高中数学《数列》练习题(含答案解析)

高中数学《数列》练习题（含答案解析）
一、单选题
1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且
48S S ＝13
，则8
16S S ＝（ ）
A ．
310 B ．37
C ．1
3
D ．12
2．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；
①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）
A ．2020
B ．2021
C ．2022
D ．2023
5．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”
的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）
A ．
45
10a
B ．9
1010a
C ．4
510a -
D ．9
1010a -
7．已知数列{}n a ，21
41
n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）
A ．此数列没有最大项
B ．此数列的最大项是3a
C ．此数列没有最小项
D ．此数列的最小项是2a
8．已知
{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a
+、
172a +成等比数列，()12
n n n a S +=，
则不正确的是（ ） A ．1d
= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32
n n S a ≥
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．
2019
2020
B ．
2020
2021
C ．
2021
2022
D ．
1010
1011
10．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32
B ．42
C ．52
D ．62
二、填空题
11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若65
210,6S
a a =+=，则d =_________.
13．设
n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若8917
15
a a =，则1517S S =______．
14．已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n
S
，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．
三、解答题
15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求
{}n a 的通项公式；
（2）2n n
b a =-+求数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *
∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图
所示.
（1）求
n a ；
（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3
n
n na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求
{}n a 和{}n
b 的通项公式；
（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2
n
n S T <
．
参考答案与解析：
1．A
【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①
8161182820283161204012010
a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D
【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例1
02=>n n
a 和12n
n a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如1
02=>n n
a ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如1
2n n
a =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B
【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.
【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①
0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；
对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *
=∈等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；
对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D
【分析】根据数列
{}n a 的通项公式，可求得1
2
342,2a a
a a +=-+=-,依此类推，即可求解.
【详解】①1
(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-
故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+
2101040432023=-⨯+=.
故选：D. 5．C
【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6
819,27a
a ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.
故选：C. 6．D
【分析】由等比数列的通项公式计算．
【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，
由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101
102n
n a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101
1
9
1010
101010
a a a ---
⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，则视力4.9的视标边长为9
1010a -，
故选：D. 7．B
【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，2
2
641
411
t
t
y
t t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，2
2
,641
411
t
t
y t
t t t
当0=t 时，0y = 当0t >时，
146y t t
=
++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A
【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、
n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()
112
2
n
n n n a n a a S ++==
，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，
因为()()2521722a a a +=+，可得()()2
111522172a a a +=+，
整理可得2
1191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；
12n a na n ==，则1020a =，B 对；
()()112
n
n n a S n n +=
=+，C 对；
当2n ≥时，()2
33202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.
故选：A. 9．C
【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1
(1)
n a n n =
+，利用裂项求和即可求解.
【详解】数列{}n a 满足11
2
a =
，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1
(1)
n a n n =+，
又由111
(1)1
n a n n n n =
=-++，
所以20211111112021
112232021202220222022
S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．
故选：C
【点睛】方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可
用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C
【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=
164a d ∴+=，即74a = ()
1131371313134522
a a S a +∴=
==⨯= 故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：
（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；
（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±
【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以123
22
a +=
=， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，
4b =±，所以6ab =±.
故答案为：6±. 12．1
【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式
11
33
22a d a d +=⎧⎨
+=⎩即可得1d = 故答案为：1
【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差
13．1
【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.
【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以11515115881171711799
15(15(152152117(17)
(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-
【分析】根据给定条件求出等差数列
{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416
98
9362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩
，解得112
2a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，
于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()65
6122422
⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-
15．(1)21n a n =-，1
2n n b -=
(2)221n
n S n =+-
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；
（2）1
221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.
【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，
所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *
=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .
（2）1
221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：
212(121)21122
n n n n n S n -+-=+=+--.
16．（1）2n a n =-；（2）1
n n
T n =
+.
【解析】（1）由30S =，55S =-，可得11
32302
54552
a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；
（2）由（1）可得n b n =，从而可得
11111(1)1
n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.
所以11
3230254552
a d a d ⨯⎧
+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，
所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以
11111
(1)1
n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111
n n
T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-
=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题
17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.
【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.
（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，
则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡
⎤=-+
⨯-=--⎢⎥⎣⎦
. 令()0F n >得220250n n -+<
，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.
18．（1）11
()3
n n a -=，3n n
n b =
；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，
所以21369a a a =+，所以2
11169a q a a q =+，
即29610q q -+=，解得13
q =，所以11
()3n n a -=，
所以33
n n n na n
b =
=. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
211213333n n n n n
T --=++++，
012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333
3
2333
3n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=+++
+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012
111012222333
---++++
1
1
1233---
+n n
n n ．
设012
1
111
1
01212222Γ333
3--
--
--=+++
+
n n n ， ① 则123111
1
012112222Γ3333
3-
--
--=+++
+
n n
n ． ①
由①-①得1121113
3
12111
113322Γ13233
332
313
--⎛⎫--
- ⎪⎛⎫⎝⎭
=-+++
+-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以2
11
3
12Γ432323----
=-
-
=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n n
S n n n
T ． 故2
n
n S T <
． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得1
1(1)
313(1)12313
n n n S ⨯-
=
=--，
211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333
n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313
n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -
=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2
n n S T <. [方法三]：构造裂项法
由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭
n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，
通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423n
n n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法
设()
231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，
由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦
， 则1212
1(1)()123(1)+-+-+=++++='-n n
n nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，
所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n n
n n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n
S T,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造
1
()
3
αβ⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
n
n
c n，使1+
=-
n n n
b c c，求得
n
T的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。