2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第五章第4节 数列求和

第4节　数列求和
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法
1.公式法求和，达成数学抽象
和数学运算素养．
2.分组转化法求和，发展逻辑推理和数学运算素养．
3.裂项相消法求和，提升逻辑推理和数学运算素养．
4.错位相减法求和，增强逻辑推理和数学运算素养
本节主要考查：(1)等差数列和等比数列的求
和．(2)使用裂项法、错位相减法求和．(3)根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和．一般以数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后有时与不等式、函数、最值等问题综合．以解答题为主，难度中等或稍难
　求数列的前n 项和的方法(1)公式法
①等差数列的前n 项和公式
S n ＝　
　＝　na 1＋
d .
n (a 1＋an )2
n (n －1)2
②等比数列的前n 项和公式(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝　na 1　；
(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝ ＝ .
a 1(1－qn )
1－q
a 1－anq 1－q (2)分组转化法
把数列适当拆分，分为几个等差、等比数列，先分别求和，然后再合并，形如：①{a n ±b n }，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列；②a n ＝Error!(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消，剩下首尾若干项．常见的裂项公式：
①＝－；
1
n (n ＋1)1n 1
n ＋1②＝；1
n (n ＋k )1k (
1
n
－
1
n ＋k )
③＝；
1
(2n －1)(2n ＋1)1
2(
12n －1
－
1
2n ＋1)
④＝；
1
n (n ＋1)(n ＋2)1
2[
1
n (n ＋1)
－
1(n ＋1)(n ＋2)]
⑤＝(－)；1
n ＋n ＋k 1
k n ＋k n ⑥设等差数列{a n }的公差为d ，
则＝.
1
anan ＋11d (
1
an －
1
an ＋1)
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．形如：{a n ·b n }，，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．
{an
bn }
(6)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
　一些常见数列的前n 项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
；
n (n ＋1)
2
(2)1＋3＋5＋7＋…＋
(2n －1)＝n 2；(3)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n .
[思考辨析]
　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝
.( )
a 1－an ＋1
1－q
(2)当n ≥2时，＝.( )
1
n 2－11
2(
1
n －1
－
1
n ＋1)
(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5( )
(5)若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝－25( )答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√[小题查验]
1．等差数列{a n }中，已知公差d ＝，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝( )1
2A ．50 B ．75 C ．100 D ．125
解析：B [a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d )＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)
＋50d ＝50＋50×＝75.]
1
22．设首项为1，公比为的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )2
3A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a n
D ．S n ＝3－2a n
解析：D [可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前n 项和，再建立关系．
法一：在等比数列{a n }中，S n ＝＝a 1－anq
1－q 1－an ·
23
1－23＝3－2a n .
法二：在等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝，
2
3∴a n ＝1×n －1
＝n －1
.
(23
)(2
3)S n
＝＝3[1－(23)n ]＝3＝3－2a n
.]
[1－23(23)n －1]3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列的前100项和{
1
anan ＋1}
为( )
A. B.10010199101C.
D.99100101100
解析：A [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴Error!∴Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .
∴＝＝－，
1
anan ＋11
n (n ＋1)1
n 1
n ＋1∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.]{
1
anan ＋1}
1212131
1001
1011101100
1014．(人教A 版教材习题改编)数列1，3，5，7，…，(2n －1)＋，…的前n 项和1
2141
81
161
2n S n 的值等于____________．
答案：n 2＋1－1
2n
5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1，令b n ＝na n ，则数列{b n }的前n 项和S n 为________.
解析：由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1，②
①－②得(1－22)·S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝[(3n －1)22n ＋1＋2]．
1
9答案：[(3n －1)22n ＋1＋2]
1
9考点一　公式法求和(自主练透)
[题组集训]
1．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1) B. n (n －1)C.
D.n (n ＋1)2
n (n －1)2
解析：A [因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a ＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，2
4解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋
d ＝n (n ＋1)．故选A.]
n (n －1)
2
2．若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：由题意a 2＋a 5＝q (a 1＋a 4)，得20＝q ×10，故q ＝2，代入a 1＋a 4＝a 1＋a 1q 3＝10，
得9a 1＝10，得a 1＝.
10
9故S n ＝
＝(2n －1)．
109
(1－2n )1－2
10
9答案：(2n －1)
1093．(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2 a n ，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0.解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.
因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.
