数学北师大版九年级下册二次函数的应用(2)

2.4 二次函数的应用(2)
教材分析:
如果一个人经商，那么他最应该考虑的问题是什么呢？当然是怎样才能获得最大利润，这正是二次函数的应用范畴。

因为二次函数的图象是抛物线，在确定自变量的取值范围后，总能取到最大值或最小值。

若自变量的取值包括顶点的横坐标，就可以将二次函数化为顶点式，更易得到最大值或最小值。

本节课中关键问题是把实际问题转化为数学问题，把二次函数知识运用于实践，并对结果进行合理的解释。

在实际情景中用二次函数知识解决最优问题，首先要读懂问题，实际问题往往叙述部分较长，使人感到问题很难，想解决问题就要克服畏难情绪，明确要解决的问题是什么；其次，分析问题中各个量之间的相互关系；再次是把问题和相互关系表示成数学式子；在此基础上，利用学过的数学知识一步一步地解决问题。

教学目标:
（一）知识与技能
经历探索T恤衫销售中最在利润问题的过程，体会二次函数是一种最优化问题的数学模型。

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出问题的最大/最小值。

（二）过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（三）情感、态度与价值观
体会数学与人类社会的密切联系，初步感受二次函数的应用价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。

认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

教学重点:
经历探究销售中最大利润问题的过程，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，初步获得利用数学方法解决实际问题的经验。

教学难点:
分析和表示不同背景下实际变量间的二次函数关系，运用二次函数的知识解决实际问题。

教学方法:
教师指导下的学生自主学习法。

教具准备:
PPT课件
教学过程:
一．温故知新
前面学习了二次函数及其图象与性质，知道抛物线的三要素是：开口方向、对称轴、顶点坐标。

同时，列方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、检、答。

本节课研究获取最大利润问题，这与前面学习的知识有什么关系呢？
解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决什么问题，分析问题中变量间的关系，把问题表示成数学式子，再利用已有的数学知识解决问题。

二．探究新知
利润问题
（PPT展示：）服装厂生产某品牌的T恤衫，每件成本是10元。

根据市场调查，以单价13元批发经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件。

厂家批发单价是多少元时可以获利最多？
思考下列问题：
1）题中主要研究哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
2）题中的等量关系是什么？
3）设批发价为ｘ元，该服装厂获得的利润为ｙ元，则
销售量可以表示为。

销售额可以表示为。

销售一件T恤衫所获利润表示为。

该厂所获利润与批发价之间的关系可以表示为。

4）求可以获得的最大利润实质上就是求什么？
分析：
阅读题目后感到这是商家遇到的有关利润的问题，这正好为以后做生意做了一点知识的储备。

这个问题放到数学上去思考就是最值问
题，而这种最值问题是二次函数中的问题，因此应当列出函数关系式。

批发单价为ｘ元，比13元的批发价降低了（13-ｘ）元。

因为每降低0.1元，可多售500件，则降低（13-ｘ）元后多售出5000（13-ｘ）件，所以共售出[5000+5000（13-ｘ）]件。

每售出一件的利润为（ｘ-10）元，则该厂所获利润为（ｘ-10）[5000+5000（13-ｘ）]元。

经过以上分析，大家可以完成上面的问题了。

找学生上黑板完成这个问题。

学生可能的板书：
1）题目中有T恤衫的批发单价和该厂所获利润两个变量，其中T恤衫的批发单价是自变量，该厂所获利润是因变量。

2）题中的等量关系是：
该厂所获利润＝每件T恤衫的售出利润乘以销售量3）设批发价为ｘ元，该服装厂获得的利润为ｙ元，则
销售量可以表示为[5000+5000（13-ｘ）]件。

销售额可以表示为ｘ[5000+5000（13-ｘ）]元。

销售一件T恤衫所获利润表示为（ｘ-10）元。

该厂所获利润与批发价之间的关系可以表示为
ｙ=（ｘ-10）[5000+5000（13-ｘ）]元
4）求可以获得的最大利润实质上就是求二次函数ｙ=（ｘ-10）[5000+5000（13-ｘ）]的最大值。

解：设批发价为ｘ元，该服装厂获得的利润为ｙ元，则
ｙ=（ｘ-10）[5000+5000（13-ｘ）]
= 5000（ｘ-10）[1+（13-ｘ）]
= 5000（ｘ-10）（14-ｘ）
= -5000（ｘ-10）（ｘ-14）
= -5000（ｘ-12+2）（ｘ-12 -2）
= -5000（ｘ-12)2+20000
因为-5000<0 ，所以抛物线开口向下有最高点，函数有最大值，当ｘ=12元时，函数ｙ有最大值20000元。

即当批发单价是12元时，该厂获得最大利润20000元。

三．巩固提高
1.练一练
某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满。

经市场调查发现，如果每间客房每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
让学生分组根据利润问题的解法自主解决这个问题。

2.做一做
回顾一下本章一开始的引入问题，我们已经得到橙子树的数量ｘ棵与橙子总产量ｙ个的二次函数关系式
ｙ=(600-5ｘ)(100+ｘ)
我们当时用列表的方法猜到最大产量为60500个橙子，现在请你用今天学习的方法验证一下当时的猜测是否正确？你是怎么做的？与同
伴进行交流。

学生可能的回答：
因为表达式是二次函数，所以求橙子总产量的最大值即是求函数ｙ的最大值，而
ｙ=(600-5ｘ)(100+ｘ)
= -5(ｘ-120)( ｘ+100)
= -5(ｘ-10-110)( ｘ-10+110)
= -5(ｘ-10) 2+60500
所以当ｘ=10棵时，ｙ有最大值，最大值是60500个。

3.议一议
1）利用增加橙子树的棵数与总产量的二次函数图象，说明总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。

2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的产量在60400个以上？
引导学生观察图象得出结论：
1）当ｘ＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当ｘ=10时，橙子的总产量最大；ｘ＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少。

2）由图象可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵、14棵，都可以使橙子的总产量在60400个以上。

4.课本49页随堂练习
解：设销售单价为ｘ元，销售利润为ｙ元，则
ｙ=(ｘ-20) [400-20（ｘ-30）]
= -20(ｘ-20) (ｘ-50)
= -20(ｘ-35+15) (ｘ-35+15)
= -20(ｘ-35) 2+4500
所以当ｘ=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元。

四．课内小结
本节课同学们经历了探究一种商品在销售时如何取得最大利润的问题的解决过程，体会到二次函数是解决这类最值问题的有效的数学模型，感受到数学知识的应用价值；学习了分析实际问题中两个变量之间的二次函数关系，同时运用二次函数的知识求出问题中的最
值，提高了分析问题解决问题的能力。

五．布置作业
1)课内完成PPT上的检测
2)课后完成课本第50页上的习题2.9
板书设计：
2.4 二次函数的应用(2)
一、温故知新：抛物线的三要素，解应用题的步骤
二、最大利润问题
三、小结。