材料力学：第七章 应力、应变状态分析(上)

s
N1
s3
ON 2
t
tan 300
t
cos 300
11.6 Mpa
A
由于ACN1=1200，所以，s1的主平面法
线与A面的夹角为a0= 600。于是，A面的 法线逆时针旋转600可得到s1的主平面法
t
线，从而确定s1的主平面的位置。确定 s1的主平面的位置后，可确定s3的主平
s3
t
面的位置，而s2的主平面为单元体的前
平面应力状态分析的图解法
主应力及最大、最小切应力
– 应力圆与s 轴的两个交点N1，
N2
N2的横坐标，对应于单元的主
应力s1，s2。弧DN1所对应的圆
N1
心角2a0，就是x面的外法线与
s1所在的主平面的外法线的夹
角的两倍
显然
ON1 ON 2
sx
s
2
y
s x
s y
2
2
t xy 2
s s
max min
tan
2a 0
s
2t xy x s
y
平面应力状态分析的图解法
– 应力圆的垂直半径CG1和CG2分
别等于最大、最小切应力，即
G1
CG1 CG2
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
s max
s min
2
t t
max min
N2 N1
G2
在应力圆上，由N1到G1和G2的 圆心角分别为900，因此，主 平面法线与剪应力极值所在平 面的法线的夹角为450。
大的一个靠得近些（夹角<45。）
平面应力状态分析的图解法
前面导出了平面应力状态 的解析计算公式
sa
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2a
t x
sin
2a
ta
sx
s y
2
sin
2a
t x cos 2a
将其变形为
sa
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2a
t x sin
2a
ta
sx
s y
2
sin
2a
t x cos 2a
所截的一部分aef的平衡，有
平面应力状态分析的解析法
X 0 sa cosa dAef ta sin a dAef t ydAaf s xdAae 0 Y 0 sa sin a dAef ta cosa dAef t xdAae s ydAaf 0
其中，dAef， dAaf， dAae分别为单元的侧面积和斜 截面面积。 注意到
注意到斜截面上切应力的表达式可知，在最大 和最小正应力所在的平面上，切应力为零。因此
在切应力为零的平面上，正应力分别为最大或最小值 主平面上的主应力（正应力）就是最大或最小的正应力
平面应力状态分析的解析法
由
tan
2a0
sx
2t x s
y
得
sx s y
cos 2a0
2
s
x
s
2
y
2
t
2 x
所以，最大和最小正应力（主应力）分别为
连接DD´ ，交x轴于点C。
C
C就是应力圆的圆心，
以CD为半径作圆，即为应 力圆。
平面应力状态分析的图解法
Step: 坐标系；对应点； 连接； 画圆 Key: 圆心与半径的确定
平面应力状态分析的图解法
求斜截面上的应力
应用应力圆，可求的任
意a 截面上得正应力sa和 切应力ta。
具体方法为： 从已知点D点开始，
dAaf sin a dAef , dAae cosa dAef 以及
tx ty
平面应力状态分析的解析法
上式变为
sa cosa ta sin a t y sin a s x cosa 0
sa sin a ta cosa t x cosa s y sin a 0 求解得
sa s x cos2 a s y sin 2 a 2t x sin a cosa
Example-1
例 图示单元体上的应力为 sx
sx=40 MPa， sy=-20 MPa， tx=-20 ty MPa，求a 450斜截面上的应力以
tx
及主应力和主平面的位置
sy
ty
ta tx sx
sa
450
sy
解 作应力圆图。
– 建立st坐标系
分别绘制点D(40, -20)和 D (-20, 20)
引言
如何研究复杂状态 微体法：一点的应力状态，一点应变状态，
