【K12教育学习资料】2018年高考数学二轮复习第二部分专题一函数与导数不等式第3讲不等式与线性规划

第3讲 不等式与线性规划

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c

＜b c

B ．ab c ＜ba c

C ．a log b c ＜b log a c

D ．log a c ＜log b c

解析：法一 依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝1

2.

代入验证A ，B ，D 均是错误的．只有C 正确．

法二 对A ：由于0＜c ＜1，所以函数y ＝x c

在R 上单调递增，则a ＞b ＞1⇒a c

＞b c

，故A 错；

对B ：由于－1＜c －1＜0，所以 函数y ＝x c －1在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＞b ＞1

⇔a

c －1

＜b

c －1

⇔ba c

＜ab c

，故B 错；

在D 项中，易知y ＝log c x 是减函数，所以log c a ＜log c b 因此log a c ＞log b c ，故D 错． 答案：C

2．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是

( )

A ．[－3，0]

B ．[－3，2]

C ．[0，2]

D ．[0，3]

解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.

答案：B

3．(2017·枣庄模拟)若正数x ，y 满足1y ＋3

x

＝1，则3x ＋4y 的最小值是( )

A ．24

B ．28

C ．25

D ．26

解析：因为正数x ，y 满足1y ＋3

x

＝1，

则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x

≥13＋3×2

x y ×4y

x

＝25，当且仅当x ＝2y ＝5时取等号．

所以3x ＋4y 的最小值是25. 答案：C

4．(2017·东莞质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，

若z ＝ax ＋y 的最大值为4，

则a ＝( )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)，

由⎩

⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，

x ＋y ＝2，得B (1，1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .

所以当a ＝－2或－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D ；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，所以2a ＝4，所以a ＝2，排除A ，故选B.

答案：B

5．已知当x ＜0时，2x 2

－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．[22，＋∞] B ．(－∞，2 2 ] C ．(－22，＋∞)

D ．(－∞，－22)

解析：当2x 2

－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2

＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2

＋1x ＝2x ＋1x

.

而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2

（－2x ）×1

（－x ）

＝－2 2.

当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－2

2

时取等号，

所以m ＞－2 2. 答案：C 二、填空题

6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．

解析：当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x

≥1可得x ≤0，

所以不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)

7．(2017·长郡中学二模)曲线x ＝|y －1|与y ＝2x －5围成封闭区域(含边界)为Ω，直线y ＝3x ＋b 与区域Ω有公共点，则b 的最小值为________．

解析：作x ＝|y －1|与y ＝2x －5围成的平面区域如图，

由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝y －1，y ＝2x －5，解得A (6，7)， 平移直线y ＝3x ＋b ，则由图象可知当直线经过点A 时，直线y ＝3x ＋b 的截距最小，此时b 最小．

所以b ＝－3x ＋y 的最小值为－18＋7＝－11.

答案：－11

8．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab 得3a ＋4b ＝ab ，

且a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b

＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫3a b ＋4b a ≥7＋

2

3a b ·4b

a

＝7＋43，

当且仅当3a b ＝4b

a

时取等号．

答案：7＋4 3