2020-2021学年北京市大兴区九年级上学期 期末数学试卷 解析版

2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值是（）
A．B．C．D．
2．若，则的值是（）
A．B．2C．D．1
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
4．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
5．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（）
A．3B．6C．12D．24
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（）
A．4B．C．2D．
7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）
A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0
C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）
8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得P A＞AB；
②若，则PB＝2P A；
③∠P AB不是直角；
④∠POB＝2∠OP A．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①③B．③④C．②③④D．①②④
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是．10．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC∠BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
11．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是．
13．若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是（结果保留π）．14．请你写出一个函数，使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，这个函数的解析式可以是．
15．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D 在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，
①DA平分∠EDC；
②△AEF∽△DBF；
③∠BDF＝∠CAD；
④EF＝BD．
所有正确结论的序号是．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q （m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是．
三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
18．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
19．（5分）下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：∠APB，使得∠APB＝30°．
作法：
①分别以点A，B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；
②以点C为圆心，CA的长为半径作⊙C；
③在优弧AB上任意取一点P（点P不与点A，B重合），连接P A，PB．
则∠APB就是所求作的角．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AC，BC．
∵AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ACB＝°．
∵P是优弧AB上一点，
∴∠APB＝∠ACB（）（填写推理依据）．
∴∠APB＝30°．
20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．
（1）求k，m的值；
（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线P A交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．
22．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AC，CD分别交于点E，F，且∠DAF＝∠BAC．
（1）求证：直线AF与⊙O相切；
（2）若tan∠DAF＝，AB＝4，求⊙O的半径．
23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．
（1）用含有a的代数式表示b；
（2）求抛物线顶点M的坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．
①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；
②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
24．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D是射线CA上一点，连接BD，以点B为中心，将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，连接AE．
（1）如图1，当点D在线段CA上时，连接DE，若DE⊥AB，则线段AE，BE的数量关系是；
（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2．
①探究线段AE，BE的数量关系，并证明；
②直接写出线段CD，AB，AE之间的数量关系．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和点P，给出如下定义：若P A＝PB且点P不在线段AB上，则称点P是线段AB的等腰顶点．特别地，当∠APB≥90°时，称点P是线段AB的非锐角等腰顶点．
（1）已知A（2，0），B（4，2）
①在点C（4，0），D（3，1），E（﹣1，5），F（0，5）中，是线段AB的等腰顶点的是；
②若点P在直线y＝kx+3（k≠0）上，且点P是线段AB的非锐角等腰顶点，求k的取值
范围；
（2）直线y＝﹣x+与x轴交于点M，与y轴交于点N．⊙P的圆心为P（0，t），半径为，若⊙P上存在线段MN的等腰顶点，请直接写出t的取值范围．
2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值是（）
A．B．C．D．
【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
则sin A＝＝，
故选：A．
2．若，则的值是（）
A．B．2C．D．1
【分析】直接利用已知得出x＝y，进而代入化简得出答案．
【解答】解：∵，
∴x＝y，
则＝＝．
故选：A．
3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，
∴，
∴EF＝4.5，
故选：B．
4．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．
可设新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故选：D．
5．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（）
A．3B．6C．12D．24
【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
【解答】解：矩形OABC的面积＝|k|＝6．
故选：B．
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（）
A．4B．C．2D．
【分析】利用垂径定理得到CE＝DE，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
在Rt△ACE中，∵∠A＝30°，
∴CE＝AC＝×2＝1，
∴CD＝2CE＝2．
故选：C．
7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）
A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0
C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，
0），则根据判别式的意义可对B选项进行判断；由于x＝﹣3时，y＝0，则可对C选项错误；根据二次函数的最值问题可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以A选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以B选项错误；
