02小干扰稳定分析

x e 的稳定性。
依据李雅普诺夫第一法，非线性系统的小范围稳定性是由系统线 性化后矩阵A的特征方程的根，即A的特征值所确定的： （1）当特征值有负的实部时，原始系统是渐近稳定的。 （2）当至少存在一个正实部的特征值时，原始系统是不稳定的。 （3）当特征值具有为零的实部时，基于线性化方程不能说明系 统的局部稳定性。 如上所述，电力系统静态稳定性由A的特征根所决定的。如果A矩 阵的所有特征值都具有负数实部，则说明电力系统是静态稳定的。




由于缺乏同步转矩而引起发电机转子角度持续增大； 由于缺乏足够的阻尼力矩而引起的增幅转子振荡。
2.1 小干扰稳定性概述3
小干扰稳定分析的意义 由于电力系统运行过程中难以避免小干扰 的存在，一个小干扰不稳定的系统在实际中 难以正常运行。换言之，正常运行的电力系 统首先应该是小干扰稳定的。因此，进行电 力系统的小干扰稳定分析，判断系统在指定 运行方式下是否稳定，也是电力系统分析中 最基本和最重要的任务。
x = D x + xe
xe
dx = f (x ) dt
d Dx = f (D x + xe ) = AD x + h(D x ) dt
式中： A =
? f (xe D x ) ? f (x ) |D x = 0 = |x = xe 禗x ?x
如果 h ( D x ) 在 Dx = 0 的邻域内是 D x 的高阶无穷小量，则上式可 变为：
' '' ' '' [ Eq Eq (Xd Xd )Id ]
' [ k q Ed ' Tq 0
'' (kq 1) Ed ]
(3)转子运动方程
d ws ( w 1) dt dw 1 ( Pm Pe Dw) dt TJ
这里时间t为有名值，t没取标么值
2.2 小干扰稳定分析的数学基础5
对于一对复数特征根 j ，用Hz表示的振荡频率为：
i fi 2
阻尼比定义为：


2 2
阻尼比 确定了该振荡模态幅值衰减的速度。幅值衰减的时间常 数为 1/ | | 。
以下给出了六种不同特征值组合及其相应轨迹行为的 二维图。
小干扰稳定 分析方法
当得出不稳定结论 后，不能对系统不 稳定的现象和原因 进行深入分析
小干扰稳定性分析实际上是研究电力系统干扰前平衡点的渐近稳定性
小节目录
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
小干扰稳定性概述 小扰稳定分析的数学基础 电力系统动态元件的线性化方程 小干扰稳定分析的特征值问题 单机无穷大系统的小干扰稳定性分析 复杂系统的小干扰稳定性分析
2.1 小干扰稳定性概述2

系统在小干扰作用下所产生的振荡如果能够被抑制，以至于 在相当长时间以后，系统状态的偏移足够小，则系统是稳定 的。相反，如果振荡的幅值不断增大或无限地维持下去，则 系统是不稳定的。 电力系统在运行过程中无时不遭受到一些小的干扰，如：负 荷的随机变化及随后的发电机组调节；因风吹引起架空线路 线间距离变化从而导致线路等值电抗的变化等等。 与大干扰不同，小干扰的发生一般不会引起系统结构的变化。 电力系统小干扰稳定分析研究遭受小干扰后电力系统的稳定 性。 当系统受到小干扰后出现不稳定一般有如下两种形式：
2.2 小干扰稳定分析的数学基础1
借助于线性系统特征分析的丰富成果，李雅普诺夫线性化方 法在电力系统小干扰稳定分析中获得了广泛的应用。应用线性系 统的理论进行静态稳定分析可为电力系统内在的动态特性提供有 价值的信息，并且对其控制器设计也有帮助。
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。从直 观上来理解，非线性系统在小范围内运动时应当与它的线性化近 似具有相似的特性。
VF

