2018_2019学年高中数学第二章推理与证明章末复习课件苏教版选修1_220190107499

答案
(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，
甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的
卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的 1和3 数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________. 解析 由题意可知丙不拿2和3. 若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意. 故甲的卡片上的数字是1和3.
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
解析
1 1 1 1 分析式子 ， ， ， ，…的规律， 2×4 4×6 6×8 8×10
可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数
解析
答案
4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个 方程x3＋ax＋b＝0没有实根 实根”时，要做的假设是________________________.
2 3 1 2 2 1 3 3
1 2 2
1 3 3
.
，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
又x>0，y>0，∴x2y2>0，
∴只需证3x2＋3y2>2xy.
∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2>2xy成立， 故
因为①式左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
①
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β＝右边，
所以①式成立，即原等式成立.
证明
反思与感悟
分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法
是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路 与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此 对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑 基础是充分条件与必要条件.
跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证： ( x 2＋y ) > ( x3＋y ) 证明 要证明 ( x ＋y ) > ( x ＋y )
第2章 推理与证明
章末复习
学习目标 1.整合本章知识要点. 2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用 等. 3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.
内容索引
知识梳理
题型探究
达标检测
知识梳理
1.合情推理
(1)归纳推理：由 部分 到 整体 、由 个别 到 一般 的推理.
(2)类比推理：由 特殊 到 特殊 的推理.
证明
达标检测
1.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,
9(n－1)＋n＝10n－9 9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为____________________. 解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列. 根据已知可以推断： 第n(n∈N*)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
② 小前提 ——指出了一个特殊对象；
③ 结论 ——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系.
3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 综合法 和 分析法 .
① 综合法 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 分析法 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 反证法 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的
1 2 2 1 3 3
( x 2＋y )
( x3＋y )
>
.
证明
命题角度2 反证法
例3
1＋x 1＋y 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 与 x <2 中至少有
一个成立.
证明
反思与感悟 常用反证法.
反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉
及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也
跟踪训练3
已知：ac≥2(b＋d).求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d
＝0中至少有一个方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根， 则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)， 而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)， 与已知矛盾，故原命题成立.
方法.
题型探究
类型一 例1 (1)观察下列等式：
sin sin sin sin
合情推理与演绎推理
π 2π 4 －2 －2 ＋sin 3 ＝3×1×2； 3 π 2π 3π 4π 4 －2 －2 －2 －2 ＋sin ＋sin ＋sin ＝ ×2×3； 5 5 5 5 3 π 2π 3π 6π 4 －2 －2 －2 －2 ＋sin 7 ＋sin 7 ＋…＋sin 7 ＝3×3×4； 7 π 2π 3π 8π 4 －2 －2 －2 －2 ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＝ ×4×5； 9 9 9 9 3
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，
所以其前提和结论之间的联系是必然的 .因此，在演绎推理中，只要前提
及推理正确，结论必然正确.
跟踪训练1
若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm
＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列 数列 {bn} 为等比数列， {bn} 为 等 比 数 列 时 ， 写 出 一 个 正 确 的 Tm 性 表示其 质 ：
1
2
3
4
5
解析
答案
x y 2.在平面直角坐标系中，方程a＋b＝1(ab≠0)表示在 x，y 轴上的截距分别 为 a， b 的直线， 类比到空间直角坐标系中， 在 x， y， z 轴上截距分别为 a， x y z b，c(abc≠0)的平面方程为______________. a＋b＋c＝1
x y 解析 ∵在平面直角坐标系中，方程a＋b＝1(ab≠0)表示的图形是一条直线，
解析 答案
反思与感悟
(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，
仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论
的正确与否，还要经过严格的推理证明.
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否
则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.
解析 答案
④ 填序号) (2)下列推理正确的是____.(
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay；
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin y；
③把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋yn；
④把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz).
解析 答案
类型二
证明方法
命题角度1 综合法与分析法
例2 (1)已知a，b，c为互不相等的非负数.
求证：a2＋b2＋c2> abc( a＋ b＋ c)；
证明
sin2α－β sin β (2)证明：2cos(α－β)－ sin α ＝sin α.
证明 要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β.
…… 照此规律，
π －2 2π －2 3π －2 2nπ －2 sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＝ 2n＋1 2n＋1 2n＋1 2n＋1
4 * n ( n ＋ 1)( n ∈ N ) 3 _______________.
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法 .直接证明的两类 基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方 法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把 它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面 成立出发，推出矛盾的证明方法.
本课结束
前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1 ______________________________ ________________________________________________. 解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运
算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘. 由此，等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为： 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积， 若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1.
解析 方程 x3＋ ax＋ b ＝ 0至少有一个实根的反面是方程 x3 ＋ ax＋ b ＝ 0 没
有实根.
1
2
3
4
5
解析
答案
5.设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等 a c 差中项，试证：x ＋y＝2.
1
2
3
4
5
证明
规律与方法
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理， 后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜 想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的 基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理 与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠 性.
(3)合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的
结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳推理和
类比推理都是数学活动中常用的合情推理.
2.演绎推理
(1)演绎推理：由 一般 到 特殊 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① 大前提 ——提供了一个一般性的原理；
3－1 3＋1 解析 第一个等式中 1＝ 2 ，2＝ 2 ； 5－1 5＋1 第二个等式中，2＝ 2 ，3＝ 2 ； 7－1 7＋1 第三个等式中，3＝ 2 ，4＝ 2 .
4 2n＋1－1 2n＋1＋1 4 * 由此可推得第 n 个等式等于3× × ＝ n ( n ＋ 1)( n ∈ N ). 2 2 3
具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”.
类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的 x y z 平面方程为a＋b＋c＝1.
1 2 3 4 5
解析
答案
1 an＝ (n∈N*) 1 1 1 1 2n2n＋2 3.猜想数列 ， ， ， ， …的通项公式是____________________. 2×4 4×6 6×8 8×10