线性系统理论(第二章)

x = Ax + Bu , x(0) = x0 , t ≥ t0
第二章
其中，x 为 n 维状态向量，称满足如下的矩阵方程： 维状态向量，称满足如下的矩阵方程： 其中，
Φ (t t0 ) = AΦ (t t0 ) , Φ (0) = I , t ≥ t0
的 n×n 解阵 Φ(t t0 ) 为系统的状态转移矩阵。 为系统的状态转移矩阵。
u = 0 , x = Ax, x(0) = x0 , t ≥ 0
维状态向量， 常阵。 x 为 n 维状态向量， A 为 n × n常阵。 的矩阵函数： 的矩阵函数：
∞
n×n
At
1 22 1 k k e = I + At + A t + = ∑ A t 2! k =0 k !
称为矩阵指数函数。 称为矩阵指数函数。
第二章
②令 t 和 为两个自变量， τ 为两个自变量，则必成立
e
③
A ( t +τ )
=e
(e
At
At
e
1
Aτ
=e
At
Aτ
e
At
e
At 总是非奇异的，且其逆为 总是非奇异的，
)
= e
④ 设有 n × n 常阵 A 和 F ，如果 A 和 F 是可交换的， 是可交换的， 即 A F = F A ，则必成立
别为 n×n 和 n× p 常阵。 常阵。
第二章
结论 2 ：零状态响应的表达式为： 零状态响应的表达式为：
φ (t; 0 , 0 , u ) =
At At
∫
t 0
e
A (t τ )
B u (τ ) d τ
,
t ≥ 0
证 ：考虑如下的显等式： 考虑如下的显等式：
d dt
e
x=( e
d dt
At
)x + e
At
At
x
=e
[ x Ax ] = e
Bu (t )
对上式从 0 至 t 进行积分，得到 进行积分，
e
At
x ( t ) x (0) =
∫
t 0
e
Aτ
Bu (τ ) d τ
第二章
x ( 0 ) = 0 ，等式两边左乘
e
At
，得
Aτ
φ (t ; 0 , 0 , u ) =
α 0 (t ),α1 (t ),,α n 1 (t )
α 0 ( t ) 1 α (t ) 1 1 = α n 1 ( t ) 1
λ1 λ2
λ1 λ22
2
λn
λn 2
λ n n 1
λ1 e λ t λt n 1 λ2 e
]
或
x = A x + B u , x (0) = x 0 , t ≥ 0
第二章
分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变 分析：从数学模型出发， 化规律，为系统的实际运动过程作出估计。 化规律，为系统的实际运动过程作出估计。 数学：给定初始状态 x 0 和外输入作用 u ，求解出状态方程 数学： 的解。 的解。 由初始状态和外输入作用所引起的响应。 由初始状态和外输入作用所引起的响应。 系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应， 系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形 态主要是由系统的结构和参数所决定的， 态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决 定的。 定的。 状态方程的解 x (t ) 给出了系统运动形态对系统的结构和参数 的依赖关系。 的依赖关系。
λ1
0 0 0
λ1t
0 1
λ1
0 0
0 0 0
λ2
0
Q 1 λ2 0 0 0 1
e 0 e At = Q 0 0 0
te e
λ1t
t
λ1t
te
2 e λ1t 2! λ1t
0 0 0 e λ2 t 0
0 0 0
e 0 0
λ1t
0 0 Q 1 0 λ2 t te e λ2 t
→
第二章
零输入响应和零状态响应 线性系统满足叠加原理 在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分 在初始状态和输入向量作用下的运动， 运动。 运动。 初始状态 → 自由运动。 自由运动。 输入作用 → 强迫运动。 强迫运动。 自由运动： 自由运动：系统的自治方程
x = A (t ) x
第二章
解的存在性和唯一性条件 状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时， 状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动 分析才有意义。 分析才有意义。 时变系统而言，矩阵 A ( t ) 和 B (t ) 的所有元在时间定义区间 时变系统而言，
[t 0 , t α ] 上均为 t
定义区间 [t 0 , t α 存在且唯一。 存在且唯一。
第二章
②如果系统矩阵 A 的
n 个特征值 λ1 , λ2 ,, λn为两两相异， 为两两相异，
则在定出使 A 实现对角线化
λ1 A= P
有
P 1 的变换阵 λn
P 及其逆阵 P 1 后，
eλ1 1 At e = P P λn e
第二章
λ1 0 A =Q0 0 0 1
∫ [b (t)] dt <∞ ,
tα 2 t0 ik
i =1,2,, n, k =1,2,, p
③ u ( t ) 的各元 uk (t )在 [t 0 , t α ]上是平方可积的， 上是平方可积的， 即：
∫ [u (t)] dt <∞ ,
tα
2
t0
k
k =1,2,, p
第二章
利用许瓦兹不等式有
x 0 和外输入作用 u 的线性定常系统的状
态运动规律，即状态方程的一般形式， 态运动规律，即状态方程的一般形式，
x = Ax + Bu , x(0) = x0 , t ≥ 0
结论 3 ：
φ ( t ; 0, x 0 , u ) = e x 0 + ∫ e A ( t τ ) Bu (τ ) d τ , t ≥ 0
① A ( t )的各元 aij (t )在 [t 0 , t α ] 上是绝对可积的， 上是绝对可积的， 即：
∫Leabharlann tαt0aij (t ) dt < ∞ , i, j = 1, 2,, n
② B ( t )的各元 bik (t )在 [t 0 , t α ] 上是平方可积的， 上是平方可积的， 即：
Φ (t ) = e
A (t)
,
t ≥ 0
Φ (t t0 ) = e A( t t0 ) , t ≥ t0
则零输入响应的表达式为： 则零输入响应的表达式为：
φ(t;0, x0 ,0) = Φ(t)x0 , t ≥ 0
φ (t ; t0 , x0 ,0) = Φ (t t0 ) x0 , t ≥ t0
第二章
