2017高二数学-A版选修-回归分析的基本思想及其初步应用
1.11 回归分析的基本思想及其初步应用(文、理)
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用【学习目标】1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量； （2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据． 4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a、b 的意义是：以 a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位． 要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《3.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案
3．1回归分析的基本思想及其初步应用（共计4课时） 授课类型：新授课一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、过程与方法 本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、情感、态度与价值观 通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。
教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。
体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
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阐释回归分析的基本思想在客观世界中，变量间总是相互联系、相互依存的。
变量之间的关系大致可以分为两类：一类是具有确定性的函数关系，另一类是非确定性的关系。
非确定性的关系在统计学中称为相关关系。
回归分析就是通过分析、判断来确定相关变量之间的内在关系的一种统计方法,即寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。
1 相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系。
不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
2 散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图，散点图形象地反映了各对数据的密切程度。
3 求回归直线方程的思想方法：设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数，则，于是得到各个偏差，显见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，采用配方法，可求出使Q为最小值时的a、b的值，即其中。
4 随机误差：当样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上时，可用下面的线形回归模型来表示：y=bx+a+e其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。
5 相关系数：对于任何给定的一组样本()( i =1,2,…n )都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型，相应地就可以得到一条回归直线。
但是，这样的一条回归直线并不是总有意义的，只有当变量X与Y之间确实存在某种因果关系时，其回归直线才有意义。
统计学中要确定变量X和Y之间是否确实存在线性相关，通常利用相关系数来检验。
相关系数记作，它能够较精确地描述两个变量之间线性相关的密切程度。
当>0时称Y与X正相关；当<0时称Y与X是负相关。
6线性回归模型的残差原因：第一是所选择的数学模型不适合，变量间不是线性关系而建立了线性模型；第二是模型中所包含的自变量数目不合适，或是遗漏了某些重要的影响因素，或是包含了不必要的其他因素等。
1知识讲解 回归分析的基本思想及其初步应用(文、理)
回归分析的基本思想及其初步应用1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量； （2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a 、b 的意义是：以a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位．要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。
高中数学人教A版选修2-3：回归分析的基本思想及其初步应用PPT全文课件
现实生活中存在着大量的相关关系：
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等
二、两个变量的线性相关 （1）散点图
正相关、 负相关。
（2）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大 致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具 有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。
解析变量x(身高) 随机误差e
预报变量y(体重)
高中数学人教A版选修2-3：回归分析 的基本 思想及-3：回归分析 的基本 思想及 其初步 应用PPT 全文课 件【完 美课件 】
在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的 随机误差，即 e=y-(bx+a)，它是一个不可观测 的量，那么应如何研究随机误差呢？
3.如果两个变量线性相关,则可以用线性回归模型 来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e 称为随机误差。
4.线性回归模型y=bx+a+e中, 把自变量x称为解释变量， 把因变量y称为预报变量。
^
^
5.残差: ei yi yi
n
^
6.残差平方和:
( yi yi )2
i 1
第一步：列表（把数据整理成表格）；
n
n
第二步：计算：x,
y,
xi
y ， i
x2 ； i
i 1
i 1
第三步：代入公式计算b,a的值；
第四步：写出直线方程：
yˆ bˆx aˆ
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新课讲解
例 从某大学中随机选出8名女大学生，其 身高和体重数据如下表：
人教A版 数学 选修2-3《回归分析的基本思想及其初步应用》
3.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x ＝3， y ＝3.5，
则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( A )
A.y^＝0.4x＋2.3
B.y^＝2x－2.4
C.y^＝－2x＋9.5
D.y^＝－0.3x＋4.4
解析 因为变量x与y正相关，则在线性回归方程中，x的系数应大于0， 排除C，D. 将 x ＝3， y ＝3.5 分别代入 A，B 中的方程，只有 A 满足.故选 A.
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程；
解析答案
(2)求出R2; 解 列表如下：
yi－y^i 0.05
0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ y －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
第三章 统计案例
§3.1回归分析的基本思想及其初步应用
学习 目标
1.了解随机误差、残差、残差图的概念. 2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果. 3.掌握建立线性回归模型的步骤.
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知识点一 回归直线方程 1.回归分析 (1)函数关系：函数关系是一种确定性的关系.例如正方形的周长C＝4a， 周长C与边长a之间就是一种确定性关系，对于自变量(边长)的每一个 确定的值，都有唯一确定的周长与之相对应. (2)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性 的两个变量之间的关系叫作相关关系.相关关系是一种非确定性关系. 回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 叫作回归分析.
