2012华约 高校自主招生数学试题及解答

x2n
(x+2n+1),
(2n 1)!
f 2 n 1 (2n
1) =
f2n1(2n 1)
=…=
f1(2 n1) <0
故 f2n1(x) =0 有唯一一个解，记为 x2n1 ∈(-2n-1,0)
又
f
2n
2
(
x
)
=
f2n1(x) ，
f2n2 (x)
在(-∞,
x2n1 )上单调减，在( x2n1 ,+∞)上单调增
A. 0 ；
B.1 ；
C. 1 ；
D. 2
5.若正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最大元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差
为 k 的等差数列,则并集 A17 A59 中的元素个数为
A.119；
B.120；
C.151；
D.154
6.三角式
1 cos 0f2n1 (x2n1 ) <0= f2n1 (x2n1 ) , f2n1 (x) 单调增， x2n1 x2n1
总之，当 n 为偶数时,方程 fn (x) 0 无解;当 n 为奇数时,方程 fn (x) 0 有唯一解 xn ,且
xn2 xn .
15 3
7
13.【简解】如图，cosB= = ,cosC=
n0
n1
n2
k
k 1
k 2
= C2nk 1 (1 p)n p 2k 1n +2 C2nk 1 (1 p)n1 p 2k n + C2nk 1 (1 p)n2 p 2k 1n
n0
n0
n0
k
=
C2nk 1 (1
p)n
p
2k
1n [ p
2
2(1
p)p
(1
p)2]
C2kk 1 (1
p)k
的等差数列，有三个。故 A17 ∪ A59 中有 119+35-3=151 个元素。选 C
1 6.【解析】cos k o cos(k
1)o
sin[(k 1)o k o] = sin1o cosko cos(k 1)o
= sin(k 1)o cos k o cos(k 1)o sin k o sin1o cosko cos(k 1)o
cosA=-cos(B+C)=
3 =cosB A=B
25 5
25
5
连 DF,DF⊥AC,AF=ADcosA=15× 3 =9 5
14.【解析】n=2,3,4,5,6,7,8,9 检验，知 n=4,5,8,9 满足条件。
猜想：n=4m 或 n=4m+1 时，满足条件。先证先证 n=4m 满足，再证 n=4m+1 满足
x02 16
y02 9
1，
x02 16
y02 9
≥2×
x0 4
y0 3
，
x0
y0
≤6，S≥
27 4
,；
等号成立当且仅当 x0 y0 1 。选 C 43 2
9.【简解】设
x1 =x+yi(x,y∈R)，则
x2 =x=yi,
x12 x2
=
x3
3x2 y x2
xy(3x2 y2
y2 )i
∈R,y=±
=
1 sin1o
[tan(k
1)o
tan
ko]
，迭加得到原式=
1 sin1o
(tan89°-tan0°)=csc1°cot1°，选
A
7.C
8.【简解】设
P(
x0 ,
y0 ),则
AB
的方程为
x 0 x+
y0
y=9,M(
9 x0
,0),N(0,
9 y0
),S=
1 2
9 x0
9 81
=
y0 2x0 y0
S 要最小，只要 x0 y0 最大；
1 cos 88 cos 89
化简为
A. cot1 csc1 ；
B. tan1 csc1 ；
C. cot1 sec1 ；
D. tan1 sec1
7．设 k<3,k≠0，则二次曲线 x2 y2 1 与 x2 y2 1必有
3k k
52
(A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．
[
f2n2 ( x)]min
=
f2n2 (x2n2 ) =
f2n1 (x2n1 )
+
x 2n2
2 n 1
=
(2n 2)!
x 2n2 2 n 1
>0,
(2n 2)!
f2n2 (x)
=0
无解
又
f2n1 (x2n1 ) =
f
2n
1
(
x2n
1
)
+
x 2n 2 n 1
(2n 1)
!