定性分析： 定性分析：对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的 几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等， 几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等，进行定性 分析。 分析。 2.1 引言 运动分析的实质 状态方程为： 状态方程为：
x = A (t ) x + B (t )u x (t0 ) = x0 , t ∈ [t 0 , t α
∑∫
k =1
p
tα t0
b ik ( t ) u k ( t ) d t
1 2
≤
∑
p
k =1
tα [b ( t ) ]2 d t i tα [u ( t ) ]2 d t ik ∫t0 k ∫t0
②和③等价于 B ( t ) u ( t )的元在区间 [t 0 , t α ]上绝对可积。 上绝对可积。 对于线性定常系统： 均为常阵， 对于线性定常系统：系数矩阵 A 和 B 均为常阵，只要其元 的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。 的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。
,
x ( t 0 ) = x 0 , t ∈ [t 0 , t α
]
φ 的解， 零输入响应。 的解， ( t ; t 0 , x 0 , 0) ，零输入响应。
第二章
强迫运动： 强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程
x = A (t ) x + B (t )u
,
x ( t 0 ) = x 0 , t ∈ [t 0 , t α
=
∫
t 0
e e
At
B u (τ ) d τ
证毕
∫
t 0
e
A (t τ )
B u (τ ) d τ
如 t ≥ t 0 ，而 t 0 ≠ 0 ，则
φ (t ; t0 ,0, u ) = ∫ e
t0
t
A ( t τ )
Bu (τ )dτ , t ≥ t0
第二章
线性定常系统的状态运动规律 同时考虑初始状态
的实值连续函数，而输入 u (t ) 的元在时间 的实值连续函数，
] 上是连续实函数，则其状态方程的解 x(t ) 上是连续实函数，
这些条件对于实际的物理系统总是能满足的， 这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观 点而言，条件太强了，将其减弱为： 点而言，条件太强了，将其减弱为：
第二章
At 0
t
或
φ (t; t0 , x0 , u) = e
A( t t0 )
x0 + ∫ e A(t τ ) Bu (τ )dτ , t ≥ t0
t0
t
第二章
物理含义： 物理含义： 系统的运动由两部分组成， 系统的运动由两部分组成， 初始状态的转移项。 初始状态的转移项。 控制输入作用下的受控项。 控制输入作用下的受控项。 2.3 线性定常系统的状态转移矩阵 由初始状态引起的运动，由输入作用引起的运动，都是一 由初始状态引起的运动，由输入作用引起的运动， 状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。 状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。 定义 ：对于给定的线性定常系统
n 1
1 2
1
e λn t
④对给定 n×n 常阵 A ，先求出预解矩阵， 先求出预解矩阵，
第二章
1
( sI A)
则有 零状态响应
e At = L1 ( sI A) 1
给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程
x = Ax + Bu , x (0) = 0, t ≥ 0
u 其中，x 为 n 维状态向量， 为 p 维输入向量，A 和 B 分 维状态向量， 维输入向量， 其中，
第二章
对线性定常系统的零输入响应 结论 1
x = Ax , x (0) = x 0 , t ≥ 0
输入响应的表达式为： 输入响应的表达式为：
所描述的线性定常系统的零
φ (t ;0, x0 ,0) = e x0 , t ≥ 0
At
矩阵指数函数的性质和计算方法 基本性质
lime At = I ① t →0
]
的解， φ ( t ; t 0 , 0, u ) ，零状态响应。 零状态响应。 的解， 系统响应： 系统响应：
φ ( t ; t 0 , x 0 , u ) = φ ( t ; t 0 , x 0 , 0) + φ ( t ; t 0 , 0, u )
第二章
2.2 线性定常系统的运动分析 零输入响应 自治方程： 自治方程： 其中， 其中，
第二章
③把 即
e
At
k 表为 A
( k = 0 ,1, , n 1) 的一个多项式， 的一个多项式，
e At = α 0 ( t ) I + α 1 ( t ) At + + α n 1 ( t ) A n 1
可按下式计算。 可按下式计算。
对于 A 的特征值 λ1 , λ2 ,, λn 为两两相异的情况， 为两两相异的情况，
线性系统理论
曲延滨
第二章
线性系统的时间域理论
第2章 线性系统的运动分析
状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。 进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。 分析分为定量分析和定性分析。 分析分为定量分析和定性分析。 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究， 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确 定系统由外部激励作用所引起的响应。 定系统由外部激励作用所引起的响应。
第二章
Φ 物理意义： (t t0 ) 就是将时刻 t 0 之状态 x0 映射到时刻 物理意义：
之状态
t
x 的一个线性变换。 的一个线性变换。
在定义时间区间内决定了状态向量的自由运动。 在定义时间区间内决定了状态向量的自由运动。 用状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式
φ(t;0, x0 , u) = Φ(t)x0 + ∫ Φ(t τ )Bu(τ )dτ , t ≥ 0
e
( A+ F ) t
= e e = e e
At Ft Ft
At
第二章
⑤ 的导数为： e At 对 t 的导数为：
d e dt
At
= Ae
At
= e
At
A
⑥对给定方阵 A ，必成立： 必成立：
(e
At
)
m
=e
A(mt )
, m = 0,1, 2,
计算方法： 计算方法： ①
e
At
1 2 2 1 3 3 = I + At + A t + A t + 2! 3!