空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[分析] 能否作为空间的一组基底，即是判断给出 的向量组中的三个向量是否共面，由于a，b，c是不 共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从 某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角 线所对应的向量的关系直观判断．
[解析] 如图 3 所示， 令 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
[解] 设正方形的边长为 a，∵PA＝AD＝AB， 且 PA，AD，AB 两两互相垂直， 故可设D→A＝ai，A→B＝aj，A→P＝ak. 以 i，j，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角 坐标系．
方法一：
∵M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝－12A→B＋A→P＋12P→C
＝－1A→B＋A→P＋1(A→D＋A→B－A→P)
得到向量O→P＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实 数组(x，y，z)，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3.
我们把(x，y，z)称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2， e3 下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
此时向量 p 的坐标恰是点 P 在空间直角坐标系 O－ xyz 中的坐标(x，y，z)．
2
2
＝－1aj＋ ak＋1(－ ai＋ aj－ ak)＝－1ai＋1ak，
2
2
22
∴M→N＝(－12a,0，12a)．
方法二： ∵P(0,0，a)，C(－a，a,0)， ∴N 点的坐标为(－12a，12a，12a)． ∵M 点的坐标为(0，12a,0)， ∴M→N＝(－12a,0，12a)．
[点评] 用坐标进行向量的运算，关键之一是把相 关的向量以坐标形式表示出来．这里有两个方面的问 题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的 构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作 坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三 条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直 角坐标系．
思考感悟 1．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特 点？ 提示：xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz 平 面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz 平面上的点的坐标为 (0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的 坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z)．另外还 要注意向量O→P的坐标与点 P 的坐标相同．
思考感悟 空间的基底惟一吗？ 提示：不惟一，只要是三个向量不共面，这三 个向量就可以组成空间的一个基底．
3．空间向量的正交分解及其坐标表示
设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单 位向量，我们称它们为单位正交基底，以e1，e2，e3的 公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.那么， 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的 起点与原点O重合，
(2)三个向量不共面是这三个向量构成空间一组基 底的充要条件．
类型二 用基底表示向量 [例 2] 如图 4，已知平行六面体 ABCD－
A1B1C1D1，点 M、N 分别是面 A1B1C1D1和面 AA1D1D 的对角线的交点，请选取适当的基底表示向量C→M、 C→N、C→A1、M→N.
[分析] 因为C→M，C→N，C→A1有 公共起点 C，故可选C→B，C→D，C→C1 为空间向量的一组基向量，以达到 最简化的表示．
二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标， 这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量 进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点 的坐标．
＝12D→1A1＋C→D＋12C→C1＝12a＋
b＋1c， 2
C→A1＝C→C1＋C→1D1＋D→1 A1＝ c＋ b b＋1c)－
2
2
(12a＋12b＋ c)＝12b－12c.
[点评] 在几何体中，根据图形的特点，选择公共 起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底， 或选择有公共起点且关系最明确(如夹角或线段长度) 的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题．
图3
a＋b＋c＝A→C1.由于 A，B1，C，D1 四点不共面， 可知向量 x，y，z 也不共面，同理 b，c，z 和 x，y， a＋b＋c 也不共面，故选 C.
[答案] C
[点评] (1)充分利用一些常见的几何体，如：长 方体、正方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们 进行相关的判断，利用向量计算来证明，一般选取适 当的一组基底，寻找关系，易得结果．