控制系统数学模型PPT教案

第26页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
泰勒中值定理：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a， b)内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a，b)内时，f(x)
可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
(n) (x0 ) n!
(x
x0
)n
Rn (x)
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
(
x
x0
)
n1
这里ξ是x与x0之间的某个值。
• 复数域——传递函数、脉冲传递函数；
• 频率域——频率特性。
第2页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
数 静态模 ——反映系统在恒定载荷或缓变载 学 型荷作用下或在系统平衡状态下的特性； 模 型 动态模型 ——用于研究系统在迅变载荷作用
下或在系统不平衡状态下的特性；
在一定条件下，动态模型可以转换为静态模型。
对Ⅱ回路，根据克希荷夫电压定律，有
1
C1
i1(t)
i2
(t)dt
R2i2
(t)
1 C2
i2 (t)dt
第21页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
1
ui (t) R1i1(t) C1
i1(t) i2 (t)dt
R1
R2
1
C1
i1(t
)
i2
(t
)dt
R2i2
(t)
1 C2
确地描述系统的动态特性。
1. 分析法（解析法） 建 根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学
模 模型的方法（列写数学表达式）。 方 2. 实验法 法 根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实
际的数学模型。
第4页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
三、线性系统与非线性系统 1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为
动态模型是描述系统的动态历程的，机械工程控 制论研究的是机械工程技术中广义系统的动力学问题 ，所以往往需要采用动态数学模型，即需要建立微分 方程或差分方程来描述系统的动态特性。
第3页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
二、建立数学模型（建模）的方法 一个“合理”的数学模型应该以最简化的形式、准
y(t)
将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，
c
k2 k1
1 y(t)
k2 y(t)
cx(t)
第12页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
(2)转动
元素：惯量J、扭转弹簧kJ、回转粘性阻尼器cJ
惯量元件：
T J(t) ，J—转动惯量
回转弹性元件： kJ
TkJ kJ (t) ，kJ—回转弹性系数
dt
q
A
x
第25页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
三、非线性微分方程的线性化
1. 非线性方程线性化的条件 1) 非线性函数是连续函数（即非线性不是本质非线性
） 2) 系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变 2. 化非线范性围方很程小线。性化的方法 1) 确定预定工作点； 2) 在工作点附近将非线性方程展开成泰勒级数形式； 3) 忽略高于一阶项； 4) 表示成增量方程的形式。
系统之间的动态关系，列写该系统微分方程。
R1
R2
解：设中间变量，令Ⅰ回路中流过
ui Ⅰ C1
Ⅱ
C2
uo R1的电流为i1；令Ⅱ回路中流过R2 和C2的电流为i2。
根据克希荷夫电流定律，流过C1的电流为i1-i2，方向朝下。
对Ⅰ回路，根据克希荷夫电压定律，有
ui
(t)
R1i1
(t)
1 C1
i1(t) i2 (t)dt
第7页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
一、列写微分方程的一般方法
1.确定系统的输入量和输出量；
2.按信号传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量
所遵循的物理定律列写系统中各环节的动态微分方程； 3.消除中间变量,得到只包含输入量和输出量微分方程；
4.整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程
非线性系统。 2. 分类
线性定常系统：
线性时变系统： 非线性系统：
第5页/共43页
第二章 系统的数学模型源自2.1 概 述3. 特性 线性系统满足叠加原理，即具有叠加性；非线性系 统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输 出等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第11页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据受力分析，列写微分方程组，
k1x(t) x1(t) cx1(t) y(t)
(1)
cx1(t) y(t) k2 y(t)
(2)
消去中间变量x1(t)，得，
k1x(t)
x1(t)
k2 y(t)
x1(t)
x(t)
k2 k1
回转阻尼元件： cJ TcJ cJ(t)，cJ—回转粘性阻尼系数
第13页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-3 下图所示为一齿轮传动链，输入量为轴Ⅰ的输入转 矩T，输出量为轴Ⅰ角位移θ1，试写出其微分方程。
解：为了便于列写微分方程，我们 在系统上增加一些中间变量T1，T2， 它们分别是轴Ⅰ的输出转矩与轴Ⅱ 的输入转矩，即如下图所示，
A
i3 i2
第17页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-4 下图所示为一电网络系统，其输入为电压ui， 输出为电压uo，列写该系统微分方程。
解：根据克希荷夫电流定律，有
iL
iL＋ iR－iC = 0
iR
uR R
ui
uo R
ui
又∵
1 iL L
1 uLdt L
(ui uo )dt
i2 (t)dt ui
Ⅰ
C1
Ⅱ
C2
uo
另外， 1
C2
i2 (t)dt
uo (t)
消去中间变量i1、i2，整理得，
R1R2C1C2uo (t) (R1C1 R1C2 R2C2 )uo (t) uo (t) ui (t)
第22页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