(4n+2)>
f2n1 (x2n1 ) ,
上的中线和高重合，△ABC 为等腰三角形，选 D
2.【简解】以 O 为原点， OA 、 OS 分别为 x 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图
设 P(x,y,0),则 A(1,0,0),M(0,0,
3
),
MA
=(1,0,-
3
),
MP
=(x,y,-
3
),
MA
MP
=0
得到
x=-
3
2
2
2
4
3
点 P 运动的轨迹为线段 CD，其中圆心 O 到直线 CD 的距离为 ，CD=2
1 (3)2 =
7
。
4
42
选B
1
3.【简解】即
2011、该键、0、9、99、999
都出现，概率
106
。选
C
4.【解析】设交点为(m,-m),则
sinα、cosα是方程
t
m sin
-
t
m cos
=1
的两个根
归纳法
⑴
f1 ( x)
=1+x
有唯一解
x=-1，
f2 (x) =1+x+
x2 2
>0。即
n=1
时，命题成立
⑵假设 f2n1(x) =0 有唯一解 x2n1 ，且单调增； f2n (x) =0 无实数解
因
f
2n
(
x)
=
f2n1(x) =0
有唯一解
x2n1 ，
[
f2n (x)]min
=
f2n (x2n1)
假设 n＝4m＋1 成立；则 n＝4m＋5 时,A、B、C、D、E 和剩下的 4m 个人,首先 E 和
4m 个人总共（4m＋1）个人按假设是可以安排的,A、B、C、D、E 之间也是可以安排的,那
么只需要安排 A、B、C、D 和 4m 个人之间的比赛了,这个同上面证明 4n 的方法中第（2）
2012 华约
一、选择题
1.若 P 为 ABC 内部任一点(不包括边界),且 (PB PA) (PB PA 2PC) 0 ,则 ABC 必为
A.直角三角形; B.等边三角形; C.等腰直角三角形; D.等腰三角形
2.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形, O 为底面中心, M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥
C n2 2k 1
=
C2nk
1
2C2nk11
C n2 2k 1
k
故 pk1 =
(C2nk 1
2
C2n
1 k 1
C2n
2 k 1
)(1
p)n
p 2k
1n
n0
k
k
k
=
C2nk 1 (1 p)n p 2k 1n +2
C n1 2k 1
(1
p)n
p 2k 1n
+
C n2 2k 1
(1
p)n
p 2k 1n
BE、CD 交于点 H，联结 DE，以 DE 为直径作圆，该圆与 AC 交于另一点 F，求 AF 的长度．
14.已知有 n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名
选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求 n 的所有可能值·
15.已知动点
P
在
y
轴上投影为
H,A(−2,0),B(2,O)，满足
12.已知
fn (x)
1
x
x2 2!
xn n!
( n N * ),求证:当 n 为偶数时,方程
fn (x)
0 无解;当
n 为奇数时,方程 fn (x) 0 有唯一解 xn ,且 xn2 xn .
13.已知锐角△ABC 中，BE AC 于点 E,CD AB 于点 D，且 BC=25，CE＝7,BD=15，若
=
f2n1 (x2n1 ) +
x 2n 2 n 1
(2n)!
=
x 2n 2 n 1
(2n)!
>0，
f
2
n1
(
x)
=
f2n (x) >0,
f2n1(x) 单调增，
f2n1(x) =
f2n (x) +
x 2 n 1
,
(2n 1)!
