平面直角坐标系综合问题复习资料-含详细解析
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4.【答案】（2，0）
【解析】
解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（-3，3），P4坐标为（-2，-1），P5坐标为（2，0），
∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环，
∵2017=2016+1=4×504+1，
∴P2017坐标与P1点重合，
故答案为（2，0）．
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1坐标（- ，- ）
△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（- ， ）
△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（- ，- ）
△A3B3C3经γ（3，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（- ， ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
4.在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P′(-y+1，x+2)，我们把点P′(-y+1，x+2)叫做点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P1的坐标为(2，0)，则点P2017的坐标为．
△An-1Bn-1Cn-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是______，点A2018的坐标是______．
7.对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d（P0，Q）的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0（2，-3），O为坐标原点．则：
，
∴△PAB∽△NCA，
∴ = ，
设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，
∴ = ，
∴y=3x-x2=-（x- ）2+ ，
∵-1＜0， ≤x≤3，
∴x= 时，y有最大值 ，此时b=1- =- ，
x=3时，y有最小值0，此时b=1，
∴b的取值范围是- ≤b≤1．
故选：B．
延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出 = ，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到y=3x-x2=-（x- ）2+ ，根据二次函数的性质以及 ≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
平面直角坐标系
副标题
题号
一
二
总分
得分
一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）
1.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合点An的坐标，找出0=4nk+2是解题的关键．
6.【答案】（- ，- ）；（- ， ）
【解析】
解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：
对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
A. B. C. D.
2. 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（ ，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握．
2014÷10=201…4，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，
即从点B向下沿BC2个单位所在的点的坐标即为所求，也就是点（-1，-1）．
故选：D．
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a，θ）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究．
7.【答案】5；2或-10
【解析】
解：（1）∵P0（2，-3），O为坐标原点，
∴d（O，P0）=|0-2|+|0-（-3）|=5．
故答案为：5；
（2）∵P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，
∴设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），则d（P，Q）=6，
∴|a-x|+|-3-x-1|=6，即|a-x|+|x+4|=6，
当a-x≥0，x≥-4时，原式=a-x+x+4=6，解得a=2；
当a-x＜0，x＜-4时，原式=x-a-x-4=6，解得a=-10．
9.【答案】（3，4）或（ ， ）或（- ， ）
【解析】
解：如图所示：
①∵OA=3，OB=4，
∴P1（3，4）；
②连结OP2，
设AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得 ．
故AB的解析式为y=- x+4，
则OP2的解析式为y= x，
联立方程组得 ，
解得 ，
则P2（ ， ）；
③连结P2P3，
∵（3+0）÷2=1.5，
【解析】
解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，
①当C为A、B的“和点”时，C点的坐标为（2-1，5+3），即C（1，8）；
②当B为A、C的“和点”时，设C点的坐标为（x1，y1），
则 ，解得C（-3，-2）；
③当A为B、C的“和点”时，设C点的坐3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．
本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到Pn坐标得规律是解题的关键．
5.【答案】-
【解析】
解：∵A1（0，0），A2（4，0），A3（8，0），A4（12，0），…，
∴An（4n-4，0）．
∵直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，
∴点An+1（4n，0）在直线y=kx+2上，
∴0=4nk+2，
解得：k=- ．
故答案为：- ．
由点A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点An的坐标，再由直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，即可得出点An+1（4n，0）在直线y=kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．
∴点C的坐标为（1，8）或（-3，-2）或（3，2）．
故答案为：（1，8）或（-3，-2）或（3，2）．
以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，分3种情况讨论：①C为点A、B的“和点”；②B为A、C的“和点”；③A为B、C的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．
本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
故答案为：2或-10．
（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；
（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上给点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.【答案】（1，8）或（-3，-2）或（3，2）
（1）d（O，P0）= ______；
（2）若P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= ______．
8.平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（-1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是______．
5.如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（2，2），A2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，则k的值为______．
6.定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．
9. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查点的坐标的变化规律，三角形的面积，数式规律问题，图形规律问题的有关知识，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．由OA4n=2n知OA2017= +1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】
解：由题意知OA4n=2n，
∵2018÷4=504…2，
∴OA2017= +1=1009，
∴A2A2018=1009-1=1008，
则△OA2A2018的面积是 ×1×1008=504m2，
故选A．
2.【答案】B
【解析】
解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．
在△PAB与△NCA中，
依此类推……
可以发现规律：An横坐标存在周期性，每3次变换为一个周期，纵坐标为
当n=2018时，有2018÷3=672余2
所以，A2018横坐标是- ，纵坐标为
故答案为：（- ，- ），（- ， ）．
分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．
（0+4）÷2=2，
∴E（1.5，2），
∵1.5×2- =- ，
2×2- = ，
∴P3（- ， ）．
故点P的坐标为（3，4）或（ ， ）或（- ， ）．
故答案为：（3，4）或（ ， ）或（- ， ）．
由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．
【解析】
解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（-3，3），P4坐标为（-2，-1），P5坐标为（2，0），
∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环，
∵2017=2016+1=4×504+1，
∴P2017坐标与P1点重合，
故答案为（2，0）．
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1坐标（- ，- ）
△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（- ， ）
△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（- ，- ）
△A3B3C3经γ（3，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（- ， ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
4.在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P′(-y+1，x+2)，我们把点P′(-y+1，x+2)叫做点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn，若点P1的坐标为(2，0)，则点P2017的坐标为．
△An-1Bn-1Cn-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是______，点A2018的坐标是______．
7.对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d（P0，Q）的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0（2，-3），O为坐标原点．则：
，
∴△PAB∽△NCA，
∴ = ，
设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，
∴ = ，
∴y=3x-x2=-（x- ）2+ ，
∵-1＜0， ≤x≤3，
∴x= 时，y有最大值 ，此时b=1- =- ，
x=3时，y有最小值0，此时b=1，
∴b的取值范围是- ≤b≤1．
故选：B．
延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出 = ，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到y=3x-x2=-（x- ）2+ ，根据二次函数的性质以及 ≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
