北师大版高中数学必修五课件1.1正弦定理

1.在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形 (1)A＝45°，B＝30°，a＝2； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°. (3)a＝ 2，b＝2，A＝30°. (4)a＝2，b＝ 3，B＝120°.
解析： (1)由三角形内角和定理，得：
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR； (3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； (4)a∶b∶c＝sin A：sin B：sin C.
2．解斜三角形的类型 (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两 解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情 况如下：
【错解】 (1)∵sina A＝sinb B，
∴sin B＝bsian A＝
由正弦定理sina A＝sinb B，得：
b＝asisninAB＝2ssinin4350°°＝2×212＝ 2， 2
c＝assiinnAC＝a
sin sin
4150°5°＝2ssiinn4575°°＝2×
6＋ 4 2
2 ＝
3＋1.
2
(2)b＝10，c＝5 6，b<c，C＝60°<90°，本题有一解．
A＝sinb
B＝
c sin
C成立吗？
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它们所对角的的正比弦相等，
即sina A＝
b sin B
c ＝ sin C
.
2．解三角形
(1)把三角形的和三它边们的叫做三角形对的角元素．
(2)已知三角形的几个元素求的其过它程元叫素做解三角形．
3．三角形的面积公式
1
1
S△＝ 2ab sin C ＝ 2a csin B
答案：
32 2
4．在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，则b＝ ________.
解析： ∵A＋B＋C＝180°， ∴C＝105°. ∵sinb B＝sinc C，∴b＝cssiinnCB＝1s0insin10350°°， 即 b＝5( 6－ 2)． 答案： 5( 6－ 2)
5．已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、 C 及 c.
＝
3 2 cos
A＋12sin
A＝3＋140
3 .
(2)由(1)知 sin A＝35，sin C＝3＋140 3，
又∵∠B＝π3，b＝ 3，
∴在△ABC 中，
由正弦定理，得 a＝bssiinnBA＝65.
∴△ABC 的面积 S＝12absin C
＝12×65×
3×3＋140
3＝36＋509
3 .
1．正弦定理的常见变形 设 R 为三角形外接圆半径，公式可扩展为：sina A＝sinb B ＝sinc C＝2R，即当一内角为 90°时，所对边为外接圆的直径， 灵活运用正弦定理，还需知道它的几个变形：
又 A、B 为三角形的内角，
∴2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝π2.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[题后感悟] (1)确定三角形的形状主要有两条途径： ①化边为角；②化角为边． (2)确定三角形形状的思想方法： 先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系， 再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中 要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则 会有漏掉一种解的可能．
1．任意三角形三边满足：，两三边个之角和满大足于：第，三并边且大边对，
小
内角和为180° 边
大角
对
．小角
2．直角三角形三边长满足勾股定理，即a2＋b2＝c2.
3．在 Rt△ABC 中，C＝π2，则ac＝ sin A ，bc＝ sin B，
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C，那么在任意一个三角形中sina
2.在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B ＋sin2C，判断△ABC 的形状．
解析： 根据正弦定理得sianA＝sibnB＝sincC. 因为 sin2A＝sin2B＋sin2C， 所以 a2＝b2＋c2，所以∠A 是直角，∠B＋∠C＝90°， 所以 2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1， 所以 sinB＝ 22.又因为 0°＜∠B＜90°， 所以∠B＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．
3.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，∠ B＝π3，cos A＝45，b＝ 3.
(1)求 sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．
解析： (1)∵∠A、∠B、∠C 为△ABC 的内角，且∠B
＝π3，cos A＝45，
∴∠C＝23π－∠A，sin A＝53，
∴sin C＝sin23π－A
解答本题(1)可先由内角和定理求第三角，再由正弦定理 求其他两边．(2)(3)(4)可先利用正弦定理求另一边对角的正弦 值，然后利用三角形中大边对大角定理或三角形内角和定理 考虑解的情况，最后由正弦定理求其他边和角．
[解题过程] (1)C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝
75°，
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C，
的值是( )
5
3
A.3
B.5
3
5
C.7
D.7
解析： 在△ABC 中，C＝120°，故 A，B 都是锐角．
据正弦定理ssiinn AB＝ab＝53，故选 A.
答案： A
3．在△ABC 中，BC＝ 3，A＝45°，B＝60°，则 AC＝ ________.
解析： 由正弦定理得：sAinCB＝sBinCA ∴AC＝BCsisninAB＝ 3s×ins4in5°60°＝322
∵sin
B＝bsicn
C＝10·sin 60°＝ 56
22，
∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
∴a＝bssiinnBA＝10s·isnin457°5°＝10×
6＋ 4
2
2 ＝5(
3＋1)．
2
(3)由sina A＝sinb B得 sin B＝bsian A， ∴sin B＝2sin230°＝ 22， ∵a<b，∴B>A＝30°，∴B 为锐角或钝角， ∴B＝45°，或 B＝135°. 当 B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝105°， ∴c＝assiinnAC＝ 2ssinin3100°5°＝ 3＋1.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§1 正弦定理与余弦定理
1．1 正弦定理
1.了解正弦定理的向量证法． 2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
1.利用正弦定理解三角形是本节课考查的热点． 2.本课内容常与三角函数及三角恒等变换等知识结合命题． 3.考查形式多样化，各种题型均可出现，以中低档题为主.
