⾃变函数的变分)(x y δ是x 的函数，于是可以⽤x 求导数
[]??
=-=-=dx x dy x y x y dx x dy dx x dy x y dx d i i )()()()()()(''δδ即[]??
=dx x dy x y dx d )()(δδ因此，变分δ和导数dx
d
的运算可换，变分的导数等于导数的变分。

同理有：
[])()(''''x y x y δ
δ= [])()(x y x y n n δ
δ=
其它的运算规则如下：
()2121)1(∏+∏=∏+∏δδδ ()211221)2(∏∏+∏∏=∏∏δδδ
()()()22211221//3∏∏∏-∏∏=∏∏δδδ
()
∏∏=∏-δδ14n n n
()()n n y y δδ=)(5 ()
1
21
6x x x x dx
dx δδ
三、变分原理（线性和⾃然变分原理）
1.线性、⾃伴随微分算⼦
如果微分⽅程具有线性、⾃伴随的性质，则
不仅可以建⽴它的等效积分形式，并可以利⽤加权余量法求其近似解；还可建⽴与之相等的变分原理，基于它的另⼀种近似求解⽅法---Ritz 法。

线性、⾃伴随微分⽅程的定义：微分⽅程()0=+b u L Ωin
L 为微分算⼦
若L 具有性质：()()()2121u L u L u u L βαβα+=+ 则称L 为线性微分算⼦。

若()?Ω
Ωvd u L L 内积后，求积；（其中v 为任意函数）
对上式分部积分，直⾄u 的导数消失，得：
()()??Ω
Ω
+Ω=Ωv u t b d v uL vd u L ,..)(*
（其中()v u t b ,..为边界项）
称*L 为L 的伴随算⼦
若L L =*则称算⼦是⾃伴随。

2.泛函的构造
Ω∈?x ()()0=+≡f u L u A Γ∈?x ()0=u B
利⽤Galertkin （伽辽⾦）格式
()()()0u =Γ+Ω+??Γ
Ω
d u B u d f L u T T δδ
因为算⼦是线性、⾃伴随的，所以：
()()()Ω??
+=??Ω
d u L u u L u u L u T
T T δδδ2
12
1
简单分解 ()Ω
+=??ΩΩd u L u u L u u L u T T T )(21)(21δδδ
线性算⼦性质 ),..(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δ
δδ+Ω
+=Ω微分的计算性质),.(.)(21
u u t b d u L u T δδ+Ω=?Ω
微分⽅程的等效积分形式：
()()()0T =Γ-Ω+??Ω
Γ
d u B u d f u L u T
δδ
()()0=Γ-Ω+ΩΓ
Ω
Ω
d u B u fd u d u L u T T T δδδ
整理得到：0=∏δ
原问题的泛函()()u t b fd u u L u T T ..21+
Ω+=∏?Ω
变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函⽽⾔，
()Γ
+Ω??? ???????=∏??ΓΩd x u u E d x u u F u ,,,,
对于未知场函数u ，任意⼀个微⼩的变化u δ，使)(u ∏取驻值的u 即为问题的控制⽅程及边界条件的解。

