等比数列前n项和性质
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9 6 2 a (1 q ) a (1 q ) a1 (1 q ) 1 1 1 q 1 q 1 q
3
即 q q 2q q 0 ， 1 q3 2q 6 4 a2 a5 a1q a1q a1q(1 q3) a1q(2q 6 ) 2a1q7
填 表
数 列 前 n 项 和 公 式 推导方法 等 差 数 列 等 比 数 列
nn 1 na1 d 2
倒序相加
na1 a n Sn 2
a1 1 q n q 1 Sn 1 q
a1 a n q 1 q
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
3 6 9
a2 a5 2a8 a2 ， a8 ， a5 成等差数列.
课堂小结:
1. {an}是等比数列 Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
2. Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)， S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， S偶 则 q. S奇
2.5.2 等比数列的前 n 项和 (2)
知识回顾：
通项公式： an a1q 前n项和公式：
n1
na1 S n a1 (1 q n ) a1 an q 1 q 1 q
两个公式共有5个基本量:
(q 1) (q 1)
a1 ， q， n， an，Sn 可知“三求二”.
得 S3 S6 2S9 证明： 由 S3 , S9 , S6 成等差数列，
习题2.5第6题： 已知{Sn}是等比数列{an}的前n项和，
若q=1，则 S3 3a1 ，S6 6a1 ，S9 9a1 .
a1 0 ， S3 S6 2S9 与题设矛盾， q 1 .
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
-1 实数m＝__________.
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10, S20 S10 Baidu Nhomakorabea S30 S20
是否成等比数列?
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，
S 则 偶 q S奇
.
练习3：
等比数列{an}共2n项，其和为－240， 且奇数项的和比偶数项的和大80，
2 则公比q ＝________.
性质4：
Sn m Sn q S m
n
a2 , a8 , a5 成等差数列. 求证： S3 , S9 , S6 成等差数列，
公比是否为1
.
探究1： 性质1：
1. 前n项和公式的函数特征：
当q=1时 Sn na1是n的正比例函数
a1 (1- q n ) a1 a1 n （2）当q 1时，S n q 1- q 1- q 1- q a1 记A , 即S n - Aqn A, 是一个指数式与一个常 数的和 1- q 其中A 0，q 1
性质2： Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
练习2：
(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则
S30＝_______. 70
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则
S3n＝_______. 63
探究3： 性质3：
在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，
3
即 q q 2q q 0 ， 1 q3 2q 6 4 a2 a5 a1q a1q a1q(1 q3) a1q(2q 6 ) 2a1q7
填 表
数 列 前 n 项 和 公 式 推导方法 等 差 数 列 等 比 数 列
nn 1 na1 d 2
倒序相加
na1 a n Sn 2
a1 1 q n q 1 Sn 1 q
a1 a n q 1 q
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
3 6 9
a2 a5 2a8 a2 ， a8 ， a5 成等差数列.
课堂小结:
1. {an}是等比数列 Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
2. Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)， S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， S偶 则 q. S奇
2.5.2 等比数列的前 n 项和 (2)
知识回顾：
通项公式： an a1q 前n项和公式：
n1
na1 S n a1 (1 q n ) a1 an q 1 q 1 q
两个公式共有5个基本量:
(q 1) (q 1)
a1 ， q， n， an，Sn 可知“三求二”.
得 S3 S6 2S9 证明： 由 S3 , S9 , S6 成等差数列，
习题2.5第6题： 已知{Sn}是等比数列{an}的前n项和，
若q=1，则 S3 3a1 ，S6 6a1 ，S9 9a1 .
a1 0 ， S3 S6 2S9 与题设矛盾， q 1 .
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
-1 实数m＝__________.
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10, S20 S10 Baidu Nhomakorabea S30 S20
是否成等比数列?
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，
S 则 偶 q S奇
.
练习3：
等比数列{an}共2n项，其和为－240， 且奇数项的和比偶数项的和大80，
2 则公比q ＝________.
性质4：
Sn m Sn q S m
n
a2 , a8 , a5 成等差数列. 求证： S3 , S9 , S6 成等差数列，
公比是否为1
.
探究1： 性质1：
1. 前n项和公式的函数特征：
当q=1时 Sn na1是n的正比例函数
a1 (1- q n ) a1 a1 n （2）当q 1时，S n q 1- q 1- q 1- q a1 记A , 即S n - Aqn A, 是一个指数式与一个常 数的和 1- q 其中A 0，q 1
性质2： Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
练习2：
(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则
S30＝_______. 70
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则
S3n＝_______. 63
探究3： 性质3：
在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，