高中物理模型：应用动量定理解决流体模型的冲击力问题

模型/题型：应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题
一、模型概述
1.研究对象：常常需要选取流体为研究对象，如水、空气等.
2.研究方法：隔离出一定形状的一部分流体作为研究对象，然后列式求解.
3.基本思路
(1)在极短时间Δt 内，取一小柱体作为研究对象. (2)求小柱体的体积ΔV ＝vS Δt
(3)求小柱体质量Δm ＝ρΔV ＝ρvS Δt
(4)求小柱体的动量变化Δp ＝v Δm ＝ρv 2
S Δt (5)应用动量定理F Δt ＝Δp
二、题型分类处理办法 模型一
流体类问题
通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ
建立“柱状”模型，沿流速v 的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
模型二 微粒类问题 三、典型例题
1.(2016·全国卷Ⅰ·35(2))某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S 的喷口持续以速度v 0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S )；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g .求：
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.
答案 (1)ρv 0S (2)v 022g － M 2g
2ρ2v 02S
2
解析 (1)在刚喷出一段很短的Δt 时间内，可认为喷出的水柱保持速度v 0不变. 该时间内，喷出水柱高度Δl ＝v 0Δt
① 喷出水柱质量Δm ＝ρΔV ② 其中ΔV 为水柱体积，满足ΔV ＝ΔlS ③
由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为 Δm
Δt
＝ρv 0S (2)设玩具底板相对于喷口的高度为h 由玩具受力平衡得F 冲＝Mg
④ 其中，F 冲为水柱对玩具底板的作用力 由牛顿第三定律：F 压＝F 冲
⑤ 其中，F 压为玩具底板对水柱的作用力，设v ′为水柱到达玩具底面时的速度
由运动学公式：v ′2－v 02
＝－2gh ⑥ 在很短Δt 时间内，冲击玩具的水柱的质量为Δm Δm ＝ρv 0S Δt
⑦ 由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱应用动量定理 (F 压＋Δmg )Δt ＝Δmv ′ ⑧ 由于Δt 很小，Δmg 也很小，可以忽略，⑧式变为 F 压Δt ＝Δmv ′
⑨
由④⑤⑥⑦⑨可得h ＝
v 022g －M 2
g 2ρ2v 02S
2
2.如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个质量为M 的垃圾桶倒顶在空中，水以速率v0、恒定
的质量增率(即单位时间喷出的质量)Δm
Δt
从地下射向空中.求垃圾桶可停留的最大高度.(设水柱喷
到桶底后以相同的速率反弹)
答案 h ＝v 022g －M 2
g 8(Δt Δm
)2
解析 设垃圾桶可停留的最大高度为h ，并设水柱到达h 高处的速度为vt ，则 v 2－v 02
＝－2gh
得v 2＝v 02
－2gh
由动量定理得，在极短时间Δt 内，水受到的冲量为
FΔt＝2(Δm
Δt ·Δt)v
解得F ＝2Δm Δt ·vt＝2Δm Δt
v 02
－2gh
据题意有F ＝Mg
联立解得h ＝v 022g －M 2
g 8(Δt Δm
)2
3. 有一宇宙飞船，它的正面面积S = 0.98m2，以v = 2×103 m/s 的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m = 2×10﹣7 kg ，要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）。

答案 0.78N
解析 选在时间△t 内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量应等于底面积为S ，高为v △t 的圆柱体内微粒的质量 M=mSv △t ，初动量为0，末动量为mv 。

设飞船对微粒的作用力为F ，由动量定理得：F •△t=Mv ﹣0
则 F===mSv 2
；
根据牛顿第三定律可知，微粒对飞船的撞击力大小也等于mSv 2
，则飞船要保持原速度匀速飞行牵引力应增加F ′
=F=mSv 2
；
代入数据得：F′=2×10﹣4×10﹣3×0.98×（2×103）2N=0.78N。