二者之间的联系（物理关系）， 几何关系、静力学关系 ------关注一点 能量法: 应变能----------------------------关注整体 应力状态：通过一点所有各微截面上的应力状况 应变状态：通过一点所有各微截面上的应变状况 目的：解决复杂状态下的强度、刚度、稳定性
引言
对于微元体，由于微元体的尺寸很小，
• 可认为每个截面上的应力分布是均匀的 • 可以认为微元体内相互平行截面上的应力都相等 • 截面上应力符号的规定(弹性力学符号规定)
F1
F2
F2
y sy
tyx
tyz tzy
txy
sx
tzx txz x
sz
z
引言
一般情况下，截面上既有正应力研究一点无穷多的应力应变状态？
引言
二、微体法
一点应力状态的研究方法常采用 微体法。即在该点周围用六个垂 直于坐标轴的平面截出一个微小 的六面体，称为微元体
Y X
Z
方向余弦（l,m,n)
A(x,y,z)
通过微体平衡可证明：过任意A点任意微截面上的应力
均可通过含A点的正六面体上的应力和方向余弦（l,m,n)表示。
ta (s x s y ) sin a cosa t x (cos2 a sin 2 a ) 可化简为
sa
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2a
t x
sin
2a
ta
sx
s y
2
sin
2a
t x
cos 2a
平面应力状态分析的解析法
正切应力的符号问题；a的符号问题； 公式的适用性问题
特别地，当截面为单元的主平面时，即
后两个平面，并且s2=0。
s1600
tA s3
t s1
s y
2
2
t x2
26 96
MPa
Example
所以
s1 26 MPa, s 2 0, s 3 96 MPa, 由于
tan 2a0
2t x sx sy
1.429
则
a0 27.50 a0 900 27.50 117.50
从而，主平面的方位为
Example
smax smin位置 大靠大： smax 方向与sx ，sy中代数值较
sy s3
Example-2
1200
例 图示菱形单元体上的切应力
为t =20MPa，求主应力和主应力所
在平面的位置。
解 作应力圆图，
– 建立st坐标系；
B t
tA
300300
t
t
t
分别绘制A、B面的应力点A(0,
B
-20)和B (0, 20)；
300
2a
s
=2400
由于A、B面的外法线的夹角为1200。 o C 300
沿圆周绕圆心转2a 角，
得E点，则E点的坐标
(OF, FE)分别是a 截面上 的正应力sa 和切应力ta 。
平面应力状态分析的图解法
因为
2a0
OF OC CF
OC CE cos(2a 2a0 )
sx
s
2
y
CD(cos 2a0
cos 2a
sin
2a 0
sin
2a )
sx
s
2
y
sx
s
2
y
D´
C Fo
E
s
D
Example-1
主应力和主平面的位置
主应力对应于s 轴上的两点N1 t
和N2，其值分别为
D´
s1 ON1 46 Mpa s 3 ON2 26 Mpa
C N2 F o
N1 s
2a0
D
E
a0
1 tan 1 2t x
2
sx sy
31.70
s2 0
s3 sx ty
s1 tx
sy ty s1 tx sx
因从此A、，B从两点点A分到别点作B的300圆角心，角交为s 2轴400，A
于C点，则ACB= 2400，以C为圆
心，AC为半径作圆，即得应力圆。
Example-2
t
– N1、N2两点为主应力值，其值分别为 B
s1
ON1
t
tan 300
t
cos 300
34.6
Mpa
300
2a =2400
N2 o C 300
即切应力极值所在平面与 主平面间的夹角为 450
Example
例 图示构件截面上 A点沿坐标面的应力
为s =-70MPa，t =50MPa，求A点的主应力和
主平面的方位。
解 由于
s x s 70 MPa, s y 0, t x 50 MPa
则
y x
s max s min
sx
s y
2
s x
t x t y 0, s x s1, s y s 2
则斜截面上的应力计算公式为
sa
s1
s2
2
s1
s2
2
cos 2a
ta
s1
s2
2
sin
2a
平面应力状态分析的解析法