∵x＝﹣3时，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，所以C选项错误；
∵x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2+bm+c＜a﹣b+c，
即am2+bm＜a﹣b，所以D选项正确．
故选：D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得P A＞AB；
②若，则PB＝2P A；
③∠P AB不是直角；
④∠POB＝2∠OP A．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①③B．③④C．②③④D．①②④
【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【解答】解：①至少存在一点P，使得P A＞AB，错误．不存在．
②若，则PB＝2P A，错误，应该是PB＜2P A．
③∠P AB不是直角，正确．
④∠POB＝2∠OP A．正确．
故选：B．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是m＜0．【分析】根据反比例函数的性质，结合图像所在的象限，求出m的取值范围．
【解答】∵反比例函数图像在第二、四象限，
∴m＜0
10．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC＝∠BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．
【解答】解：连接AC，BD，
根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，
∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°．
故答案为：＝．
11．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是（2，﹣4）．
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是2．
【分析】根据中线的性质和AB＝AC，可得到AD与AB间关系，利用直角三角形的边角间关系可直接得结论．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝AC．
∵AB＝AC，
∴AD＝AB．
在Rt△ABD中，
tan∠ADB＝＝2．
故答案为：2．
13．若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是（结果保留π）．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵n＝120°，R＝2，
∴S＝＝．
故答案为π．
14．请你写出一个函数，使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，这个函数的解析式可以是（答案不唯一）．
【分析】直接利用反比例函数的性质得出答案
【解答】解：∵当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴只要反比例函数比例系数k＜0就符合题意，
∴（答案不唯一）．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D 在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，
①DA平分∠EDC；
②△AEF∽△DBF；
③∠BDF＝∠CAD；
④EF＝BD．
所有正确结论的序号是①②③．
【分析】根据旋转的性质对①进行判断；利用“两角法”对②中的相似三角形进行判断；
利用三角形的外角性质对③进行判断；利用全等三角形判定的条件对④进行判断．【解答】解：①由旋转的性质知：AD＝AC，∠ADE＝∠C．
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C．
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC．
故①符合题意；
②∵∠E＝∠B，∠AFE＝∠BFD，
∴△AEF∽△DBF．
故②符合题意；
③∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠C+∠CAD，∠ADE＝∠C，
∴∠BDF＝∠CAD．
故③符合题意；
④∵∠F AD不一定等于∠CAD，AD＝AD，∠ADC＝∠ADE，
∴不能证明△ADF全等于△ADC，
故CD不一定等于DF．
∴DE﹣DF＝BC﹣CD不一定成立，即无法证明EF＝BD．
故④不符合题意．
故答案是：①②③．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q （m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是1＜m＜5．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向上，
∴点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），
∵y1＞y2，
∴1＜m＜5，
故答案为1＜m＜5．
三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣+1
＝
＝．
18．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程
组；
（2）通过解方程x2﹣2x﹣3＝0可得到抛物线与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3），
∴，解得，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）．
19．（5分）下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：∠APB，使得∠APB＝30°．
作法：
①分别以点A，B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；
②以点C为圆心，CA的长为半径作⊙C；
③在优弧AB上任意取一点P（点P不与点A，B重合），连接P A，PB．
则∠APB就是所求作的角．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AC，BC．
∵AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ACB＝60°．
∵P是优弧AB上一点，
∴∠APB＝∠ACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理依据）．
∴∠APB＝30°．
【分析】（1）根据小青设计的尺规作图过程，即可补全图形；
（2）根据作图过程可得△ABC是等边三角形，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半．即可完成证明．
【解答】解：（1）补全的图形如图所示：
（2）证明：如图，连接AC，BC．
∵AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ACB＝60°．
∵P是优弧AB上一点，
∴∠APB＝∠ACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∴∠APB＝30°．
故答案为：60；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．
【分析】作DE⊥AC，垂足为E，根据特殊角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，作DE⊥AC，垂足为E，
在Rt△CED中，
∵sin C＝，∠C＝30°，CD＝20m，
∴DE＝10m．
∵cos C＝，
∴．
∴CE＝10（m）．
∵∠ADB是△ACD的外角，
∠ADB＝75°，∠C＝30°，
∴∠CAD＝45°．
在Rt△ADE中，
∵tan∠EAD＝，
∴AE＝10m．
∴AC＝AE+CE＝（10+10）m．
在Rt△ABC中，∵sin∠C＝，
∴AB＝（5+5）m．
答：这棵树AB的高度是（5+5）m．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．
（1）求k，m的值；
（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线P A交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）分两种情况讨论，通过证得△APQ∽△ACB，从而得到，即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝kx+1（k≠0）中，得k+1＝2，
∴k＝1，
将点A（1，2）代入y＝（x＞0）中得m＝2；