(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋2n －1＝n 2
.
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之．
考点二　分组转化法求和(师生共研)
[典例]　(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且－＝，S 6＝63.
1
a 11
a 22
a 3(1)求{a n }的通项公式；
(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．
[解析]　(1)设数列{a n }的公比为q .
由已知，有－＝，解得q ＝2或q ＝－1.
1
a 11
a 1q 2
a 1q 2又由S 6＝a 1·＝63，知q ≠－1，
1－q 6
1－q 所以a 1·＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.
1－26
1－2
(2)由题意，得b n ＝(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝(log 22n －1＋log 22n )＝n －，12121
2即{b n }是首项为，公差为1的等差数列．1
2设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则
T 2n ＝(－b ＋b )＋(－b ＋b )＋…＋(－b ＋b )2
12232422n －122n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝
＝2n 2.
2n (b 1＋b 2n )
2
分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝Error!的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
[跟踪训练]
(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．
解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝＝＝3，
b 3
b 29
3所以b 1＝＝1，b 4＝b 3q ＝27.b 2
q 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．
(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，从而数列{c n }的前n 项和
S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝
＋＝n 2＋.
n (1＋2n －1)2
1－3n
1－33n －1
2
考点三　裂项相消法求和(师生共研)
[典例]　(2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a ＋2a n ＝4S n ＋3.2n (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和．1
anan ＋1[解析]　(1)由a ＋2a n ＝4S n ＋3，2
n 可知a ＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.2n ＋
1可得a －a ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，2n ＋
12n 即2(a n ＋1＋a n )＝a －a ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．2n ＋12n 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.
又a ＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.2
1所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.
(2)由a n ＝2n ＋1可知
b n ＝＝＝.
1
anan ＋11
(2n ＋1)(2n ＋3)1
2(
1
2n ＋1－
1
2n ＋3)
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12[(1
3－15)＋(15－17)
＋…＋(12n ＋1－
1
2n ＋3)]
＝.
n
3(2n ＋3)[拓展提高]　利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相
等．如：若{a n }是等差数列，则＝，1
anan ＋11d (
1
an
－
1
an ＋1)
1
anan ＋2
＝.
12d (
1an
－
1
an ＋2)
[跟踪训练]
(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列的前n 项和．
{
an
2n ＋1}
解：(1)∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)②
①－②得，(2n －1)a n ＝2，a n ＝，2
2n －1又n ＝1时，a 1＝2适合上式，
∴a n ＝.
2
2n －1(2)设数列的前n 项和为S n 由(1)＝＝－，
{
an
2n ＋1}
an
2n ＋12
(2n －1)(2n ＋1)12n －112n ＋1∴S n ＝＋＋…＋＝
＋＋…＋＝1－＝.
a 1
3a 2
5an
2n ＋1(1－
1
3)(13－
1
5)(1
2n －1
－
1
2n ＋1)
1
2n ＋12n
2n ＋1考点四　错位相减法求和(师生共研)
[典例]　(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝.求数列{c n }的前n 项和T n .
(an ＋1)n ＋1
(bn ＋2)n [思维导引]　(1)利用a n 与S n 的关系先求出数列{a n }的通项公式，再利用a n ＝b n ＋b n ＋1求出数列{b n }的通项公式；(2)利用错位相减法求数列{c n }的前n 项和T n .
[解析]　(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由Error!即Error!
可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.
(2)由(1)知，c n ＝＝3(n ＋1)·2n ＋1..(6n ＋6)n ＋1
(3n ＋3)n 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .
得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]．2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得
－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]
＝3×
＝－3n ·2n ＋2.
[
4＋
4(1－2n )1－2
－(n ＋1)×2n ＋2
]
所以T n ＝3n ·2n ＋2
.
(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．
[跟踪训练]
(2019·上饶市一模)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－，数列{b n }为等差数列，且
1
2n a 2(b 2＋2)＝1，a 1b 1＝.
1
2(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .
解：(1)a 1＝S 1＝1－＝，121
2n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－
＝
(
1－1
2n )(
1－1
2n －1)
－＝，适合a 1＝，∴a n ＝，
1
2n －112n 1
2n 1
21
2n 由a 1b 1＝得b 1＝1，由a 2(b 2＋2)＝1得(b 2＋2)1
21
4＝1，∴b 2＝2，∴d ＝1，∴b n ＝1＋(n －1)·1＝n .
