18年中考复习第28讲 圆和圆(含答案)

第28讲圆和圆
◆考点链接
1．圆和圆的位置关系、两圆连心线垂直平分公共弦或过切点；
2．两圆内、外公切线长的计算公式．
◆典例精析
【例题1】（大连）如图，以⊙O上一点P为圆心作⊙P，•
交⊙O于A、B两点，过点P的直线交⊙P于点G、D，交⊙O于
点C，直线CA、CB分别交⊙P于点E、F，连结DF、•EG、BG．
求证：DF·CE=EG·CD．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少要写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，•可以从下列①②③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①AE=AF；②AD=DF；③EG=BG．
解题思路：本题证明方法很多，但不管什么方法，都必须先设法证明△CDF•∽△CEG．证明时充分利用点P既是⊙P的圆心，又在⊙O上以及点P在线段CG上，•因此构造辅助线时，可从点P出发考虑，如连结OA、OE、OB，还可过点P作弦心距等都是很好的方法．【例题2】（甘肃）如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系是（）．
A．y=1
4
x2+x B．y=-
1
4
x2+x C．y=-
1
4
x2-x D．
1
4
x2-x
解题思路：本题属于在几何图形中求两个变量的函数关系的题型，如何利用几何图形的性质求出两个变量的对应关系式，进而把有关的量用函数的自变量表示，再代入对应关系式，化成函数关系式．
解：连结OO1、O1M，则OO1=1
2
AB-y=2-y，
OM=1
2
AB-AM=2-x，
O1M=y，∠O1MO=90°，∵OM2+O1M2=OO12，∴（2-x）2+y2=（2-y）2
整理，得y=-1
4
x2+x，故选B．
◆探究实践
【问题1】（太原）如图，⊙O2与半圆O1内切于点C，与半圆的半径AB切于点D，•若AB=6，⊙O2的半径为1，则∠ABC的度数为______．
解题思路：本题考查两圆位置关系及“直径所对的圆周角为
直角”等知识，连结AC，BC，通过O1，O2和C点共线，则O2C=1，
O1C=3，故O1O2=2，而O2D=1，且O2D⊥AB，所以∠O2O1D=30°，
又由∠CO1B=2∠CAB，所以∠CAB=15°，又由∠ACB=90°，可知∠ABC=75°．【问题2】（威海）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，若分别以点A、C•为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，则⊙A的半径r的取值范围是________．解题思路：本题考查了两圆相切的有关计算，要从连心线与半径的关系方面考虑．答案：1<r<8或18<r<25
◆中考演练
一、填空题
1．若⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是4，O1O2=8，则这两圆的位置关系是_____．
2．已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距为______cm．
3．⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P为圆心，且与⊙O•相切的圆的半径一定是_______．
二、选择题
1．如果两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为10cm，那么这两圆的公切线共有（• ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（长春）如图，半径相等的两个圆相交于A、B两点，若∠ACB=40°，
•则∠ADB的度数是（）．
A．80° B．60° C．40° D．20°
3．（四川）已知相交两圆的半径分别是5和8，那么这两圆的圆心距d的取值范围是（）． A．d>3 B．d<13 C．3<d<13 D．d=3或d=13
三、解答题
1．（盐城）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图8-3-5甲），AP、BP的延长线分别交⊙O•′于点C、D，连接CD，则△PCD是_______．
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图8-3-5乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：
问题1：判断△PEF的形状，并证明你的结论；
问题2：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．
我选择问题_______，结论：_________．
证明：
2．（南通）如图8-3-6，已知：AO为⊙O的直径，⊙O与⊙O的一个交点为E，直线AO•交⊙O于B、C两点，过⊙O上一点G作⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周长．
◆实战模拟
一、填空题
1．（河南）平面内两圆半径恰好为方程x2-8x+6=0的两个根，圆心距d=5，•这两个圆的位置关系是_______．
2．矩形ABCD中，如图1，两个半径都为5cm的圆外切，•且每个圆分别与矩形的两边相切，CD=16cm，则AD长为________cm．
(1) (2) (3)
3．（天津）如图2，已知两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，•一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O1于C，MD切⊙O2于点D，若∠BCD=30°，则∠M•等于________度．
二、选择题
1．（广州）如图3，⊙O1、⊙O2内切于点A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P•是⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB与⊙O2相切于点B，
则PB
PC
=（）．
A．3
2
D．
2
2．（陕西）如图5，⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，则O1A的长为（）．
A．2 B．4 C
(4) (5)
3．（武汉）如图6，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，直线O1O2交两圆于点C、D，•若∠O1AO2=40°，则∠CBD等于（）．
A．110° B．120° C．130° D．140°
三、解答题
1．（成都）已知：如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O•分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD．
（1）求证：△ACG∽△DBG；（2）求证：AC2=AG·AB；
（3）若⊙A、⊙O直径分别为15，且CG：CD=1：4．求AB和BD的长．
2．（宁波）已知AB是半圆O的直径，AB=16，P点是AB上的一动点（不与A、B重合），•PQ ⊥AB，垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切，•切点分别为M、N、C．
（1）当P点与O点重合时（如图甲），求⊙O2的半径r；
（2）当P点在AB上移动时（如图乙），设PQ=x，⊙O2的半径为r，求r与x• 的函数关系式，并求出r的取值范围．
答案:
中考演练
一、1．外离 2．1或5 3．1或5
二、1．D 2．C 3．C
三、1．（1）等腰Rt △ （2）1．△PEF 是等腰直角三角形，∵∠AQP=∠FQP=∠PEF=•45°
2．AE ⊥BF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AQB=90°
3．如图，（1）证AE ⊥OE ．
（2）由切割线定理，得AE 2
=AB ·AC ，得AC=18，⊙O 的半径为8，⊙O 的半径为5． 由Rt △AOE ∽Rt △ODG ， 6810,,83240,,33AE OE AO OG DG OD DG OD DG OD ∴
====∴==即 ∴△ODG 的周长为OG+DG+OD=32
实战模拟
一、1．内含 2．18 3．60
二、1．B 2．C 3．A
三、1．（1）∠ACD=∠ABD ，∠AGC=∠BGD ，∴△ACG ∽△DBG ，
（2）CD ⊥AB ，∴∠ACD=∠ABC ，△ACG ∽△ABC ，故AC 2=AG·AB
（3）AC 2=AF·AE ，∴AF=3，CF=6，CG=GF=3，DG=9，
∴
AB=2,2AC BD AG ==2．（1）连CO 2、OO 2、O 1O 2，作O 2D ⊥AB 于D ，由OO 22-OD 2=O 1O 22-O 1D 2，
有（8-r ）2-r 2=（r+4）2-（4-r ）2，得r=2
（2）连O 2O ，O 2O 1，作O 2D ⊥AB 于D ，设⊙O 1半径是a ，则由PQ 2=AP·PB ，
有x 2=2a （16-2a ）=4（•8a-a 2），又由O 1O 22-O 1D 2=OO 22-OD 2，
得（a+r ）2-（a-r ）2=（8-r ）2-（2a-r-8）2，得8r=8a-a 2，
1 32x2，∵0<x≤8，∴0<r≤2．
∴x2=32r，即r=。