江苏省泰州市姜堰区2021-2022高二数学下学期期中试题 文(含解析)

江苏省泰州市姜堰区2021-2022高二数学下学期期中试题文（含解
析）
（考试时间：120分钟总分160分）
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）
1.集合,则___________.
【答案】{1}
【解析】
【分析】
根据交集运算的规则可得结果.
【详解】解：因为集合，
所以.
【点睛】本题考查了集合的交集运算问题，属于基础题.
2.命题“”是________命题．（选填“真”、“假”）
【答案】真.
【解析】
【分析】
根据函数的图像，可以得出命题“”的真假性.
【详解】解：因为函数的图像恒在轴上方，
故恒成立，
故“”是真命题
【点睛】本题考查了全称命题的真假性，解题的关键是要能准确作出函数的图像.
3.函数的定义域是____________.
【答案】(1,+∞)
【解析】
∵，∴．
4.有5个数据分别为2，4，5，6，8，则这5个数据的平均数是___________.
【答案】5.
【解析】
【分析】
根据平均值公式求解.
【详解】解：这5个数据的平均数为.
【点睛】本题考查了平均数的问题，求解的关键是熟练运用公式.
5.袋中有形状、大小都相同的3只球，其中1只白球，1只红球，1只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为_______．
【答案】.
【解析】
【分析】
先列举出一次随机摸出2只球的所有事件，然后再从中找出颜色为一红一黄的事件，根据古典概型公式求解其概率.
【详解】解：从袋中一次随机摸出2只球的事件为：（白，红），（白，黄），（红，黄）共有3种，
满足颜色为一红一黄的事件为（红，黄）只有一种，
故这2只球颜色为一红一黄的概率为.
【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举过程中要做到“不重不漏”.
6.某校高一年级有学生850人，高二年级950人，高三年级1400人，现采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为______.
【答案】28
【解析】
【分析】
根据分层抽样的公式求解即可得到.
【详解】解：因为采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，
所以，
故在高三年级应抽取的人数为28人.
【点睛】本题考查了分层抽样的问题，理解分层抽样的公式是解题的关键.
7.如图，程序执行后输出的结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得a=5，S=1
满足判断框内的条件，执行循环体，S=5，a=4
满足判断框内的条件，执行循环体，S=20，a=3
满足判断框内的条件，执行循环体，S=60，a=3
此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为60．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.计算__________．
【答案】.
【解析】
【分析】
运用对数、指数的运算公式求解.
【详解】解：
【点睛】本题考查了对数、指数的运算，解题的关键是正确运用对、指数运算公式.
9.“”是“函数为R上的增函数”的_______.（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个）
【答案】充分不必要条件.
【解析】
【分析】
先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果.
【详解】解：当时，故函数为R上的增函数，满足充分性，
当函数为R上的增函数时，可以得到，故不满足必要性，
故本题的答案是充分不必要条件.
【点睛】本题考查了充分必要条件，解题此类问题首先要搞清楚什么是条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.
10.已知函数是偶函数，且当时，，则_________.
【答案】5.
【解析】
【分析】
由于函数是偶函数，故求解即为求解，然后根据解析式求解结果.
【详解】解：因为函数是偶函数，
所以，
因为当时，，
所以.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，利用函数性质对目标进行转化是解题的关键.
11.已知函数，则_________.
【答案】2.
【解析】
【分析】
将自变量代入函数解析式，利用对数中的恒等式进行运算.
【详解】解：因为
所以
【点睛】本题考查了对数的运算，解题的关键是熟练运用几个对数中的恒等式.
12.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围是____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
偶函数在上单调递增，故得到在上单调递减，结合图像，便可得到不等式的解.
【详解】解：因为偶函数在上单调递增，
因为，即
所以，
，
解得，
所以的取值范围.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用，根据函数性质得出关于的不等式时解题的关键，同时还要注意函数的定义域. 13.若函数在区间
上是增函数，则的取值范围是______ .
【答案】.
【解析】 【分析】
根据复合函数单调性的性质，可得函数在
上是增函数，再根据对数函
数的定义域要求得到在
上恒成立，从而得出的取值范围. 【详解】解：因为函数
在区间
上是增函数， 根据“同增异减”的
规则，故函数在
上是增函数，
所以，即
，
因为函数要有意义， 故在上恒成立， 所以，
因为在上是增函数，
所以，
故
，解得
， 所以的取值范围
.
【点睛】本题考查了复合函数的单调性、对数函数的定义域等问题，复合函数的单调性规则为“同增异减”.
14.如果存在函数
（
为常数），使得对函数
定义域内任意都有
成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：
①函数存在“线性覆盖函数”；
②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；
③为函数的一个“线性覆盖函数”；
④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③.
【解析】
【分析】
根据题中提供的定义，对每一个选项通过证明或找反例分析对错，从而解得正确选项.
【详解】解：选项①：假设存在，为函数的一个“线性覆盖函数”，此时
显然不成立，只有才有可能使得对函数定义域内任意都有成立，即，而事实上，增长的速度比要快很多，当时，
的函数值一定会大于的函数值，故选项①不成立；
选项②：如函数，则就是函数的一个“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的就没有“线性覆盖函数”，所以命题②正确；
选项③：设，
则，
令，解得，
当时，，函数为单调增函数；
当时，，函数为单调减函数；
所以
，
所以在上恒成立，故满足定义，选项③正确；
选项④：若为函数的一个“线性覆盖函数”，
则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
故，
因为开口向下，对称轴为，
所以当时，，
所以，所以选项④错误，
故本题选择②③.
【点睛】本题考查了新定义的函数问题，解决问题的关键是要能将未知的问题向熟悉的问题进行转化，本题还考查了转化与化归的能力.
二、解答题：本大题共3小题，共计60分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知全集U=R，集合，．
（1）若，求;
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】(1) ..(2) .
【解析】
【分析】
（1）将的值代入，根据交集与并集运算规则求解，
（2）作出数轴图，根据子集运算规则求解.
【详解】解：（1）因为，
所以，
故，.
（2）因为，
如图所示
所以.
【点睛】本题考查了集合的交、并、子集问题，熟知交、并、子集的运算规则是解决问题的关键.
16.已知关于x的方程有实数根.
（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
【分析】
（1）若q为真命题，则得到，从而得出结果；
（2）若为假命题，为真命题，故得到P是真命题，为假命题，从而解决问题.
【详解】解：（1）因为q为真命题，
即关于x的方程有实数根，
故，
解得.
（2）由为假命题，为真命题，
所以P是真命题，为假命题，
所以，
解得.
【点睛】本题考查了常用逻辑用语“或”“且”“非”的问题，解题的关键是要能结合二次方程根的情况、二次函数的图像将其中的参数在真命题的情况下求解出来.
17.已知函数，为常数
（1）若，判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，用定义证明：函数在区间（0，）上是增函数。