原问题微分⽅程和边界条件的等效积分的Galerkin 提法等效于泛函取驻值。

反之泛函取驻值则等效于微分⽅程和边界条件。

这⾥泛函可以通过等效积分的Galerkin 提法得到。

这种变分原理称为⾃然变分原理。

例如，弹性⼒学中的最⼩位能原理、粘性流体中最⼩能⼒耗散原理，称为⾃然变分原理。

例如，最⼩位能原理体系的总位能：
应变能：Ω=Ω??Ω
Ωd Ud T σε21
外⼒势能：Γ-Ω-??Γ
Ω
d T u u T T
势能泛函：Γ-Ω-Ω=∏Γ
ΩΩd T u d f u d u T T T σε21
最⼩位能原理
真实位移u 是体系总位能取极⼩值，即：()0=∏u δ其中：
()Lu u =ε D L u D ==εσ
近似解 []
a N N N Na a N u u n n
i i i ===≈∑=211
n n a N a N a N +++=2211
其中：
=??????n a a a 1 n a a ??????1待定参数向量（未知）N N N 1 试探函数矩阵（事先选定）
对三维问题：
=i i i i N N N N 000
00
泛函：
()ds T N a fdV N a DLNdVa LN a S T T V T T T V
T
--=∏σ
21
变分：02211=?∏
++∏?+?∏?=
∏n n
a a a a a a δδδδ n a a a δδδ21,相互对⽴
所以，01=?∏?a ， 02=?∏?a ， 0=?∏
n a 或 0=?∏?a 由：0=?∏
a
得到矩阵形式 F Ka = 其中()DLNdV LN K T
V ?= ds T N dV f N F S T
V
T ??+=σ
共有3Xn 个⽅程
若n N N 1为完备的函数系列则，∞→n 时，u
上述⽅法为Ritz 法
Ritz （⾥兹）法------基于变分原理的近似解法 1. 求解步骤：
1）假设近似解：i n
i i a N u u ∑==≈1
i a 为待定参数，满⾜强制边界条件。

2）将u 代⼊
()u
∏泛函)(u ∏的极值问题（求函数u ），转化为求多元（n a a 1）函数的极值问题。

()0=?∏?i a u ? i i i F a K = 3）求解线性代数⽅程组
i a u 的近似解
2. 解的收敛性
1）连续性要求i N 满⾜1-m C 阶连续性 2）完备性要求i N 取⾃完备的函数序列
关于强制边界条件与⾃然边界条件若微分算⼦是线性⾃伴随的，
Galerkin 法的等效积分形式→问题泛函→近似场函数u
应满⾜
强制边界条件
假如微分算⼦是2m 阶
0⾄m-1阶导的边界条件称为强制边界条件 m ⾄2m-1阶导的边界条件称为⾃然边界条件未知场函数⽆需事先满⾜⾃然边界条件
关于解的下限性
u u u δ+= ，δεεε+= ，δσσσ+=
()TdS u fdV u dV D u S T V T V
T p --=∏σ
εε
21
()()()()T d S u u f d V
u u dV D T S T V T V
+-+-++=σ
δδδεεδεε21
()()
P
P P V
T V S T V T T u v S T V T T P dV
D TdS u fdV u dV D TdS u fdV u dV D u ∏∏∏+--+--=∏2
δ
所以真解是泛函取最⼩极值。

最⼩余能原理：
真解使得系统的总余能最⼩。

考虑平衡⽅程：
()()()0
0===Γ
∈?=+≡Ω∈?T n u B x f L u A x T σσ
其中：
=x z y
z x y z
y x
n n n n n n n n n n 000
000
000
系统的总余能
应变余能：Ω=Ω=??ΩΩ
d C d W U kl ij ijkl σσσσ21
余势能：dS p u i S i u
-
余能泛函：()dS p u d C S
i i kl ij ijkl C ??-Ω=∏Ωσσσ21
则有：
0=-Ω??Ω
dS u p d U
S i i ij ij δεδσ
即，所有可能应⼒中，真解使系统的余能取极⼩值。

最⼩势能原理解的下限性：
设弹性体的应变能Ω=?Ω
d W U εεεW 应变能密度
设弹性体的应变余能Ω=?Ω
d W U σσσW 应变余能密度
并且： ij ij d W IJ εσεε?=0
=ij
对弹性材料 2/ij ij W W εσσε==或ij ij W W εσσε=+ 同时我们已知()()0=∏+∏ij C i p u σ
最终分析结果
Ω-=Ω-=∏??Ω
Ωd W d D kl ij ijkl p εεε21
()()u u p p
∏≥∏
Ω<Ω??Ω
Ωd D d D kl ij ijkl kl ij ijkl εεεε2121 、 ? 近似位移场总体偏⼩。

同样的分析得到：
由最⼩余能原理得到的近似应⼒场，总体偏⼤。