极值应力分析
首先分析截面上正应力的最大值，截面上
的正应力sa与a的关系为
sa
sx
s y
2
sx
s y
2
cos 2a
t x
sin
平面应力状态分析的图解法
由此得
s a
s
x
s
2
y
2
ta 2
s x
s
2
y
2
t
2 x
在s-t平面内，它表示一个圆心为
，
半径 s为x 2s y , 0
的圆。称为摩尔圆
或应力圆R
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
圆上任一点的坐标 sa ,ta 代表单元体内 某一截面上的正应力和切应力
平面应力状态分析的图解法
引言
应力状态的分类
• 单向应力状态——s1 0，s2 =0，s3 =0
• 平面应力状态（平面应力状态）
——s1 0，s2 0，s3 =0
T
T
• 空间应力状态（空间应力状态）
——s1 0，s2 0，s3 0
F
平面应力状态应力分析
平面应力状态分析的解析法
平面应力状态
——s10，s20，s3=0
2a
正应力的极值，令
ds a da
(s x s y ) sin 2a 2t x cos 2a
0
由此求得
tan
2a0
sx
2t x s
y
平面应力状态分析的解析法
tan
2a0
sx
2t x s
y
ta
sx
s y
2
sin
2a
t x
cos 2a
由上式可确定相差为900的两个a0值，在这两个 相互垂直的截面上，正应力分别为最大值和最小值
s max s min
sx
s y
2
s
x
s
2
y
2
t
2 x
平面应力状态分析的解析法
切应力的极值，由切应力的表达式，有
dt a da
(s x s y ) cos 2a 2t x sin 2a
0
得
tan
2a1
s
x s 2t x
y
上式仍确定两个相互垂直的平面，在其上分别作用
有最大和最小的切应力，其值为
第七章
应力、应变状态分析
引言
一、应力状态
已知例子
• 直杆的轴向拉伸和压缩
sy´ty´ tx´ sx´
s
s
tx´
sx´ ty´ sy´
• 圆直杆的扭转
T
T
sy´ ty´tx´sx´
sx´
sy´
引言
• 梁的剪切弯曲
复杂情况对于给定的一点
• 应力与结构（构件）的变形状态有关 • 截面方向不同，其截面上的应力也是不同的 • 同一截面的不同点处，应力也是不同的
t t
max min
s
x
s
2
y
2
t
2 x
可见，
t max t min
平面应力状态分析的解析法
比较最大、最小正应力和切应力极值所在的平面，
由
tan
2a0
sx
2t x s
y
可得
tan
2a1
s
x s 2t x
y
tan 2a1 ctg2a0 tan( 2a0 900 )
从而
a1 a0 450
对于任意给定的一点，总存在一 个特殊的微元体，这个微元体的 每个侧面上只有正应力，而没有 切应力。这个特殊的微元称为主 平面微体
y sy
tyx
tyz tzy
txy
sx
tzx txz
x
sz
z
主平面微体的侧面称为主平面，
主平面上三个正应力称为主应力
主应力通常表示为s1，s2 ，s3 ，
并且约定
s1>s2>s3
仅在微体的四个侧面上有应力， 且其作用线均平行于微体不受 力的表面
材料力学 符号规定
平面应力状态分析的解析法
斜截面上的应力分析
下面分析平行与z轴的斜截 面上的应力。为此，只需在xy平 面内研究问题，所以可将单元体 用单元面来代替
考察法向与x轴成a角的斜截
面ef上的应力。设此斜截面上的
正应力为sa，切应力为ta。考虑
连接DD，交s 轴于C，
以C为圆心，CD为半径 作圆，即得应力圆
t
D´
C o
s
D
sy
Example-1
sx
求a450斜截面上的应力。
ty
将CD边顺时针旋转2a
tx
900的CE，则E点的坐标即为
a450的斜截面上的应力
ty
ta tx sx
sa
450
sy
t
sa OF 10 Mpa ta EF 30 Mpa
cos 2a
t x
sin
2a
sa
平面应力状态分析的图解法
2a0
EF CE sin( 2a 2a0 )
CD(cos 2a0 sin 2a sin 2a0 cos 2a )
s
x
s
2
y
sin
2a
t x
cos 2a