(2)a n b n ＝，由T n ＝＋＋＋…＋，n 2n 1
22
22323n
2n 得T n ＝＋＋＋…＋＋，1
21
222
23324n －1
2n n 2n ＋1两式相减，得
T n ＝＋＋＋…＋－＝
－＝1－，∴T n ＝2－.
1
21
21
221
231
2n n
2n ＋112
[1－(1
2)n ]
1－12
n
2n ＋1n ＋2
2n ＋1n ＋2
2
n 1．数列{a n }中，a n ＝，若{a n }的前n 项和为，则项数n 为( )1
n (n ＋1) 2 019
2 020A ．2 019 B ．2 016C ．2 017
D ．2 018
解析：A [a n ＝＝－，
1
n (n ＋1)1n 1
n ＋1S n ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n ＝2 019.]
12121
31
n 1n ＋11
n ＋1n
n ＋1 2 019
2 020
2.＋＋＋…＋等于( )121238n
2n A. B.2n －n －12n 2n ＋1－n －2
2n C.
D.
2n －n ＋1
2n 2n ＋1－n ＋2
2n
解析：B [法一：令S n ＝＋＋＋…＋，①1
22223
23n
2n 则S n ＝＋＋…＋＋，②1
21222
23n －12n n
2n ＋1①－②，得S n ＝＋＋＋…＋－＝
－.∴S n ＝
.故选B.
12121221
231
2n n
2n ＋1n
2n ＋12n ＋1－n －2
2n
法二：取n ＝1时，＝，代入各选项验证可知选B.]
n 2n 123．已知数列{a n }：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{b n }＝的12132
31424341525354
5{
1
anan ＋1}
前n 项和为( )
A ．4
B ．4(
1－
1
n ＋1)
(
1
2－1n ＋1)
C ．1－
D.－1
n ＋11
21
n ＋1
解析：A [由题意知a n ＝＋＋＋…＋＝＝，b n ＝1
n ＋12
n ＋13
n ＋1n n ＋11＋2＋3＋…＋n n ＋1n 2＝4，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4
＋4＋…＋4＝41anan ＋1(
1
n
－
1
n ＋1)
(1－
1
2)(1
2－
1
3)(1n
－
1n ＋1)
＝4.]
(
1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)(1－1n ＋1)
4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400
解析：B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]
5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则的前100项和{1
an }
为( )
A.
B.
C.
D.10010199100101100200101
解析：D [数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，
∴a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a n －a n －1＝n ，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝，n (n ＋1)2∴＝＝2，1an 2
n (n ＋1)(1n －1
n ＋1)
∴的前100项和
{1an }2＝2＝，故选D.](1－12＋12－13＋…＋1100－1101)(1－1101)
2001016．(2019·聊城市一模)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，若b n ＝2a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝_________________________________________________________________.
解析：∵S n ＝n 2，①
当n ＝1时，S 1＝a 1＝1，
当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，②
由①－②可得a n ＝2n －1，
当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n －1，
∴b n ＝2a n ＝2×4n －1，∴T n ＝＝(4n －1)．
2(1－4n )1－423答案：(4n －1)
237．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.
∴a n ＝Error!
令2n －5≤0，得n ≤，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，52a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.答案：66
8．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a ＋a ＋…＋a ＝________.2
122n 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，
又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a ＝4n －1.2
n ∴数列{a }是以a ＝1为首项，以4为公比的等比数列．2
n 21∴a ＋a ＋…＋a ＝＝(4n －1)．2
122n 1·(1－4n )1－413
答案：(4n －1)
139. (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得
Error!，解得Error!
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .
(2)由(1)可得S n ＝＝－＋(－1)n ·.a 1(1－qn )
1－q
232n ＋13由于S n ＋2＋S n ＋1＝－＋(－1)n ·
432n ＋3－2n ＋23＝2＝2S n ，[－23＋(－1)n 2n ＋13]
故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
10．(2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.
(1)求S n 和T n ；
(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．解：(1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，
b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0，因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以，T n ＝＝2n －1.
1－2n
1－2设等差数列{a n }的公差为d ，由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4，由b 5＝a 4＋2a 6，可得
3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n .所以S n ＝.
n (n ＋1)2(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝
－n ＝2n ＋1－n －2.2×(1－2n )1－2由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n (n ＋1)2n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.。