负载效应: 是指对于由两个物理元件组成的系统而 言，若其中一个元件的存在，使另一元件在相同输 入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负 载，这一影响就称为负载效应。 上例中，两个RC电路串联，存在着负载效应。回路 Ⅱ中的电流对回路Ⅰ有影响，即存在着内部信息的 反馈作用，流经C1的电流为i1和i2的代数和。不能简 单地将第一级RC电路的输出作为第二级RC电路的 输入，否则就会得出错误的结果。
第6页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
微分方程
2.2 系统的微分方程
在时域中描述系统（或元件）动态特性的 数学模型，或称为运动方程。利用微分方程 可得到描述系统（或元件）动态特性的其他 形式的数学模型。
如： my(t) cy(t) ky(t) x(t) RCu0 (t) u0 (t) ui (t)
1. 机械系统
F ma
F ma 0
遵循的定律：牛顿第二定律或达朗贝尔原理
(1) 直线运动
元素：质量m、弹簧k、粘性阻尼器c
质量元件：
F ma mx
阻尼元件： 弹性元件：
c Fc cv cx，c—粘性阻尼系
数
Fk kx ，k—弹性系数
第9页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
一般液压系统要应用流体连续方程，即流体的质量 守恒定律：∑qi = 0
第24页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-8 右下图是一液压缸，其输入为流量q，输出为
液压缸活塞的位移x，试列写该系统微分方程。
解：根据分析，其微分方程为，
q=Av=A dx，
dt
整理后得，
dx
A =q
将（2）代入（1）式，整理得，
LCuo (t) RCuo (t) uo (t) RCui (t)
第19页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t) ，输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
iC
C duC dt
C duo dt
L R
iR
C uo iC
以上4个方程联立求解，并整理得，
RLCuo (t) Luo (t) Ruo (t) Lui (t) Rui (t)
第18页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
(2)克希荷夫电压定律
网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降
的代数和 。即 E iR
例2-5 下图所示为一电网络系统，其输入为电压ui，
输出为电压uo，列写该系统微分方程。
L
解：根据克希荷夫电压定律，有
ui
i R
C uo
ui
(t)
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t
)dt
1
uo (t) C
i(t)dt i(t) C duo (t) dt
（1 ） （2 ）
u
i
C
u(t)
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
LCq(t) RCq(t) q(t) Cu(t)
第20页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-7 下图所示为一个两级串连的RC电路组成的滤波
网络，输入为电压ui，输出为电压uo。分析ui， uo与
θ2 T 2
Z2 Ⅱ
J 2、B2
J 1、B1
Z1
Ⅰ
T
θ1 T 1
第14页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
根据达朗贝尔原理列写微分方程组为，
消去中间变量T1 、T2、θ2，得到系 统的微分方程为根据达朗贝尔原理 列写微分方程组为，
由此可知，减速器的速比越大，转动惯量、粘性 阻尼系数等折算到电动机轴上的等效值越小，因此在 一般分析中常可忽略不计，但第一级齿轮的转动惯量 和粘性阻尼系数影响较大，应该考虑。
iC dt, iC
C
dUC dt
第16页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
(1)克希荷夫电流定律 若电路有分支路，它就有节点，则会聚到某节点的所 有电流之代数和应等于0（即所有流出节点的电流之 和等于所有流进节点的电流之和），
i(t) 0
A
如右图所示，
i1 A
i(t) i1 i2 i3 0
例2-1 列写下图所示机械系统的微分方程
解： 1)明确系统的输入与输出，
f (t)
k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
c x(t)
f (t) k x(t) 利用 F ma ，得
m c·x(t)
f (t) kx(t) cx(t) mx(t)
3)整理微分方程，得
控制系统数学模型
会计学
1
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
一、数学模型
2.1 概 述
1. 定义
定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、
参数与动态性能之间关系的数学表达式。 2. 种类
微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、
频率特性、各种响应式等。
3. 研究领域
• 时间域——微分方程、差分方程、状态方程；
第23页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
3. 液压系统 一般液压控制系统是一个复杂的具有分布参数的控
制系统，分析研究它有一定的复杂性，在工程实际中 通常用集中参数系统近似地描述它，即假定各参数仅 为时间的变量而与空间位置无关，这样就可用常微分 方程来描述它，此外，液压系统中的元件有明显的非 线性特性，在一定条件下需进行线性化处理，这样使 分析问题大为简化。
mx(t) cx(t) kx(t) f (t)
第10页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。
解：在不同的元素之间，一定会有 中间变量。
设中间变量x1，且假设x＞x1＞y 。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项
按降幂方式排列。
如：
an
x0(n)
(t
)
a x(n1) n1 0
(t
)
a1
x0
(t
)
a0
x0
(t
)
bm
xi(
m)
(t
)
b x(m1) m1 0
(t
)
b1xi
(t
)
b0
xi
(t
)
第8页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
二、系统微分方程的列写
第15页/共43页
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
2. 电网络系统
i(t) 0
A
E iR
遵循的定律：克希荷夫电流定律、克希荷夫电压定律
元素：电阻R、电感L、电容C
电阻元件：
UR
iR R,iR
UR R
电感元件：
U L
L
diL dt
, iL
1 L
U L dt
电容元件：
UC
1 C