2020江苏高考数学一轮复习学案：第21课__导数在研究函数中的应用(2) 含解析

____第21课__导数在研究函数中的应用(2)____
1. 理解导数的意义，熟练运用导数求解函数的单调区间、极值、最值．
2. 应用导数解决一些综合问题，如恒成立及含参数问题等.
1. 阅读：选修11第86～92页．
2. 解悟：要清楚导数与函数的关系，利用导数研究函数性质的流程要熟练，主要步骤为求导，令导数等于0，求根，列表，下结论．
3. 本章中对函数的重要思想方法，比如数形结合、函数与方程、分类讨论得到了又一次的加强，同学们在复习的过程中要注意加强体会.
基础诊断
1. 对任意∈R ，函数f ()＝3＋a 2＋7a 不存在极值的充要条件是__0≤a ≤21__．
解析：由题意得，f ′()＝32＋2a ＋7a .因为对∀∈R ，函数f ()＝3＋a 2＋7a 不存在极值，且f ′()的图象开口向上，所以f ′()≥0对∈R 恒成立，所以Δ＝4a 2－84a ≤0，解得0≤a ≤21，故所求的充要条件是0≤a ≤21.
2. 已知函数f()＝3＋3a 2＋b ＋a 2在＝－1处有极值0，则a －b ＝__－7__．
解析：由题意得，f ′()＝32
＋6a ＋b.因为函数f()在＝－1处有极值0，所以⎩⎨⎧f ′（－1）＝0，
f （－1）＝0，
即
⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2
＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，
b ＝9.
当a ＝1，b ＝3时，f ′()＝32＋6＋3＝3(＋1)2≥0，所以函数f()不存在极值应舍去，所以a －b ＝－7.
3. 若函数f()＝a ln －在区间(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__[2，＋∞)__． 解析：由题意得，f ′()＝a x －1.因为函数f()＝a ln －在区间(1，2)上单调递增，所以a
x －1≥0在∈(1，
2)上恒成立，所以a ≥，所以a ≥2，故实数a 的取值范围是[2，＋∞)．
4. 已知函数f()＝2
－cos ，∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f(0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的0取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π
2
，－π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2__．
解析：因为函数f()＝2
－cos 是偶函数，所以只需考虑区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的情形，当∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2时，f ′()
＝2＋sin ≥0，所以函数f()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f(0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π2.结合函数f()是偶函数，图象关于y 轴对称，所以当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π
2，0时，－π2≤0<－π
3，所以0的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪
⎫
－π2，－π3∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π3，π2.
范例导航
考向❶ 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题
例1 已知函数f()＝2ln －2＋a ，若函数g()＝f()－a ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1e
，e 上有两个零点，求实数m 的
取值范围．
解析：由题意得，g()＝2ln －2＋m ， 则g ′()＝2x －2＝－2（x ＋1）（x －1）
x
.
因为∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1e
，e ，故当g ′()＝0时，＝1，
当1
e
<<1时，g ′()>0；
当1<<e 时，g ′()<0，故g()在＝1处取得极大值g(1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ＝m －2－1e
2，g(e )＝m ＋2－e 2，
g(e )－g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e
2<0，即g(e )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以函数g()在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1e
，e 有两个零点的条件是
⎩⎨⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝m －2－1e 2
≤0，解得1<m ≤2＋1
e 2
， 所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛
⎦
⎥⎤1，2＋1e 2.
已知函数f()＝ln ＋1
2
2－2，则函数y ＝f()的零点个数为__1__．
解析：由题意得f ′()＝1x ＋－2＝（x －1）2
x ≥0，所以函数f()在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)
＝－3
2
<0，所以函数y ＝f()的零点个数为1.
考向❷ 利用导数求解不等式的恒成立(存在性)问题 例2 已知函数f()＝ln ＋1
x －1.
(1) 求函数f()的单调区间；
(2) 设m ∈R ，对任意的a ∈(－1，1)，总存在0∈[1，e]，使得不等式ma －f (0)<0成立，求实数m 的取值范围．
解析：(1) f ′()＝1x －1x 2＝x －1
x
2，>0.
令f ′()>0，得>1，
所以函数f ()的单调递增区间是(1，＋∞)； 令f ′()<0，得0<<1，
所以函数f ()的单调递减区间是(0，1)．
(2) 依题意得，ma <f (0)，由(1) 知，f ()在∈[1，e]上是增函数， 所以f ()ma ＝f (e)＝lne ＋1e －1＝1
e
，
所以ma <1e ，即ma －1
e <0对于任意的a ∈(－1，1)恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1
e ≤0，－m －1
e ≤0，
解得－1e ≤m ≤1
e
，
所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1e ，1e .
