【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2015-2016学年高二上学期滚动训练(四)数学试题解析(解析版)

（必修①②③④⑤+选修1-1简易逻辑）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设全集U 是实数集R,M={x|24x >},N={x|2
11
x ≥-},则右图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|21x -≤<}
B.{x|22x -≤≤}
C.{x|12x <≤}
D.{x|x<2} 【答案】C
考点：韦恩图与集合的关系。

2.函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )
【答案】A 【解析】
试题分析：易知函数值恒大于等于零，同时在(0,1)上单调递减且此时的图像是对数函数x y 2log =的图像
关于x 轴的对称图形，在），（∞+1单调递增。

故选A 。

考点：已知函数解析式作图。

3.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有( )
A.①②③⑤
B.②③④⑤
C.①②④⑤ D .①②③④
【答案】D 【解析】
试题分析：因几何体的正视图和侧视图一样,所以易判断出其俯视图可能为①②③④,故选D. 考点：三视图。

4.若点(1，a )到直线x －y ＋1＝0的距离是32
2
，则实数a 为( )．
A ．－1
B ．5
C ．－1或5
D ．－3或3 【答案】C 【解析】
试题分析：由点到直线距离公式：|1－a ＋1|2＝32
2，∴a ＝－1或5，故选C.
考点：点到直线距离公式。

5. 两圆2
2
421x y x y +-++=0与2
2
441x y x y ++--=0的公切线有( ) A.1条 B.2条
C.4条
D.3条
【答案】D
考点：求两圆的公切线。

6. 高二（8）班参加学校纪念“一二·九”学生爱国运动七十九周年合唱比赛的得分如茎叶图所示,根据比赛规则应去掉一个最高分和一个最低分，则最后成绩的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91. 5
B.91.5和91
C.91和91.5
D.92和92
【答案】
A
考点：数据的数字特征。

7.在区间[,]22ππ
-
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21
之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.3
2 【答案】A 【解析】
试题分析：在区间[,]22ππ
-
上随机取一个数x,即[,]22x ππ∈-时,要使cos x 的值介于0到2
1
之间,需使2
3
x π
π
-
≤≤-
或
3
2
x π
π
≤≤
，区间长度为
3
π
，由几何概型知cos x 的值介于0到
2
1
之间的概率为313=ππ
.
故选A.
考点：几何概型的概率计算。

8.命题 p: ∀x ∈[0 , ＋∞), (log 32)x
≤1，则( )
A ．p 是假命题，﹁p ：∃x 0∈[0，＋∞)，
1)
2(log 0
3>x
B ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x
≥1 C ．p 是真命题，﹁p: ∃x 0∈[0，＋∞)，1)
2(log 0
3>x
D ．p 是真命题，﹁p: ∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x
≥1 【答案】C 【解析】
8 9 7 0
9 3 1 6 4 0 2 8
试题分析：因为x ≥0时， (log 32)x
≤1，所以命题p 是真命题，﹁p: ∃x 0∈[0，＋∞), 1)2(log 0
3>x .故
选C.
考点：命题的否定及命题的真假判断。

9. 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若b b a a c )(∙-=，则||c 等于( )．
A ．4 2 B.2 5 C ．8 D.8 2
【答案】D
考点：向量的数量积及模长计算。

10.将函数y=sin(6x+)4π的图象上各点向右平移8
π个单位,则得到新函数的解析式为( )
A.y=sin (6)2x π-
B.y=sin (6)2x π+
C.y=sin 5(6)8
x π+
D.y=sin (6)8
x π+
【答案】A 【解析】
试题分析：新函数解析式为y=sin [6()]84x ππ-+=sin (6)2
x π-,故选A.
考点：图像平移。

【方法点睛】图像的左右平移：（1）①当0>ϕ时，函数()y f x =的图像向左平移ϕ个单位得到函数
)(ϕ+=x f y 的图像；②当0<ϕ时，函数()y f x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数)(ϕ+=x f y 的图
像。

（2）①当0>ϕ时，函数()y f x ω=的图像向左平移ϕ个单位得到函数][）（ϕω+=x f y 的图像；②当0<ϕ时，函数()y f x ω=的图像向右平移ϕ个单位得到函数])([ϕω+=x f y 的图像。

11.已知a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )
A ．ab 2
＜ab ＜a B ．a ＜ab ＜ab 2
C ．ab ＞b ＞ab 2
D ．ab ＞ab 2
＞a
【答案】D 【解析】
试题分析：a ab ab a b b b >>⇒⎭
⎬⎫<<<⇒<<-220101，故选D 。

考点：比大小。

【方法点睛】比大小常用的方法是比较法：分为作差法和作商法。

作差法是两式相减化为积的形式或者多项式和的形式，然后与零作比较，多项式的形式常用作差法；幂指对得形式常作商，作商是与零作比较，但要注意提前判定两项是同正或同负。

12. 实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≥-≥0
2200
y x y x y 则1++=x y x z 的取值范围是( )
A.]34,0[
B.]34,21[
C.),21[+∞
D. )2,2
1[ 【答案】
D
考点：线性规划求值域。