f 2 n 1 (0)
=
f2n (0) >0
f2n1(x) =
f2n1(x) +
8.若 P 为椭圆 x2 y2 1l 在第一象限上的动点，过点 P 引圆 x2＋y2=9 的两条切线 PA、PB， 16 9
切点分别为 A、B，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N，则 S MON 的最小值为
9
(A) ;
9
(B)
3 ；(C) 27 ;
27
(D)
3
2
2
4
4
9. 设 x1、x2 是实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的根，若 x1 是虚数， x12 是实数,则 x2
证明：（1）4 个人,A、B、C、D,可以如下安排：AB-CD,AC-BD,AD-BC
（2）假设 n=4m 结论成立,即 M（1）、N（1）、M（2）、N（2）……M（2m）、N（2m)这 4m
个人互相之间可以让他们任意两个人组成的队伍只参加过一场比赛,则 n=4（m+1）时,多了
四个人 A、B、C、D,这四个人之间的比赛由（1）已证,现在安排 A、B、C、D 这四人和 4m
3 x；
不妨取 y=
1 ( x1 )2013
3 x,则 x1 = 1 3i ， ( x1 )3 =1；S=
x2
2
x2
x2 1 x1
=0。选 A
x2
f (x) 10【. 简解】x=1,y=0 时，得到 f(1)=0;y=1 时，得到 f(x)= x 1 ,在 x≠-1 时，f(x)=0 成立；x=y=-1
pk
1
C k 1 2k 1
(1
p)k
1 p k
n0
k
= C2nk1(1 p)n p 2k 1n C2kk1(1 p)k pk [ p (1 p)] n0
= pk + C2kk1(1 p)k pk (2 p 1)
故
p≥
1 2
时，{
pk
}单调增；故
p<
1 2
时，{
pk
}单调减
12.【解析】只要证明 f2n1(x) =0 有唯一解 x2n1 ，且单调增； f2n (x) =0 无实数解。用数学
即 t 2 +(cosβ+sinβ)t+sinβcosβ-m(cosβ-sinβ)=0,sinα+cosα=-cosβ-sinβ.选 A
5.【简解】 A17 中元素，构成以 1 为首项，2007 为末项，17 为公差的等差数列，共有 119 个 元素；同理 A59 中有 35 个元素； A17 ∩ A59 构成 1、2007 分别为首项、末项，公差为 1003
∈R)的奇偶性为
(A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; 是奇函数，又不是偶函数．
(C)既是奇函数，又是偶函数；
(D)既不
二、解答题
11. 系统内有 2k−1(k∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为 p(0<p<1)，若有超过一半的 元件正常工作，则系统正常工作．求系统正常工作的概率 pk 并讨论 pk 的单调性．
APBP
2
|
PH
|2
.
(1)求点 P 的轨迹方程 C;
(2)已知一条直线过点 B，且与曲线 C 交于 x 轴下方两点 C、D，M 为 CD 中点，求 M 与点
Q(0，−2)连线的斜率取值范围．
##Answer##
1.【简解】设 AB 的中点为 D，则 AB (2PD 2PC) =0 2 AB CD =0 CD⊥AB，边 AB
终显示 0 ,那么这个过程中, 9,99,999 都出现的概率是
A.
1 104
;
B.
1 105
;
C.
1 106
;
D.
1 107
4.已知 , R ,直线 sin
x sin
sin
y cos
1 与 cos
x sin
cos
y cos
1 的交
点在直线 y x 上,则 sin cos sin cos
个人之间的比赛,AM（1）-BN（1）、AN（1）-BM（1）,CM（1）-DN（1）、CN（1）-DM
（1）,AM（2）-BN（2）,AN（2）-BM（2）,CM（2）-DN（2）,CN（2）-DM（2）,……
以此类推,可以满足任意两个人组成队伍只打了一场比赛.所以 4m 得证；
5 个人是可以的,如下：AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD－CE.
S
1
x1 x2
x1 x2
2
x1 x2
3
x1 x2
4
x1 x2
2012
的值为
A.0；
B.−1003；
C.1004；
D.−1004
10.函数 f:R R，对任意的实数 x、y，只要 x+y≠0，就有 f(xy)= f (x) f ( y) 成立,则函数 f(x)(x x y
底面内(包括圆周).若 MA MP ,则 P 点形成的轨迹的长度为
A. 7 ;
B. 7 ;
C. 3 ;
D. 3
2
2
3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可
能的将其替换为 0,1, 2,, n 1 中的任意一个数.如果初始时显示 2011 ,反复按这个按键使得最
时，得到 f(-1)=0。总之 f(x)=0 恒成立。选 C
k 1
11.【解析】 pk = C2nk1(1 p)n p 2k 1n ， n0
k
pk 1 = C2nk 1 (1 p)n p 2k 1n ， n0
因 C2nk 1 = C2nk
C n1 2k
=
C2nk
1
C C n1 2k 1
+
n1 2k 1