【答案】(1) 为奇函数,(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据奇偶性的定义求解函数的奇偶性；
（2）根据求解单调性的步骤证明函数的单调性.
【详解】（1）解: 当时，函数为奇函数，
，
对恒成立,
为奇函数.
（2）,
，
设任意的,且.
.
,且，
，，，
，
所以函数在区间上是增函数.
【点睛】本题考查了用定义法解决函数的两大性质：单调性与奇偶性，不论解决函数的什么性质都要遵循“定义域优先”的原则.
18.已知函数，为实数，
（1）若函数在区间上是单调函数，求实数范围；
（2）若对任意，都有成立，求实数的值；
（3）若，求函数的最小值。

【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析.
【解析】
【分析】
（1）函数在区间上是单调函数，故分单调增与单调减两种情况进行讨论求解的取
值范围；
（2）对任意，都有成立，可以得到二次函数的对称轴，从而解得结果；（3）要求函数的最小值，首先要求出在上单调性，根据题意分情况讨论求解函数的单调性及最值.
【详解】解：（1）函数在区间上是单调函数，
函数的对称轴为，
所以对称轴或，所以或.
（2）因为函数对任意，都有成立，
所以的图像关于直线对称，
所以，
得．
（3）若即时，
函数在单调递增，
故.
若即时，
函数在单调递减，
故.
若即时，
函数在单调递减，
函数在单调递增，
故.
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，根据对称轴与定义域的关系进行分情况讨论是解题的关键，本题还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.
19.已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求方程的解；
（3）若，求实数的取值范围。

【答案】(1) ;(2) x=81或x=;(3) 或
【解析】
【分析】
（1）不等式等价于，根据函数的单调性求解；
（2）利用对数运算将分程进行化简，然后将log3x视作为整体，求出log3x 的值，从而解决问题；
（3）根据函数单调性的情况，对进行分情况讨论求解实数的取值范围.
【详解】解：（1）当a=2时，f（x）=log2x,
不等式，
（2）当a=3时，f（x）=log3x，
∴f（）f（3x）
=（log327﹣log3x）（log33+log3x）
=（3﹣log3x）（1+log3x）=﹣5，
解得：log3x=4或log3x=﹣2，
解得：x=81，x=；
（2）∵f（3a﹣1）＞f（a），
①当0＜a＜1时，
函数单调递增，
故0＜3a﹣1＜a，
解得：＜a＜，
②当a＞1时，
函数单调递减，
故3a﹣1＞a，
解得：a＞1，
综上可得：＜a＜或a＞1.
【点睛】本题考查了对数函数的单调性，对数函数的定义域等知识，解题的关键是熟知对数函数的图像及性质，本题还考查了整体的思想方法和分类讨论的思想方法.
20.设函数，．
（1）解方程．
（2）令，求的值．
（3）若是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)2.(2)1009.(3) .
【解析】
【分析】
（1）将题中的条件代入得，将视作为整体，先求出的值，从而得出的值；（2）根据题意发现规律，由此规律解得结果；
（3）根据题意首先求出的值，研究出函数的单调性，将题中的不等式转化为恒成立问题，分离变量构造函数，求解新函数最值，从而得出结果.
【详解】解：（1）因为
即，
即，
解得或（舍）
故．
（2）∵
，
=1009.
（3）∵是实数集上的奇函数，
∴，
∴，
解得，，
∴，
即，
设，
则
因为，，
所以
所以，
所以在上单调递增，
由
得，
又∵是上的奇函数，
∴，
又∵在上单调递增，
∴，
即对任意的都成立，
即对任意都成立，
又∵，当且仅当，即时取“=”，∴.
故实数的取值范围是．
【点睛】本题考查了函数的性质、最值以及不等式恒成立问题，函数的性质常见的求解方法是根据定义、图像、导数等进行求解，不等式恒成立问题常见解法是通过分离变量转化为函数的最值问题.。