【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y 轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z 的值域；（4）总结结果。

另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解。

例如目标函数为2
2
y x z +=可看作是可行域内的点（x,y ）与点（0，0）两点间的距离的平方；目标函数
1
1
11111+-+=+-++=++=
x y x y x x y x z 可看作点(-1,1)到平面区域上点的斜率加1的取值范围, 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若⎩⎨
⎧≥<+=6,log 6),4()(2
x x x x f x f 则)2016(f 的值为 【答案】3
【解析】
试题分析：38log )8()4()0()2016(2=====f f f f . 故填写3。

考点：①分段函数求值；②函数的周期性。

14. 运行如右图所示的程序，输出的结果是_______。

【答案】3 【解析】
试题分析：按步骤执行易知，输出的结果为3. 考点：框图运算。

15. 已知向量)3,(),1,0(),1,3(k =-==，b a -2与c 平行，则实数k= . 【答案】
2
考点：向量共线的充要条件。

【方法点睛】向量共线的充要条件（1）向量a 与非零向量b 共线的充要条件是存在实数λ使b a λ=；（2）向量),(),,(2211y x y x ==共线的充要条件是01221=-y x y x .本题是考查第（2）种形式，即坐标式，从而列出关于k 的方程求解即可。

16. (1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan43°)(1+tan44°)= . 【答案】22
2
考点：两角和的正切公式的灵活运用。

【思路点睛】注意观察题目中的角及三角函数名称，可想到与两角和的正切公式有联系，所以通过两角和的正切公式得到：若A+B=45°，则(1+tanA)(1+tanB)=2。

然后设s=(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan43°)(1+tan44°),则s=(1+tan44°)(1+tan43°)…(1+tan2°)(1+tan1°),所以以上两式相乘得，
2244222=∴=s s ,.三角函数一章中，公式多、运用灵活，所以应多练、多总结。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在△ABC 中,内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c =2,3
C π=.
(1)若△ABC 求a 与b 的值; (2)若sinB=2sinA,求△ABC 的面积.
【答案】（1）a=2,b=2；（2）S =。

【解析】
试题分析：（1）结合已知条件由三角形的面积公式、余弦定理列出关于a ，b 的方程组求解即可；（2）由正弦定理得到b=2a,然后由余弦定理得到a,b 的另一等量关系，解方程组求出a,b ，然后由面积公式求解即可。

试题解析：(1)由余弦定理及已知条件,得22a b +-ab=4,
又因为△ABC
所以12
ab sin C =
得ab=4.
联立方程组 2244a b ab ab ⎧+-=,
⎨=,⎩
解得a=2,b=2.
(2)由正弦定理,sinB=2sinA 化为b=2a,
联立方程组 2242a b ab b a ⎧+-=,
⎨=,⎩
解得a b =
=.
所以△ABC 的面积12S ab =sin C =
.
考点：①正弦定理、余弦定理的应用；②三角形的面积公式。

18.已知函数()x f x a =的图象过点1(1)2
,,且点2(1)(n
a n n n
-,
∈N *)在函数()x f x a =的图象上. (1)求数列{n a }的通项公式;
(2)令112
n n n b a a +=-,若数列{n b }的前n 项和为n S ,求证:5n S <.
【答案】（1）212
n n n a -=；（2）证明过程详见解析。

考点：①求数列通项公式；②错位相减法求数列的前n 项和。

19.某体育兴趣小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2
）
如下表所示：
（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； （2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率． 【答案】（1）
21；（2）10
3。

考点：古典概型的概率计算。

20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、
BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
【答案】（1）、（2）证明过程详见解析；。

考点：①平面与平面的垂直；②直线与平面的平行；③求锥体的体积。

21.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组
及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
【答案】（1）0.9；（2）a=0.085,b=0.125;(3)平均数在第4组.
考点：频率分布表和频率分布直方图的应用。

【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值
乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m,两侧的样本数据的概率相等且为2
1，则m 即为中位数。

22.证明“0≤a ≤16
”是“函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数”的充分不必要条件． 【答案】证明过程详见解析。

考点：充分性、必要性的证明。

【方法点睛】充分性、必要性的证明和判断问题实质是命题的真假性问题。

常常用集合的观点理解和应用。

（1）①若q p ⇒,p q ⇒则p 是q 的充分必要条件；②若p q q p ⇒≠>,，则p 是q 的必要不充分条件；③若p q q p ≠>⇒,，则p 是q 的充分必要条件；④若p q q p ≠>≠>,，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

(2)如果命题p:用集合A 表示，命题q:集合B 表示，则：①p 是q 的充分必要条件B A =⇔；②p 是q 的必要不充分条件A B ≠⊂⇔；③p 是q 的充分必要条件B A ≠
⊂⇔；④p 是q 的既不充分也不必要条件A B B A ⊄⊄⇔，。

：。