丰南区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

丰南区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，C=60°，AB=
，AB 边上的高为，则AC+BC 等于（ ）
A ．
B ．5
C ．3
D ．
2． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 3． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6
D ．12
5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12
x π=-
B ．12
x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
6． 曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A ． e 2
B ．2e 2
C ．e 2
D ． e 2
7． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257° 8． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i
10．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为
（ ）
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{1，2，3}
D ．{0，1，2}
11．给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）
A ．{}4,2
B ．{}1,3
C ．{}1,2,3,4
D ．以上情况都有可能 12．抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（
）
D ．（
）
二、填空题
13．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；
③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则
的最大值为
；
④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且
•
=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
14．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
15．在等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q= ．
16．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 17．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β
其中正确命题的序号是 ．
18．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.
（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2
.
20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ． （1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．
21．已知椭圆C 1
：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率
e=
，且经过点（1
，
），抛物线C 2：x 2
=2py （p ＞0）
的焦点F 与椭圆C 1的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F 的直线与抛物线C 2交于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线C 2的切线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的交点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O ：x 2+y 2
=5上任意一点P 作椭圆C 1的两条切线，切点为A ，B ，证明：∠APB 为定值，并求出这
个定值．
22．已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点． （I ）求证：EF ⊥平面PAD ；
（II ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．
E
F
G C
A
B
23．已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（3）求证：ln＜（n∈N+）
24．已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和极值．
丰南区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由题意可知三角形的面积为
S=
=
=AC •BCsin60°，
∴AC •
BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2
﹣3AC •BC ，
∴（AC+BC ）2
﹣3AC •BC=3，
∴（AC+BC ）2
=11．
∴
AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交
点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 3． 【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0
满足条，0≤k ，S=3，n=1 满足条件1≤k ，S=7，n=2 满足条件2≤k ，S=13，n=3 满足条件3≤k ，S=23，n=4 满足条件4≤k ，S=41，n=5
满足条件5≤k ，S=75，n=6 …
若使输出的结果S 不大于50，则输入的整数k 不满足条件5≤k ，即k ＜5， 则输入的整数k 的最大值为4． 故选： 4． 【答案】C 【解析】解：由题意知
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3
﹣2，
又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23
﹣2=6．
故选C ．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 6． 【答案】D
【解析】解析：依题意得y ′=e x
，
因此曲线y=e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2
， 相应的切线方程是y ﹣e 2=e 2
（x ﹣2）， 当x=0时，y=﹣e 2
即y=0时，x=1，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
S=×e2×1=．
故选D．
7．【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）
即：k360°+257°，（k∈Z）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
8．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．9．【答案】A
【解析】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
10．【答案】B
【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，
又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，
∵C U B={x|x＜3}，
∴（C U B）∩A={1，2}．
则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．
故选B ． 【点评】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属
于基础题．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为
{}4,2.
考点：复合函数求值． 12．【答案】B
【解析】解：∵抛物线x 2
=4y 中，p=2， =1，焦点在y 轴上，开口向上，
∴焦点坐标为 （0，1），
故选：B ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x 2
=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．
二、填空题
13．【答案】 ：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x 3
﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x 0，y 0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x 0，2﹣y 0）也满足函数的解析式，则①正确； 对于②对∀x ，y ∈R ，若x+y ≠0，对应的是直线y=﹣x 以外的点，则x ≠1，或y ≠﹣1，②正确；
对于③若实数x ，y 满足x 2+y 2
=1，则
=
，可以看作是圆x 2+y 2
=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC 为锐角三角形，则A ，B ，π﹣A ﹣B 都是锐角，
即π﹣A ﹣B ＜，即A+B ＞，B ＞
﹣A ，
则cosB ＜cos （
﹣A ），
即cosB ＜sinA ，故④不正确．
对于⑤在△ABC 中，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
14．【答案】
【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2=c2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，
所以=，
解得a2=36，b2=108，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．15．【答案】2或1．
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则可得（a1+d）2=a1（a1+3d）
解得a1=d或d=0
∴公比q==2或1．
故答案为：2或1．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题．
16．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换． 17．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sin αcos α=sin2α∈[，]，∵
＞，∴存在实数α，使
错误，故①
错误，
②函数=cosx 是偶函数，故②正确，
③当
时，
=cos （2×
+
）=cos π=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=
，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
18．【答案】12π 【解析】
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【
解
析
】
11
11]
试题解析：解：（1）∵PA 是切线，AB 是弦，∴C BAP ∠=∠，CPE APD ∠=∠， ∴CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠，
∵CPE C AED APD BAP ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠, ∴AED ADE ∠=∠，即ADE ∆是等腰三角形
又点H 是线段ED 的中点，∴ AH 是线段ED 垂直平分线，即ED AH ⊥
又由CPE APE ∠=∠可知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴AF 与ED 互相垂直且平分， ∴四边形AEFD 是正方形，则D F E A 、、、四点共圆. （5分） （2由割线定理得PC PB PA ⋅=2
，由（1）知PH 是线段AF 的垂直平分线，
∴PF PA =，从而PC PB PF ⋅=2
（10分）
考点：与圆有关的比例线段． 20．【答案】
【解析】（1）连接FC ，OF ， ∵AB AF =，OB OF =， ∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥． ∵BC 是O 的直径，∴CF BF ⊥． ∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，
∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ∴DAO FBC ∠=∠．
（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中，
B
A
O
C
G F
E
由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，
∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =． ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=． 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， ∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得c 2
=1，
故所求的椭圆方程为
焦点坐标为（0，±1），
故抛物线方程为x 2
=4y …
设直线MN ：y=kx+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），代入抛物线方程得x 2
﹣4kx ﹣4=0，
则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，由于
，所以
，故直线l 1的斜率为，l 1的方程为
，即
，
同理l 2的方程为，
令，即
，显然x 1≠x 2，
故
，即点Q 的横坐标是
，
点Q 的纵坐标是
，即点Q （2k ，﹣1），
故点Q 的轨迹方程是y=﹣1…
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P 在第一象限， 则此时P 点横坐标为
，代入圆的方程得P 点的纵坐标为
，
此时两条切线方程分别为
，此时
，
若∠APB 的大小为定值，则这个定值只能是…
②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P （x 0，y 0），切线的斜率为k ，
则切线方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），
与椭圆方程联立消元得…
由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，
故，
整理得…
切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…
点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．
综上可知：∠APB的大小为定值，得证…
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．22．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF∥AB，
∴EF⊥平面PAD；
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．
取AO中点M，连OG，EO，EM，
∵EF∥AB∥OG，
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线
又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，
故OG⊥EO
∴∠EOM 即为所求
在RT△EOM中，EM=OM=1
∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．
【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由f（x）=，得，
∴，于是m=﹣2，直线l的方程为2x+y﹣2=0．
原点O到直线l的距离为；
（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，即，也就是，设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．
．
①若m≤0，∃x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，
当△≤0，即m时，g′（x）≤0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．
当0＜m＜时，方程﹣mx2+x﹣m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），
，，
当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．
综上所述，m；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立．
不妨令，
∴ln，
（k∈N*）．
∴．
．
…
．
累加可得：，（n∈N*）．
即ln＜（n∈N*）．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式
是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是
压轴题．
24．【答案】
【解析】解：（1）求导f′（x）=+2x+b，由题意得：
f′（1）=4，f（1）=﹣8，
则，解得，
所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1；
（2）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15，
f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20．。