人教版数学高二A版选修2-3课堂探究 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
课堂探究探究一 求线性回归直线方程(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．【典型例题1】某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下关系(1)y 与x (方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x ＝42.5，y ＝34， 则求得b ^＝∑i ＝14(x i －x )(y i －y )∑i ＝14(x i －x )2＝－370125≈－3.a ^＝y －b ^x ＝34－(－3)×42.5＝161.5. ∴y ^＝－3x ＋161.5. (2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎫x －251.562＋251.5212－4 845. ∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426.即预测当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．规律总结 先根据所给数据画出散点图，判断y 与x 是否具有线性相关关系，在此基础上利用回归方程系数的有关公式，求出相应的系数，然后结合函数知识求出日销售利润最大时的销售单价．探究二 线性回归分析解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．【典型例题2】在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：且知x 与y 解：x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－4640＝－1.15.∴a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1， ∴回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为∴∑i ＝15(y i －y i ^)2＝0.3，∑i ＝15 (y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15(y i －y i ^)2∑i ＝15(y i －y )2≈0.994.故R 2≈0.994，说明拟合效果较好．规律总结 “相关指数R 2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R 2是用来刻画回归效果的，由R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y i ^)2∑i ＝1n(y i －y )2可知R 2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高， 回归方程预报精度越高．探究三 求非线性回归方程非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图．把它与必修模块数学1中学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．【典型例题3】假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用y (万元)，有如下表的统计资料：若由资料知y (1)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ (3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和． (4)求R 2并说明模型的拟合效果． 解：(1)将已知条件制成下表设回归方程为y ＝b x ＋a ，于是有b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a ^＝y －b ^ x ＝5－1.23×4＝0.08，所以线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元． (3)总偏差平方和：∑i ＝15 (y i －y )2＝15.78，残差平方和：y 1^＝2.46＋0.08＝2.54，y 2^＝3.77，y 3^＝5，y 4^＝6.23，y 5^＝7.46，∑i ＝15 (y i －y i ^)2＝0.651，回归平方和：15.78－0.651＝15.129.(4)R 2＝1－∑i ＝15(y i －y i ^)2∑i ＝15(y i －y )2＝1－0.65115.78≈0.958 7，模型的拟合效果较好，使用年限解释了95.87%的维修费用支出． 规律总结 把非线性回归问题转化为线性回归问题，拓展了解题思路． 探究四 易错辨析易错点 残差平方和与相关指数的理解不清致误【典型例题4】对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 错解：B错因分析：对残差平方和和相关指数R 2理解错误．正解：R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好． 答案：C。
人教版数学高二A版选修2-3目标导引3.1回归分析的基本思想及其初步应用
高中数学打印版3.1 回归分析的基本思想及其初步应用一览众山小三维目录1.通过收集现实问题中的两个有关联变量的数据作出散点图，并能利用散点图直观认识两变量的相关关系.通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用.2.通过对案例的分析，学会对数据的收集、整理和分析，增强社会实践能力，提高解决问题的能力.学法指导本节内容较为抽象，在学习前应先对抽样方法、数据的收集处理、回归直线方程、用样本估计总体等知识进行复习.本节的学习一定要注重对案例的分析，要通过一些具体的实例来理解分析的方法及应用，再应用到实际问题中.同时要理论联系实际，以起到加深理解，帮助接受的作用.诱学导入在实际问题中我们常常会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们互相联系、互相制约.有的变量之间有完全确定的函数关系，例如电压U、电阻R与电流强度之间有关系式：U＝IR，在圆面积S与半径R之间有关系式S=πR2.另外还有一些变量，它们之间也有一定的关系，然而这种关系并不完全确定，例如正常人的血压与年龄有一定关系，一般讲年龄大的人血压相对会高一些，但它们之间的关系就不能用一个确定的函数关系式表达出来.回归分析是对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用方法.相关关系又分线性相关关系和非线性相关关系.一般地，把两个变量分为解释变量ｘ与预报变量ｙ，作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关.若线性相关，可能利用回归直线方程来解决相关的实际问题.问题：从上述材料知道，判断两个变量是否线性相关的关键是做散点图，并观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近来判定.那么，如果作图不准，出现误差怎么办？怎么样更好地判定两个变量相关关系的强弱？导入：通过散点图作相关性检验，由于它直观方便，所以对解决相关性检验问题比较常用，但在作图中，由于存在误差，有时很难说这些点是不是分布在一条直线的附近，这时就很难判定两个变量之间是否具有相关关系.因此单纯的由散点图判断主观性太强.出现这种情况时，我们通常在回归分析时用相关系数ｒ来检验两个变量间相关关系的强弱.公式及公式的应用就是本节重要内容之一.精心校对版本。
高二数学人教A版选修1-2课件：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
知识精要
典题例解
迁移应用
由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适. (4)计算得相关指数R2=0.985 5,说明了该运动员成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
为了研究三月下旬的平均气温x(℃)与四月二十日前棉花害虫化蛹高峰日y(日)的关系,某地观察了2008年至 2013年间的情况,得到下面数据表:
一 二三
知识精要
【例2】 某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下:
典题例解
迁移应用
训练次数(x) 30 33 35 37 39 44 46 50
成绩(y)
30 34 37 39 42 46 48 51
(1)作出散点图; (2)求出线性回归方程; (3)作出残差图,并说明模型的拟合效果; (4)计算R2,并说明其含义. 思路分析:先画出散点图,确定是否具有线性相关关系,求出回归方程,再求出残差,确定模型的拟合效果和R2 的含义.
