四川省成都市2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

武侯高中高2023级2023——2024下期第一次月考试题
数学（答案在最后）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
一、单选题
1.如图，四边形ABCD 中，AB DC =
，则必有（
）
A.AD CB
= B.DO OB
= C.AC DB
= D.OA OC
= 【答案】B 【解析】
【分析】根据AB DC =
，得出四边形ABCD 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形ABCD 中，AB DC =
，则//AB DC 且AB DC =，
所以四边形ABCD 是平行四边形；
则有AD CB =-
，故A 错误；
由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是DB 中点，则DO OB =
，B 正确；
由图可知AC DB
≠，C 错误；
由四边形ABCD 是平行四边形，可知O 是AC 中点，OA OC =-
，D 错误．故选：B ．
2.下列说法正确的是（
）
A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c
∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】
【分析】A.由0b =
判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.
【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C
3.若a b ，是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（
）
A.,a b b a --
B.21,2
a b a b
++ C.23,64b a a b
-- D.,a b a b
+- 【答案】D 【解析】
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，()
b a a b -=-- ，所以a b b a -- ，共线，不能作为基底.
B 选项，1222a b a b ⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭ ，所以12,2a b a b ++ 共线，不能作为基底.
C 选项，()
64223a b b a -=-- ，所以64,23a b b a --
共线，不能作为基底.
D 选项，易知a b a b +-
，不共线，可以作为基底.故选：D
4.将函数2cos 413y x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移3
π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）
A.12
x π
=
B.6x π=-
C.3
x π=-
D.12
x π=-
【答案】B 【解析】
【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到2cos(2)13
y x π
=++，再整体代入即可求得对称轴方程.【详解】将函数2cos 413y x π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2cos 213y x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭，再向左平移3
π个单位，
得到2cos[2()]12cos(2)1333
y x x πππ
=+
-+=++，令23x k π+=π，Z k ∈，则26
k x ππ
=
-，Z k ∈.显然，=0k 时，对称轴方程为6
x π
=-，其他选项不符合.故选：B
5.设a ，b 是非零向量，“a a b
b =
”是“a b =
”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由a a b b =
表示单位向量相等，则,a b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b =
，由a b =
表示,a b 同向且模相等，则a a b b = ，所以“a a b
b =
”是“a b =
”的必要而不充分条件.
故选：B
6.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+
，则下列一定共线的三点是（
）
A.,,A B C
B.,,B C D
C.,,A B D
D.,,A C D
【答案】C 【解析】
【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．
【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+
，
则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=
，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；
则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=
，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；
由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+=
．
则有//BD AB ，又BD 与AB
有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；
44AB BC a b AC ==-++
，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．
故选：C ．7.已知sin α
＝5
，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（）A.
4
π B.34
π C.
3π D.
23
π
【答案】B 【解析】
【分析】先求出tan α1
2
=，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】sin α
，且α为锐角，则cos α
5=，tan αsin 1cos 2αα==.所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝1
3211(3)2
--⨯-＝－1.又α＋β∈3(,22ππ，故α＋β＝34
π
.故选：B
8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》
：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（
）
A.9秒
B.12秒
C.15秒
D.20秒
【答案】D 【解析】
【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【详解】假设,,A O B 所在直线垂直于水面，且4AB =
米，如下示意图，
由已知可得12,4OA OB OP OP ====，
所以1
11
1
cos 602OB POB POB OP ∠==⇒∠=︒，处在劣弧 11
PP 时高度不低于4米，转动的角速度为
360660
︒
=︒/每秒，所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为120
206
=秒，故选：D.
二、多选题
9.已知函数(
)cos f x x x =
+，则下列判断正确的是（
）
A.()f x 的图象关于直线π6
x =对称 B.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
C.()f x 在区间2π,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D.当π2π,33x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()()1,1f x ∈-【答案】BC 【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的值域可判断D 选项.【详解】因为(
)πcos 2sin 6f x x x x ⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭，
对于A
选项，ππ2sin 63f ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，故函数()f x 的图象不关于直线π6x =对称，A 错；对于B 选项，π2sin 006f ⎛⎫-
== ⎪⎝⎭
，故函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当2π03x -
≤≤时，πππ266x -≤+≤，则函数()f x 在区间2π,03⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，C 对；
对于D 选项，当π2π33x -
<<时，ππ5π666x -<+<，则1πsin 126x ⎛
⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，
所以，()(]π2sin 1,26f x x ⎛
⎫
=+∈- ⎪⎝
⎭
，D 错.故选：BC.
10.下图是函数()sin()(0π)f x A x ωϕϕ=+<<的部分图像，则（
）
A.2πT =
B.π3
ϕ=
C.π,06⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5π
π
π,π1212k k ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】
【分析】由图象可得πT =，由2π
T ω
=可求出ω，再将π12⎛
⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得
35ππ3π
π246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π
12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3
ϕ∴=，
故()π23f x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，故B 正确；
因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -
+≤+≤+，解得5ππ
ππ1212
k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .
11.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间
观察，发现某港口的潮汐涨落规律为πcos 63y A x ω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭（其中0A >，0ω>）
，其中y （单位：m ）为港口水深，x （单位：h ）为时间()024x ≤≤，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h ，且中午12点的水深为8m ，为保证安全，当水深超过8m 时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（）
A.π
6
ω=
B.最高水位为12m
C.该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D.一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】AC 【解析】
【分析】根据题意可求得6
π
=
ω，可知A 正确；由12点时的水位为8m 代入计算可得4A =，即最高水位为10m ，B 选项错误；易知π
π4cos 66
3y x ⎛⎫=++
⎪⎝⎭，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首
次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，即可判断C 正确，D 错误.【详解】对于A ，依题意
π62T ω
==，所以6π
=ω，故A 正确；
对于B ，当12x =时，π
πcos 12686
3y A ⎛⎫=⨯++=
⎪⎝⎭，解得4A =，
所以最高水位为10m ，故B 错误；对于CD ，由上可知π
π4cos 66
3y x ⎛⎫=++
⎪⎝⎭，令8y ≥，解得812x ≤≤或者2024x ≤≤，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h ，故C 正确，D 错误.故选：AC.