1 sTE
K E SE
Vf
VR min
sK F 1 sTF
直流励磁系统模型框图(来自PPT第一章)
忽略 RC 的作用，忽略模拟电压调节器固有等值时间常 数的量 T B 、TC 。另外，在“单位励磁电压/单位定子电压” 基准值系统下，有 V f = E fq
2.3 电力系统动态元件的线性化方程6
平衡点定义
对于一个非线性系统：
dx = f (x ) dt
如果系统在 t 0时刻的状态是 x e ，并且在无任何输入或干扰的 情况下，对一切 t ³ t 0 ，有 x (t ) = x e ，那么称 x e为系统的一个 平衡点（平衡状态）。
2.2 小干扰稳定分析的数学基础2
引入新的向量 D x ，有 D x = x - x e ，则 x = D x + xe ，平衡点 处泰勒展开得：
(2)定子电压方程
'' '' V E R I X d a d q Iq d '' '' V E R I X q a q d Id q

1 Td' 0 1 Td'' 0 1 1 Tq''0
' '' [ E fq kd Eq (kd 1) Eq ]
电力系统稳定分析
第二章 小干扰稳定分析
江全元
浙江大学 电气工程学院
小节目录
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
小干扰稳定性概述 小扰稳定分析的数学基础 电力系统动态元件的线性化方程 小干扰稳定分析的特征值问题 单机无穷大系统的小干扰稳定性分析 复杂系统的小干扰稳定性分析
2.1 小干扰稳定性概述1
2.2 小干扰稳定分析的数学基础4
由控制理论可以知道，矩阵A的特征值是通过求解下列的特征方程 得到：
det( I A) 0
其中，det表示求行列式。满足上式的 上式称为矩阵A的特征方程。
的值称为A矩阵的特征值，
每一个特征值 i 的衰减（或增加）时间特性均由e i t 给出。由控制 原理可以知道：
实数特征值对应于一个非振荡模态。负实数特征值表示衰减模态， 幅值越大，衰减越快；正实数特征值表示非周期性增幅失稳。 复数特征值以共轭对形式出现，即 i i ji ，每一对共轭特征 值对应一个振荡模态。复数特征值的实部 i 给出了振荡模态的阻 尼，虚部 i 给出了振荡的频率。实部 i 如果为负，则表示角频率 为 i 的振荡将得到阻尼；实部 i 如果为正，则表示角频率为 i 的 振荡将会不断增加从而导致系统振荡失稳。
2.3 电力系统动态元件的线性化方程5
励磁系统的线性化方程
Vt It
g g
Vs
VC Vt ( RC jX C ) I t
g g
PSS
VC
VM 1 1 sTR
Vref
+

+
综合放大环节 KA VR 1 sTC 1 sTA + 1 sTB
VR max
励磁机
测量环节
2.1 小干扰稳定性概述4
特点： 静态稳定研究的是电力系统在某一运行状态下受到微 小干扰时的稳定性问题。系统是否能够维持静态稳定主 要与系统在扰动发生前的原始运行状态有关，而与小干 扰的大小、类型和地点无关。