其估计值为
���^��������� =yi-���^��������� =yii=-���1^���,2x,…i-���,^n���,,
���^���称������ 为相应于点(xi,yi)的残差.
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预习导引
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3.回归模型拟合效果的刻画
类别 特点
残差图法
残差点比较均匀 地落在水平的带 状区域中,说明选 用的模型比较合 适,这样的带状区 域的宽度越窄,说 明模型拟合精度 越高
5
∑ ���������2��� =882+762+732+662+632=27 174.
人教版数学高二新人教A版选修2-3 3.1《回归分析的基本思想及其应用研析》文字素材3
回归分析的基本思想及其应用研析回归分析是研究如何从样本的统计性质去推测相应总体的统计性质，即如何根据样本去探求有关总体的规律性，是统计学中一种重要的方法，体现了统计的基本思想。
回归分析，从所收集数据的特点，找出一条最接近的直线方程，即线性回归方程，而把其他一些不具有线性回归关系的数据用一种线性回归方程进行拟合，给出数据之间类似函数的一种关系，体现了从特殊到一般的基本思路，使对不确定关系的预报成为一种可能。
回归分析不仅体现了统计的基本思想，还提供了建立数学模型的一种基本方法，回归分析可以总结很多数学或者生产、生活中的规律，比如人的身高与体重的关系、水稻的产量与施肥量的关系等。
例1．高一·一班学生每周用于数学学习的时间x (单位:h)与数学成绩y (单位:分)之间有如下对应数据:如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.分析：本题考查求回归直线方程的方法及回归直线的应用.可以直接代入相关公式得出回归直线方程。
解析：本题数据表中，自变量x 的取值没有按从小到大排列，这更接近实际，对结论没有任何影响。
从表中看出：同样是每周用16 h 学数学，一位同学成绩是64分，另一位却是68分，这反映了y 与x 只有相关关系，没有函数关系。
列出下表，并用科学计算器进行有关计算.设回归直线方程为yˆ=bx +a , 则b =53.34.1544.545101022101101≈=-∑-∑==xx yx y x i i i i i , a =5.134.1753.39.74≈⨯-=-x b y ,因此所求的回归直线方程是yˆ=3.53x +13.5. 评注：最小二乘估计是求回归直线方程的常用方法，通过本题的解答可以体会最小二乘估计的优越性。
为了计算方便，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量，进而求得回归直线方程。
（备选例 1 ）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间。
为此进行了10次试验，测得数据如下：请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程。
人教版数学高二教学设计1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一)
回归分析的基本思想及其初步（一）【学情分析】：教学对象是高二文科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。
在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。
【教学目标】：（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：1、了解线性回归模型与函数模型的差异；2、了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
【教学难点】：1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；2、了解偏差平方和分解的思想。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试1． 设有一个回归方程为x y 5.22ˆ-=，则变量x 增加一个单位时，则（ C ）A ．y 平均增加5.2个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少5.2个单位D ．y 平均减少2个单位2． 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ）A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上3． 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为a x by ˆˆˆ+=必过（ D ） A ．（2，2）点 B ．（1.5，0）点 C ．（1，2）点 D ．（1.5，4）点4． 已知两个相关变量x 与y 具有线性相关关系，当x 取值1，2，3，4时，通过观测得到y的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ）A ．(2，4.9)B ．(3，8.1)C ．(2.5，7)D ．(2.5，6.75)5． 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ C ） A ．身高一定是145.83cm B ．身高在145.83cm 以上C ．身高在145.83cm 左右D ．身高在145.83cm 以下6． 在一次实验中，测得（x ，y ）的四组值分别是A （1，2）、B （2，3）、C （3，4）D （4，5），则y 与x 之间的回归直线方程为（ A ）A ．1ˆ+=x yB ．2ˆ+=x yC ．12ˆ+=x yD ． 1ˆ-=x y7． 有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学号之间的关系。
人教新课标版数学高二人教A选修2-3教案 回归分析的基本思想及其初步应用(1)(讲)