平面直角坐标系
副标题
题号
一
二
总分
得分
一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）
1.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合点An的坐标，找出0=4nk+2是解题的关键．
6.【答案】（- ，- ）；（- ， ）
【解析】
解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：
对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
A. B. C. D.
2. 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（ ，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握．
2014÷10=201…4，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，
即从点B向下沿BC2个单位所在的点的坐标即为所求，也就是点（-1，-1）．
故选：D．
根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a，θ）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究．
7.【答案】5；2或-10
【解析】
解：（1）∵P0（2，-3），O为坐标原点，
∴d（O，P0）=|0-2|+|0-（-3）|=5．
故答案为：5；
（2）∵P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，
∴设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），则d（P，Q）=6，
∴|a-x|+|-3-x-1|=6，即|a-x|+|x+4|=6，
当a-x≥0，x≥-4时，原式=a-x+x+4=6，解得a=2；
当a-x＜0，x＜-4时，原式=x-a-x-4=6，解得a=-10．
9.【答案】（3，4）或（ ， ）或（- ， ）
【解析】
解：如图所示：
①∵OA=3，OB=4，
∴P1（3，4）；
②连结OP2，
设AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得 ．
故AB的解析式为y=- x+4，
则OP2的解析式为y= x，
联立方程组得 ，
解得 ，
则P2（ ， ）；
③连结P2P3，
∵（3+0）÷2=1.5，
【解析】
解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，
①当C为A、B的“和点”时，C点的坐标为（2-1，5+3），即C（1，8）；
②当B为A、C的“和点”时，设C点的坐标为（x1，y1），
则 ，解得C（-3，-2）；
③当A为B、C的“和点”时，设C点的坐3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．
本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到Pn坐标得规律是解题的关键．
5.【答案】-
【解析】
解：∵A1（0，0），A2（4，0），A3（8，0），A4（12，0），…，
∴An（4n-4，0）．
∵直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，
∴点An+1（4n，0）在直线y=kx+2上，
∴0=4nk+2，
解得：k=- ．
故答案为：- ．
由点A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点An的坐标，再由直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，即可得出点An+1（4n，0）在直线y=kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．
∴点C的坐标为（1，8）或（-3，-2）或（3，2）．
故答案为：（1，8）或（-3，-2）或（3，2）．
以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，分3种情况讨论：①C为点A、B的“和点”；②B为A、C的“和点”；③A为B、C的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．
本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
故答案为：2或-10．
（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；
（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上给点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.【答案】（1，8）或（-3，-2）或（3，2）
（1）d（O，P0）= ______；
（2）若P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= ______．
8.平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（-1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是______．
5.如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（2，2），A2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，则k的值为______．
6.定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．
9. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查点的坐标的变化规律，三角形的面积，数式规律问题，图形规律问题的有关知识，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．由OA4n=2n知OA2017= +1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】
解：由题意知OA4n=2n，
∵2018÷4=504…2，
∴OA2017= +1=1009，
∴A2A2018=1009-1=1008，
则△OA2A2018的面积是 ×1×1008=504m2，
故选A．
2.【答案】B
【解析】
解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．
在△PAB与△NCA中，
依此类推……
可以发现规律：An横坐标存在周期性，每3次变换为一个周期，纵坐标为
当n=2018时，有2018÷3=672余2
所以，A2018横坐标是- ，纵坐标为
故答案为：（- ，- ），（- ， ）．
分析图形的γ（a，θ）变换的定义可知：对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．
（0+4）÷2=2，
∴E（1.5，2），
∵1.5×2- =- ，
2×2- = ，
∴P3（- ， ）．
故点P的坐标为（3，4）或（ ， ）或（- ， ）．
故答案为：（3，4）或（ ， ）或（- ， ）．
由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．