正常运行的电力 系统首先应该是 小干扰稳定的
小干扰稳 定分析
计算法 计算速度慢
李雅普诺夫线性化方法 基本思想：从非线性系 统的线性逼近稳定性质 得出非线性系统在一个 平衡点附近的局部稳定 性的结论
d Dx = AD x dt
2.2 小干扰稳定分析的数学基础3
小干扰稳定所针对的小干扰一般在平衡点附近，即满足如果 h ( D x ) 在 Dx = 0 的邻域内是 D x 的高阶无穷小量。因此，小干扰稳定分析 可以用线性系统： d Dx = AD x dt 的稳定性来研究所描述的非线性系统在点
2.2 小干扰稳定分析的数学基础6
2.2 小干扰稳定分析的数学基础7
2.5 2.6
小干扰稳定性概述 小扰稳定分析的数学基础 电力系统动态元件的线性化方程 小干扰稳定分析的特征值问题 单机无穷大系统的小干扰稳定性分析 复杂系统的小干扰稳定性分析
励磁系统的线性化方程
对测量环节，由于 VC Vt jX C It
g g
。根据坐标变换后，发电机端电
2.3 电力系统动态元件的线性化方程1
在进行电力系统小干扰稳定分析时，需要将各动态元 件的方程线性化，下面，本节将推导各动态元件的线 性化方程。 在进行线性化时，通常不考虑所有控制装置中限制环 节的作用。其原因是，在正常的稳态运行情况下，控 制装置中状态变量的稳态值一般在其限制环节的限制 之内。当干扰足够小时，各状态变量的变化也足够小， 使得其变化范围不会超出其限制环节的限制。至于一 些控制装置中的失灵区，一般认为失灵区很小，可以 忽略不计；而当失灵区很大时，可以认为整个控制系 统不起作用。
将上述同步发电机数学模型(式(1)~(4))进行线性化后，即得 同步发电机的线性化方程
下页
2.3 电力系统动态元件的线性化方程4
ì 同步发电机组的线性化方程 ï ï ï ï ï dD d ï = ws D w ï ï 同步发电机组的线性化方程 dt ï ï ï dD w 1 ï ï = {- D D w - I q( 0) D E qⅱ - I d ( 0) D E dⅱ + D Pm ï ï dt TJ ï ï ï ⅱ ⅱ D I d - [D E qⅱ ⅱ ⅱ DIq} - [D E dⅱ ï ( 0) - ( X d - X q )I q ( 0) ] ( 0) - ( X d - X q )I d ( 0) ] ï ï ï ï d D E q¢ 1 ï ï = [- kd D E qⅱ + (kd - 1)D E q ?+ D E fq ] í ï ï dt T d¢ 0 ï ï ï ï d D E qⅱ 1 ï = [D E qⅱ - D E qⅱ + (x d - x dⅱ )D I d ] ï ï dt T dⅱ ï 0 ï ï ï d D E d¢ 1 ï '' '' ⅱ ? ï = [ k D E + ( k 1) D E ] V V V E R V I X q d q d d a d q VI q ï d ¢ dt T ï q0 ï ï '' '' ï V V V E R V I X d D E dⅱ 1 ï q q a q d VI d ï = [D E dⅱ - D E dⅱ + (x q - x qⅱ )D I q ] ï ï dt T qⅱ 0 ï î ï ï ï
' '' ' '' [ Ed Ed (Xq Xq ) Eq ] '' Xd Xd ' '' Xd Xd '' Xq Xq ' '' Xq Xq
式中：kd
，k q
2.3 电力系统动态元件的线性化方程3
同步发电机组的线性化方程 (4)电磁功率方程
2 2 PE Vd I d Vq I q Ra ( I d Iq ) '' '' '' '' 2 2 ( Ed Ra I d X q I q ) I d ( Eq Ra I q X d I d ) I q Ra ( I d Iq ) '' '' '' '' Ed I d Eq Iq ( X q Xd )Id Iq
负荷小量变化 风吹摆引起架空线间距离变化 ……
a
a
a
能恢复到 原始状态
正常运 行状态
b b
静态稳定
非周期 性失步
小扰动
b
静态失稳
新的稳态
定义：小干扰稳定（又称静态稳定）指电力系统在某一正
常运行状态下受到小干扰后，不发生自发振荡或非周期性失 步，自动恢复到原始运行状态的能力。如果能，则认为系统 在该正常运行状态下是静态稳定的；不能，则系统是静态失 稳的。
2.3 电力系统动态元件的线性化方程2
同步发电机组的线性化方程
在定子电压平衡方程中不计转速变化影响，同时忽略定子回路的电 磁暂态过程，得同步发电机的数学模型如下（见第一章PPT）：
(1)转子电磁暂态方程
' dEq dt '' dEq dt ' dEd dt dE '' d dt