2022年初中数学《解直角三角形2》精品教案

28.2.1 解直角三角形
第2课时
教学目标
【知识与技能】
本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的根本问题. 【过程与方法】
1.用解三角形的有关知识去解决简单的根本问题的过程.
2.选择适宜的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把根本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力. 【情感态度】
通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.
教学重难点
【教学重点】
引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把根本问题转化为解直角三角形的问题来解决. 【教学难点】
使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.
课前准备 无 教学过程
一、知识回忆
1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形
2.直角三角形中诸元素之间的关系：
〔1〕三边之间的关系：a 2+62=c 2
(勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； 〔3〕边角之间的关系：b
a A c
b A
c a A ===
tan cos sin ，，. 把∠A 换成∠B 同样适用.
二、思考探究，获取新知
我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形，那么请思考：对于简单的根本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？
如图，河宽AB(假设河的两岸平行〕，在C 点测得∠ACB = 30°，D 点测得∠ADB=60°，又CD=60m ，那么河宽AB 为多少米？〔结果保存根号〕
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD 的度数，判断出△ACD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB 的值.
【教学说明】此题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值. 三、典例精析，掌握新知
例1 如图，为了测量河两岸A 、两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC =m ， ∠ACB = α那么AB 等于〔 〕
A. m sin α
B. n cos α
C. m tan α
D. m /tan α
【分析】此题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错. 答案 C
例2 如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5米，风筝飞到C 处时的线长BC 为30米，这时测得
∠CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.〔结果精确到0.1米，73.13 )
【分析】 在Rt △BCD 中，由BC =30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD ，又DE=AB ，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.
【教学说明】解答此题的关键是利用解直角三角形来求CD 的长，利用矩形的性质求DE 的长. 四、运用新知、深化理解
1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成 30°角时，测得旗杆AB 在地面上影长BC 长为24米，那么旗杆AB 的 高约是多少 ？
2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径A 河底线，弦
处有8m 已测得13
12DOE sin =
∠.
〔1〕求半径OD;
〔2〕根据需要，睡眠要以每小时0.5m 的速度下降，那么经过多长时间才能将水排干？
【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指导.
【答案】1.解：∵太阳光线与地面成30°角，旗杆AB 在地面上的影长BC 为24米，∴旗杆
AB 的高度约是：）（m 3830tan 24=︒=AB .
2..分析：解决此题的关键是求出OE 的值.由垂径定理易求出DE 的长，Rt △OED 中，根据DE
的长以及∠EOD 的正弦值，可求出半径OD 的长， 再由勾股定理即可求出OE 的值.OE 的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.
五、师生互动、课堂小结
1.解直角三角形的关键是找到与和未知相关联的直角三角形，当 图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.〔作 某边上的高是常用的辅助线〕
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形 成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种问题 时合理运用.
课后作业
1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学反思
本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力，使学生进一步稳固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想.
第1课时
教学目标
【知识与技能】
进一步运用反比例函数的知识解决实际问题. 【过程与方法】
经历“实际问题一建立模型一问题解决〞的过程，开展学生分析问题，解决问题的能力. 【情感态度】
运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣. 教学重难点
【教学重点】
运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.
【教学难点】
用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，那么只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，那么此反比例函数的表达式是，当x=4
时，y的值为，而当y=1
3
时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很
多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？
二、典例精析，掌握新知
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？
(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
2)？
【分析】圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=V
d
，当V—定时，圆柱体的底面
积S是圆柱体的高〔深〕d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问
题〔2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = V
d
可求得S，这样问题〔3)获解.
例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天〕与卸货时间t单位：天〕之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？
【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根
据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240
t
，
获得问题〔1)的解；在(2)中，假设把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48
吨，那么可保证在5天内卸货完毕.此处，假设由V =240
t
得到t=
240
V
，由t≤5，得
240
V
≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.
【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题〔2)
发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.
例3如下图是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.
(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.
(2) 写出此函数的函数关系式.
(3) 假设要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？
(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中的水将用多长时间排完？
【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象答复.
解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，
∴蓄水量为4×12 = 48〔m3 )
(2)由图象V与t成反比例，设V=k
t
(k≠0).
把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48
t
(t＞0).
(3)当t=6时，
48
6
V== 8，即每1h排水量是8m3
⑷当V=5时,5 = 48
t
,
48
5
t
∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.
【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解此题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象答复下列问题.
三、运用新知，深化理解
1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米〕的圆锥形漏斗.
(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，那么漏斗的深为多少？
2.市政府方案建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.
(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天〕与完成运送任务所需的时间t〔单位：天〕之间具有怎样的函数关系？
(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.那么公司完成全部运输任务需要多长时间？
【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，稳固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.
【答案】1.解：〔1)1
3
Sd=1，S =
3
d
(d＞0)
(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3
d
=1,d=3dm.
2.解:(1)
6
6
10
10,(
Vt V t
t
==＞0) .
(2)t=
66
2
4
1010
10
10
V
== .即完成任务需要100天.
四、师生互动，课堂小结
谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.
课后作业
1.布置作业：从教材“习题26. 2〞中选取.
“课时作业〞局部.
教学反思
本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为根底，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.。