三、填空题
12.设e
为单位向量，2a =r ，当,a e 的夹角为π3
时，a 在e 上的投影向量为______.
【答案】e
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得向量a 在e 上的投影向量为22π
21cos 31a e e a e e e e e
e e
⨯⨯⋅⋅⋅=== .故答案为：e
13.已知向量a 、b 满足5a = ，4b = ，a 与b 的夹角为120
，若()()
2ka b a b -⊥+ ，则k =________.
【答案】4
5
##0.8【解析】
【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为5a = ，4b = ，a 与b
的夹角为120 ，所以1cos12054102a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
.
因为(
)2ka b -⊥
()a b +r r ，
所以()()()()2
22222521610215120ka b a b ka
b k a b k k k -⋅+=-+-⋅=-⨯--=-=
，
解得45
k =
.故答案为：
45
.14.已知1
tan 3
x =，则
1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】
【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.
【详解】2
2222222
11121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫
++⨯ ⎪+++++⎝⎭====--⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.故答案为：2
四、解答题
15.
已知1a b a == ，与b 的夹角为45︒．
（1）求()
a b a +⋅
的值；
（2）求2a b -
的值
【答案】（1）2
（2【解析】
【分析】（1）先求2,a a b ⋅ ，再根据运算法则展开计算即可；
（2）先计算2b
，再平方，进而开方即可.【小问1详解】
因为22||1,||||cos 45112
2a a a b a b ==⋅=︒=⨯=
所以2()112a b a a a b ++⋅=⋅=+=
【小问2详解】因为22||2b b ==
，
所以2222|2|(2)444242
a b a b a b a b -=-=+⋅=+--=
所以|2|a b -=
16.已知函数()2
22cos 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若3π,π4θ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
且()85f θ=-，求cos 2θ的值.
【答案】（1）π
（2）
4
10
-【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将θ代入可求出πsin 26θ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，结合π26+θ的范围，求出πcos 26θ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭
，因为ππ2266θθ=+-，由两角差的余弦公式求出结果.【小问1详解】
(
)2π22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x ⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==【小问2详解】
()π82sin 265f θθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π4sin 265θ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
因为3π,π4θ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，1π25π3663π,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，
所以π3cos 265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，
所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭3414
525210
-⎛⎫=⨯+-⨯=
⎪⎝⎭.17.如图，在ABC 中，6AB =，60ABC ∠=︒，D ，E 分别在边AB ，AC 上，
且满足2AD DB = ，3CE EA =
，F 为BC 中点
.
（1）若DE AB AC λμ=+
，求实数λ，μ的值；
（2）若8AF DE ⋅=-
，求边BC 的长.【答案】（1）23
λ=-，1
4μ=.
（2）8【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简8AF DE ⋅=-
，从而求得BC 的长.
【小问1详解】∵2AD DB = ，3CE EA
= ，∴23AD AB = ，14AE AC = ∴1243DE AE AD AC AB =-=- ，∴23
λ=-，14μ=.【小问2详解】
12AF BF BA BC BA =-=- ，()
1212154343412DE AC AB BC BA BA BC BA =-=-+=+ ，22115115241282412AF DE BC BA BC BA BC BC BA BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设BC a = ，∵6AB = ，60ABC ∠=︒，
221115668824212
AF DE a a ⋅=-⨯⨯-⨯=- ，即2560a a --=，解得7a =-（舍）或8a =，∴BC 长为8.
18.设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠
，并记r =cot x y θ=，sec r x
θ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()sin cos tan cot sec +csc f θθθθθθθ=++++的最小值．
【答案】（Ⅰ）定值为3；
（Ⅱ）min ()1f θ=-；
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题可知，分别将6个三角函数分别代入，进行简单的化简，即可得到定值3；
(Ⅱ)将()f x 中的未知量均用sin ,cos θθ来表示，得到1sin cos ()sin cos sin cos sin cos g θθθθθθθθθ+=++
+，运用换元法设sin cos t θθ+=，化简成2()111g t t θ=-+
+-，再利用对勾函数的性质即可得到最值．【详解】解：（Ⅰ）222222
222222222222sin cos tan cot sec +csc =y x y x r r r x y r y x
θθθθθθ+--++--++222222
2221113x y r y r x r x y
+--⇒++=++=；
（Ⅱ）由条件，1cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ=令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++
++1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ
+=+++，令sin cos t θθ+=，则sin cos =2sin()4t πθθθ=++[2,2]∈-，1t ≠±，且21sin cos 2
t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==+
+--22(1)1t t t +=+-221111t t t t =+=-++--，令1u t =-，则21y u u =++，[21,21]u ∈---，且0u ≠，2u ≠-．所以，(,122][322,)y ∈-∞-⋃++∞．
从而()221f y θ=≥-，即min ()221f θ=-．
19.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛
⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2
（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；
（2）将()f t 向右平移π6
个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．
【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，ππ32
k x =+，Z k ∈
（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 6012
2y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭
甲乙，再求最值即可.【小问1详解】
(
)00001cos 2π22sin 2cos 2cos 2126
x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭令ππππ2π6232k x k x -
=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】
()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 12
2y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 12
2y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 6012
2y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243
⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 6012
6H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，
则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=
，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82
t ⇒=或20时，max 50h =。