3．1.1回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】1.了解回归分析的基本思想方法及其简单应用.2.会解释解释变量和预报变量的关系.【教学重难点】教学重点：回归分析的应用. 教学难点：a 、b 公式的推到. 【教学过程】 一、设置情境，引入课题引入：对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：a y bx =-121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑11n i i x x n ==∑11ni i y y n ==∑(,)x y 称为样本点的中心。
如何推到着两个计算公式？二、引导探究，推出公式从已经学过的知识，截距a 和斜率b 分别是使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](ni i i ni i i i i nni i i i i i Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+-----+--=---+-----+--∑∑∑∑）+））]）]）））]）]））因为1111[((([(([(]([(]0,nniiiii i n ni i i i y x y x y x y x y x y x y x y x n y x y x ny n x n y x βββαβαβββαβββαββ====-----=-----=-----=-----=∑∑∑∑）]）））]））））所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()ni i i nn nii i i i i i nniii i ni i i i nni i iii i Q y x y x n y x x x x x y y y y n y x x x y y x x y y n y x x x y y x x x x αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑ 上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，即有121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑y x αβ=-通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出。
高二人教A版数学选修导学案：回归分析的基本思想及其初步应用
31回归分析的基本思想及其初步应用 3．1.1回归分析的基本思想及其初步应用课前预习学案一、预习目标通过截距$a 与斜率b $分别是使21(,)()ni ii Q y x αββα==--∑取最小值时，求,αβ的值。
二、预习内容:1. 对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y L 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式：$a= ，b $= 2．x = , y = 3．样本点的中心三、提出问题如何使 (,)Q αβ值最小，通过观察分析式子进行试探推到课内探究学案 一、学习目标1. 了解回归分析的基本思想和方法 , 培养学生观察分析计算的能力 二、学习重难点学习重点：回归方程$$y bxa =+$， 学习难点：$a、b $公式的推到 三、学习过程1．使(,)Q αβ值最小时，,αβ值的推到2．结论121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑ y x αβ=-3．$$y bxa =+$中$a 和b $的含义是什么 4. (,)x y 一定通过回归方程吗？四、典型例题例1．研究某灌溉倒水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：分析：（1）y 与x 的回归直线方程为$0.7330.6948y x =+ （2）当水深为1.95m 时，可以预测水的流速约为2.12m/s 五、当堂练习1.对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y L 则下列说法不正确的是（ ）A.由样本数据得到的回归方程$$y bxa =+$必过样本中心(,)x y B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 与x 之间的相关系数0.9362r =-，则变量y 与x 之间具有线性相关关系2.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg 与每单位面积蔬菜年平均产量yt 之间的关系有如下数据：菜的年平均产量.（已知1515211101,10.11,161,16076.8ii i i i x y xx y ===≈==∑∑）课后练习与提高1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y(吨标(1)请画出上表数据的散点图；=+；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$y bx a(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？⨯+⨯+⨯+⨯=）（参考数值：3 2.543546 4.566.5解：（1）由题设所给数据，可得散点图如下图产量：吨)3．1.2回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用课前预习学案一、预习目标1 了解相关系数r 和相关指数R2 2 了解残差分析3 了解随机误差产生的原因 二、预习内容 1 相关系数r①()()niix x y y r --=∑②r>0表明两个变量 ；r<0表明两个变量 ；r 的绝对值越接近1，表明两个变量相关性 ，r 的绝对值越接近0,表示两个变量之间 当r 的绝对值大于 认为两个变量具有很强的相关性关系。