解析： 根据正弦定理，得
sin A＝asibn B＝
3sin 45°＝ 2
23，
∵b<a，∴B<A，∴A＝60°或 120°.
①当 A＝60°时，C＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴c＝bssiinnBC＝
s2isnin457°5°＝2sin(45°＋30°)＝
6＋ 2
2 .
②当 A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
当 B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°， ∴c＝assiinnAC＝ s2isnin301°5°＝ 3－1. ∴B＝45°，C＝105°，c＝ 3＋1， 或 B＝135°，C＝15°，c＝ 3－1. (4)∵B＝120°>90°，a>b，∴无解．
在△ABC 中，已知 a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状 [策略点睛]
∴c＝bssiinnBC＝
2sin 15° sin 45°
＝2sin(45°－30°)＝
6－ 2
2，
∴A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2，
或 A＝120°，C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形 (1)a＝4，A＝45°，B＝60°； (2)a＝4 3，b＝4 2，A＝60°； (3)b＝10，c＝5 3，C＝60°； (4)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
[规范作答] 由已知得ac2osisnBB＝bc2osisnAA.
由正弦定理的推广得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R 为△ABC
的外接圆半径)，
∴4R2scino2sABsin
B＝4R2scino2s
Bsin A
A，
即 sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.
在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝13. (1)求 sin A 的值；(2)设 AC＝ 6，求△ABC 的面积．
(1)
sinC－A＝1， A＋B＋C＝π
―→
A与B的关系
―→
求sin
A
(2)
已知sin A、 sin B、AC
―→
求出BC 及sin C
―→
求△ABC的面积
[解题过程] (1)由 C－A＝π2，且 C＋A＝π－B， 得 A＝π4－B2， ∴sin A＝sinπ4－B2＝ 22cosB2－sinB2， ∴sin2A＝12(1－sin B)＝31，又 sinA＞0，∴sinA＝ 33。
(2)由正弦定理得sAinCB＝sBinCA，
3
∴BC＝ACsisninBA＝
6·3 1
＝3
2，
3
又 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝ 33×232＋ 36×13＝ 36，
∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12× 6×3 2× 36＝3 2.
[题后感悟] 求三角形的面积除原来掌握的利用底边长和高 求解外，现在增加了新的面积公式，即利用任意两边及其夹角 进行求解．
∴b＝assiinnAB＝4×sinsi4n56°0°＝4×223＝2 6， 2
c＝assiinnAC＝4×sinsin457°5°＝4×
2＋ 4 2
6 ＝2＋2
3.
2
(2)由正弦定理得sina A＝sinb B，
∴sin B＝bsian A＝4
2×sin60°＝ 43
22，
又 b＜a，∴B＝45°，C＝180°－A－B＝75°.
A为锐角
图 形
A为钝角或直角
A为锐角
A为钝角或直角
关系式
①a＝bsinA ②a≥b
bsinA <a<b
a<bsinA a>b
a≤b
解的个数 一解
两解 无解 一解 无解
◎在三角形 ABC 中
(1)已知 A＝45°，a＝2，b＝ 2，求角 B；
(2)已知 A＝30°，a＝5 2，c＝10，求 B，C 及 b.
①C＝180°－(A＋B)； ②用正弦定理，a＝cssiinnCA； ③用正弦定理，b＝cssiinnCB.
(2)已知两边和其中一边对角(如 a，b，A)不能唯一确定 三角形形状，解这类问题将出现无解、一解、两解三种情况， 要注意判别，其方法是：由三角形中大边对大角可知，若 a≥b，则 A≥B，从而 B 为锐角，有一解，若 a<b，则 A<B， 此时由正弦定理得 sin B＝bsian A，①当 sin B>1，无解；②当 sin B＝1，一解；③当 sin B<1，两解．
1 ＝ 2 bc sin A .
1．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60°，那么角 A
等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
3
解析：
由正弦定理得 sin A＝asibn B＝
2·2 3
＝ 22，又∵a<b，∴A<B.
∴A＝45°，故选 C.
答案： C
2．在△ABC 中，a＝5，b＝3，C＝120°，则 sin A∶sin B
∴
c
＝
a·sin C sin A
＝
4
3s×in s6i0n°75°＝4
3×
2＋ 4
3
6 ＝ 2(
2＋
2
6)．
(3)由正弦定理得， sin B＝bsicn C＝10·5sin360°＝1，且 0°＜B＜180°， ∴B＝90°，A＝180°－(B＋C)＝30°. a＝bsinA＝10·sin 30°＝5.
(4)a＝2 3，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°， 又∵bsinA＝6sin 30°＝3，a＞bsinA， ∴本题有两解．
由正弦定理得
sin
B＝bsianA＝6sin 230°＝ 323，
∴B＝60°或 120°.
当 B＝60°时，C＝90°.
[题后感悟] (1)已知两角和一边(如 A，B，c)，求其他 角与边的步骤是：