（2）①当点P在点A下方时，
过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H，
∵PQ平行于x轴，
∴△APQ∽△ACB，
∴＝，
∴，
∵点A（1，2），
∴点P纵坐标为1．
∵m＝2，
∴．
∴P点坐标为（2，1）．
②当点P在点A上方时，
过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H．
∵PQ平行于x轴，
∴△APQ∽△ACB．
∴（）2＝，
∴，
∵点A（1，2），
∴P点纵坐标为3．
代入得，，
∴P点坐标为，
∴P点坐标为（2，1）或（，3）．
22．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AC，CD分别交于点E，F，且∠DAF＝∠BAC．
（1）求证：直线AF与⊙O相切；
（2）若tan∠DAF＝，AB＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OF．由等腰三角形的性质得出∠OCF＝∠OFC．由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠DCB＝90°．证得∠AFO＝90°．则可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC＝2，求出AF的长，设⊙O的半径为r，由勾股定理得出（2
﹣r）2＝r2+12，解方程可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠DCB＝90°．
又∵∠DAF＝∠BAC，
∴∠AFD＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠AFD+∠OFC＝90°．
∴∠AFO＝90°．
∴OF⊥AF于F．
∴直线AF与⊙O相切；
（2）解：∵tan∠DAF＝，∠DAF＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝．
∵∠B＝90°，
∴tan∠BAC＝＝．
∵AB＝4，
∴BC＝2，
∴．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2．
又∵∠D＝90°，tan∠DAF＝，
∴DF＝AD•tan∠DAF＝2×＝2．
∴AF＝2．
设⊙O的半径为r，在Rt△AFO中，∠AFO＝90°．
∴OA2＝OF2+AF2．
即（2﹣r）2＝r2+12．
解得r＝．
∴⊙O的半径为．
23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．
（1）用含有a的代数式表示b；
（2）求抛物线顶点M的坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．
①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；
②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求得；
（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1．把解析式化成顶点式即可求得；
（3）①当a＝﹣1时，抛物线经过原点，此点关于对称轴的对称点为（2，0），画出图象，根据图象，即可求得；
②分两种情况，当抛物线过（﹣1，0）时和当抛物线过（0，﹣2）时，画出函数的图象，结合图象确定有3个整数点时a的值，进而确定a的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．
∴，
∴b＝﹣2a；
（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1，
配方得：y＝a（x﹣1）2+1．
∴顶点M（1，1）；
（3）①当a＝﹣1时，a+1＝0，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣0），此点关于对称轴的对称点为（2，0），如图1，
由图象可知，区域W内整点有（1，0）1个；
②由①得，a＝﹣1时，区域W内有1个整点．
（Ⅰ）当抛物线过（﹣1，0）时，区域W内恰有3个整点．如图2，
将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，
得，
结合图象可得，；
（Ⅱ）当抛物线过（0，﹣2）时，区域W内恰有3个整点．如图3，
将（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，
得a＝﹣3．
综上所述，a的值范围是或a＝﹣3．
24．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D是射线CA上一点，连接BD，以点B为中心，将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，连接AE．
（1）如图1，当点D在线段CA上时，连接DE，若DE⊥AB，则线段AE，BE的数量关系是AE＝BE；
（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2．
①探究线段AE，BE的数量关系，并证明；
②直接写出线段CD，AB，AE之间的数量关系．
【分析】（1）由旋转的性质得出BD＝BE，∠DBE＝60°，由等腰三角形的性质得出∠DBA＝∠DAB，得出DE是AB的垂直平分线，则可得出结论；
（2）由题意补全图形，
①过点E作EM⊥AB于M．证明△DBC≌△EBM（AAS）．由全等三角形的性质得出BC ＝BM，由直角三角形的性质得出BM＝AB，可得出ME是AB的垂直平分线，则可得出结论；
②由①得出AE＝BD，根据勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）AE＝BE．
∵将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴∠DBA＝∠DBE＝30°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DBA＝∠DAB，
∴DA＝DB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE；
故答案为：AE＝BE．
（2）依题意补全图形：
①AE＝BE．
如图3，过点E作EM⊥AB于M．
∵将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，∴∠EBD＝60°，BD＝BE，
∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝60°+∠ABD，
∠EBM＝∠EBD+∠ABD＝60°+∠ABD，
∴∠DBC＝∠EBM．
在△DBC与△EBM中，
，
∴△DBC≌△EBM（AAS）．
∴BC＝BM．
在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB．
∴BM＝AB．
∴EM垂直平分AB．
∴AE＝BE．
②CD2+．
∵△DBC≌△EBM，
∴BD＝BE，
∵AE＝BE，
∴AE＝BD，
∵∠DCB＝90°，
∴CD2+BC2＝BD2，
∵BC＝AB，
∴CD2+＝AE2．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和点P，给出如下定义：若P A＝PB且点P不在线段AB上，则称点P是线段AB的等腰顶点．特别地，当∠APB≥90°时，称点P是线段AB的非锐角等腰顶点．
（1）已知A（2，0），B（4，2）
①在点C（4，0），D（3，1），E（﹣1，5），F（0，5）中，是线段AB的等腰顶点的是
C，E；
②若点P在直线y＝kx+3（k≠0）上，且点P是线段AB的非锐角等腰顶点，求k的取值
范围；
（2）直线y＝﹣x+与x轴交于点M，与y轴交于点N．⊙P的圆心为P（0，t），半径为，若⊙P上存在线段MN的等腰顶点，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据点P是线段AB的等腰顶点的定义判断即可．
②根据点P是线段AB的非锐角等腰顶点的定义，求出三种特殊情形的k的值，利用图象法判断即可．
（2）如图3中，作线段MN的垂直平分线，当⊙P与线段MN的垂直平分线有交点（线段MN的中点除外）时，满足条件．求出相切时，点P是的坐标，即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，
根据图象结合点P是线段AB的等腰顶点的定义可知，点C，E是线段AB的等腰顶点．故答案为：C，E．
②（Ⅰ）当点（4，0）在直线y＝kx+3上时，4k+3＝0，k＝．
（Ⅱ）当点（3，1）在直线y＝kx+3上时，3k+3＝1，k＝．
（Ⅲ）当点（2，2）在直线y＝kx+3上时，2k+3＝2，k＝．
结合图象可知满足条件的k的值为：且．
（2）如图3中，作线段MN的垂直平分线，当⊙P与线段MN的垂直平分线有交点（线段MN的中点除外）时，满足条件．
当⊙P与线段MN的垂直平分线相切时，P（0，）和P′（0，﹣3），
观察图像可知，满足条件的t的值为：﹣3≤t＜．。