设函数f ()＝3－3＋1(∈R)，若对于任意∈[－1，1]，都有f ()≥0成立，则实数的值为__4__． 解析：由题意得，f ′()＝32－3.当≤0时，32－3<0，所以函数f ()是减函数，所以f (1)≥0，即－3＋1≥0，解得≥2，故无解；当>0时，令f ′()＝32－3＝0，解得＝±
k k .当<－k
k
时，f ′()>0，所以函数f ()在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，－
k k 上单调递增；当－k k <<k k 时，f ′()<0，故函数f ()在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
－k k
，k k 上
单调递减；当>k k 时，f ′()>0，故函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k k ，1上单调递增，所以
⎩⎨⎧f （－1）≥0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
k k ≥0，f （1）≥0，
即
⎩⎨⎧－k ＋3＋1≥0，
k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫k k 3
－3×k
k ＋1≥0，k －3＋1≥0，
解得⎩⎨⎧k ≤4，k ≥4，k ≥2，
所以＝4.
考向❸ 利用导数求解不等式的有关问题
例3 设函数f()＝a 2－a －ln ，g()＝1x －e
e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1) 讨论函数f ()的单调性； (2) 证明：当>1时，g ()>0.
解析：(1) 由题意得，f ′()＝2a －1x ＝2ax 2－1
x
(>0)，
设h ()＝2a 2－1. 当a ≤0时，h ()<0，
所以f ′()<0，即函数f ()在区间(0，＋∞)上单调递减； 当a >0时，令h ()＝0， 得1＝
2a 2a ，2＝－2a
2a
(舍去)， 所以函数f ()的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，
2a 2a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 2a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，函数f ()在区间(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，函数f ()在区间⎝
⎛⎭⎪⎫
0，2a 2a 上
单调递减，在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫2a 2a
，＋∞上单调递增．
(2) 要证当>1时，g ()>0，即证当>1时，e x
x
>e.
设t ()＝e x x (>1)，则t ′()＝e x （x －1）
x
2
. 令t ′()＝e x （x －1）x
2
＝0，得＝1， 所以t ()在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以t ()min >t (1)＝e ， 所以当>1时，t ()>e 成立， 所以当>1时，g ()>0成立．
自测反馈
1. 若函数f()＝2－e －a 在R 上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是__(－∞，2ln2－2)__． 解析：由题意得，f ′()＝2－e －a .因为函数f ()在R 上存在单调增区间，所以f ′()＝2－e －a >0，即a <2－e 有解．令g ()＝2－e ，所以g ′()＝2－e ，令g ′()>0，即2－e>0，解得<ln2；令g ′()<0，即2－e<0，解得>ln2，所以g ()ma ＝g (ln2)＝2ln2－2，所以a <2ln2－
2.故实数a 的取值范围是(－∞，2ln2－2)．
2. 若函数f()＝a 3＋32－恰有3个单调区间，则实数a 的取值范围是__(－3，0)∪(0，＋∞)__． 解析：由题意知，f ′()＝3a 2＋6－1，因为函数f()＝a 3＋32－恰有3个单调区间．所以f ′()＝3a 2
＋6－1＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝36－4×3a ×(－1)>0，且a ≠0，解得a>－3且a ≠0.故实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．
3. 已知函数f()＝2f ′(1)ln －，则函数f()的极大值为__2ln 2－2__．
解析：由题意得，f ′()＝2f ′（1）x －1(>0)，则f ′(1)＝2f ′（1）
1－1，解得f ′(1)＝1，所以f ′
()＝2x －1＝2－x
x (>0)．令f ′()>0，解得0<<2，令f ′()<0，解得>2，所以函数f()在区间(0，2)上单调
递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，故函数f()的极大值为f(2)＝2ln 2－2.
4. 若函数f()＝3－12在区间(－1，＋1)上不是单调函数，则实数的取值范围是__(－3，－1)∪(1，3)__．
解析：由题意得，f ′()＝32－12.令f ′()＝0，即32－12＝0，解得＝±2.因为函数f()在区间(－1，＋1)上不单调，所以－1<－2<＋1或－1<2<＋1，解得－3<<－1或1<<3.故实数的取值范围是(－3，－1)∪(1，3)．
1. 有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值．
2. 利用函数的单调性证明不等式，求参数的取值范围，对这些问题，要有解题规律的总结和反思．
3. 你还有哪些体悟，写下;：。